ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції. Відсотки.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі, працювати із частинами цілого та вивляти взаємозв’язок між звичайними дробами й відсотками.

Увесь ігровий час вважатимемо за \(1\) (ціле). Команда господарів володіла шайбою \(\dfrac 35\) часу, тому на частку гостей припадає решта:

Отже, команда гостей володіла шайбою \(\dfrac 25\) ігрового часу.

Переведімо цей дріб у відсотки:

\begin{gather*} \frac 25\cdot 100\ \%=40\ \%. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіками, використовувати елементарні перетворення графіків функцій.

Перенесення графіка функції паралельно вздовж осі \(Ox\) – це перетворення виду: \begin{gather*} f(x)\Rightarrow f(x+A), \end{gather*} де \(A\) – кількість одиниць, на яку перенесли графік.

Якщо \(A\gt 0\) – переносимо графік уліво, якщо \(A\lt 0\) – переносимо вправо.

Отже, графік функції \(y=x^2\) перенесли на \(3\) одиниці ліворуч й отримали графік функції \(y=(x+3)^2.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи лінійних нерівностей.

Розв'яжімо систему нерівностей:

Зобразімо множину розв'язків кожної нерівності на одній координатній прямій:

Розв'язком системи є проміжок \(x\in [-4; 2{,}5).\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання властивостей кола та його елементів, хорд.

І. Пряма, що проходить через центр кола, містить діаметр кола. Отже, має з ним дві спільні точки. Твердження правильне.

ІІ.

\(AB \perp CD.\ \Delta COD\) – рівнобедрений, \(OC=OD.\) Отже, висота \(OK\), проведена до основи, є медіаною. Отже, \(K\) – середина хорди \(CD.\) Твердження правильне.

ІІІ.

Діаметри кола проходять через центр кола, тобто завжди мають спільну точку. Твердження неправильне.

Правильні твердження лише І та II.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Тригонометричні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Розв'язання:

$$\frac{\sin 2\alpha}{2\sin^2\alpha} = \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2\sin^2\alpha} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \text{ctg } \alpha = \frac{1}{\text{tg } \alpha}.$$

Під час розв'язання застосовано:

• формулу подвійного аргумента: \(\sin 2\alpha=2\sin \alpha\cos \alpha;\)

• означення тангенса та котангенса: \(\mathrm{tg}\ \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами.

Різницею векторів \(\overrightarrow{a}\ (x_1; y_1; z_1)\) i \(\overrightarrow{b}\ (x_2; y_2; z_2)\) є вектор \(\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}{:}\)

Щоб знайти координати різниці двох векторів, потрібно від координат першого вектора (зменшуваного) відняти відповідні координати другого вектора (від'ємника).

\begin{gather*} \overrightarrow{a}\ (3; 1; -4);\\[7pt] \overrightarrow{b}\ (-8; 0; 2);\\[7pt] \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}.\\[7pt] \overrightarrow{c}\ (-8-3; 0-1; 2-(-4));\\[7pt] \overrightarrow{c}\ (-11; -1; 2+4);\\[7pt] \overrightarrow{c}\ (-11; -1; 6). \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Первісна.

Завдання перевіряє вміння визначати загальний вигляд первісних функцій.

Перепишімо перший доданок:

Тепер функція має вигляд:

\begin{gather*} f(x)=4\cdot x-3\cdot \frac{1}{\cos^2 x}. \end{gather*}

Визначмо загальний вигляд первісних для цієї функції:

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Рівняння \(\mathrm{tg}\ x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) має загальний розв’язок:

Розгляньмо значення \(n\), за яких \(x\) потрапляє в проміжок \([0; \pi].\)

Якщо \(n=0\), то

\begin{gather*} x=\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{6}\in [0; \pi]. \end{gather*}

Якщо \(n=1\), то

\begin{gather*} x=\frac{\pi}{6}+\pi=\frac{7\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6}\notin [0; \pi]. \end{gather*}

Якщо \(n=-1\), то

\begin{gather*} x=\frac{\pi}{6}-\pi=-\frac{5\pi}{6},\ -\frac{5\pi}{6}\notin [0; \pi]. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості прямокутника та прямокутного трикутника.

Оскільки діагоналі прямокутника рівні та діляться точкою \(O\) навпіл, трикутник \(\Delta AOB\) – рівнобедрений. Оскільки кут при вершині \(\angle AOB=60^\circ\), то кути при основі також по \(60^\circ\ ((180^\circ-60^\circ):2=60^\circ).\) Отже, трикутник \(ABO\) – рівносторонній.

Оскільки \(AO\) — це половина діагоналі, то вся діагональ

\begin{gather*} AC=4\cdot 2=8\ \text{см}. \end{gather*}

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ).\) Гіпотенуза \(AC=8\) см і катет \(AB=4\) см. За теоремою Піфагора визначмо довжину сторони \(BC{:}\)

Обчислімо площу прямокутника \(ABCD{:}\)

Відповідь: Г.