ТЕМА: Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Для скорочення дробу розкладімо чисельник і знаменник на множники:

за формулою різниці квадратів.

У виразі \(10b+2a=2(5b+a)\) винесімо спільний множник за дужки:

Відповідь: A.

ТЕМА: Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення об'єму геометричних тіл, зокрема конуса.

Об'єм конуса знаходиться за формулою:

Радіус основи та висота конуса дорівнюють \(R.\)

Підставмо у формулу замість висоти конуса \(H\) радіус \(R\) його основи й скористаймося властивістю степеневих виразів:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Тригонометричні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Позбудимося ірраціональності в знаменнику дробу:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції. Таблиця похідних та правила диференціювання.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходження похідної частки двох функцій.

Знайдемо похідну функції за правилом диференціювання частки:

Застосували формули для знаходження похідних (\(C\), \(\alpha\) - сталі):

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Паралелограм.

Це завдання перевіряє вміння зчитувати дані з графіка й обчислювати площу паралелограма.

Площа паралелограма обчислюється за формулою: \begin{gather*} S=a\cdot h_a, \end{gather*} де \(a\) — сторона паралелограма, а \(h_a\) — висота, проведена до цієї сторони.

Сторона \((a){:}\ CD = 3.\)

Висота \((h_a){:}\ BH=7\) (висота паралелограма — це перпендикуляр між вертикальними прямими, на яких лежать сторони \(AB\) та \(CD\)).

Підставляємо значення у формулу:

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Дійсні числа.

Завдання скеровано на перевірку знання означення степеня з цілим показником та її властивості, тотожних перетворень раціональних та логарифмічних виразів.

1. \(\log_{0{,}2} a=\log_{0{,}2} 5=\log_{\frac 15} 5=\log_{5^{-1}} 5=-1\cdot \log_5 5=-1.\)

\(-1\) є цілим від'ємним числом. Отже, 1 – B.

Застосували властивості логарифмів:

2. \(2^{-a}=2^{-5}=\dfrac{1}{2^5}=\dfrac{1}{32}.\)

\(\dfrac{1}{32}\) є раціональним числом, що не є цілим. Отже, 2 – Г.

Застосували властивість степенів:

3. \(\dfrac{10}{a}=\dfrac{10}{5}=2.\)

\(2\) є натуральним числом. Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – В, 2 – Г, 3 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

Побудуймо графіки заданих функцій.

1. \(y=\sqrt{x+3}\) зростає на всій області визначення.

Отже, 1 – Г.

2. \(y=1-x^2.\) Оскільки вітки параболи напрямлені вниз, то вершина — це найвища точка графіка. Функція має точку локального максимуму.

Отже, 2 – A.

3. \(y=2^{-x}\)
\(y=\left(\dfrac 12\right)^x.\)

Показникова функція вигляду \(a^x\) завжди набуває лише додатних значень \((y\gt 0)\) при будь-яких \(x.\) Вона ніколи не перетинає вісь \(Ox\) і не стає від'ємною. Оскільки основа \(\dfrac 12\lt 1\), функція спадає. Функція набуває лише додатних значень

Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1 – Г, 2 – А, 3 – Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості прямокутних трикутників до розв’язування планіметричних задач, знаходити довжину середньої лінії трапеції, знання теореми Піфагора.

1. У \(\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ)\), бо \(ABCD\) — прямокутна трапеція. Відрізок \(OB\) з'єднує вершину прямого кута з серединою гіпотенузи \(AC.\) Отже, \(OB\) — медіана, проведена до гіпотенузи.

Медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині.

Отже, 1 – Г.

2. У трикутнику \(\Delta ABC\ (AC=15\) см і \(BC=12\) см) за теоремою Піфагора:

Отже, 2 – В.

3. Довжина середньої лінії трапеції дорівнює: \(L=\dfrac{BC+AD}{2}.\) Проведемо висоту \(CH\) з вершини \(C\) на основу \(AD.\) Оскільки трапеція прямокутна, \(ABCH\) — прямокутник. \(CH=AB=9\) см, \(AH=BC=12\) см. Розглянемо прямокутний трикутник \(\Delta CHD.\) \(CD=15\) см (за умовою) і \(CH=9\) см за теоремою Піфагора:

Знайдемо основу \(AD{:}\)

Обчислімо середню лінію:

Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1 – А, 2 – В, 3 – Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Первісна та визначений інтеграл.

Завдання скеровано на перевірку вміння обчислювати первісну, знання її основних властивостей, правил визначення визначеного інтеграла.

За правилами інтегрування:

та формулою Ньютона - Лейбніца:

Відповідь: \(-22.\)