ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Завдання перевіряє знання декартової системи координат у просторі, понять проєкції точки на вісь.

Проєкція точки \(A\ (-2; 4; -3)\) на вісь \(z\) – точка, у якої абсциса (координата за віссю \(Ox\)) та ордината (координата за віссю \(Oy\)) дорівнюють \(0\), а апліката (координата за віссю \(Oz\)) збігається з аплікатою точки \(A.\)

З-поміж запропонованих варіантів лише точка з координатами \(\ (0; 0; -3)\) лежить на осі \(z.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання означення геометричної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена геометричної прогресії.

За означенням геометричної прогресії \((q)\), кожен наступний член дорівнює попередньому, помноженому на знаменник прогресії:

Застосуймо формулу \(n\text{-го}\) члена:

\begin{gather*} b_n=b_1\cdot q^{n-1};\\[7pt] b_4=2\cdot 3^{4-1}=2\cdot 3^3=2\cdot 27=54. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання властивостей вписаного та центрального кутів, уміння визначати довжину дуги кола.

Точка \(O\) – центр кола. За властивістю вписаного кута \begin{gather*} \angle ACB=\frac 12\angle AOB, \end{gather*} \(O\) – центр кола. Вписаний кут у колі дорівнює половині дуги, на яку він спирається, або половині відповідного центрального кута.

\begin{gather*} \angle AOB=2\cdot \angle ACB=2\cdot 30^\circ=60^\circ. \end{gather*}

Градусна міра дуги \(AB\) дорівнює \(60^\circ.\) За формулою довжини дуги:

де \(L\) – довжина кола, \(n\) – градусна міра центрального кута (градусна міра дуги).

Тобто

\begin{gather*} 30=\frac{L\cdot 60^\circ}{360^\circ},\\[6pt] 30=\frac L6,\\[6pt] L=30\cdot 6=180\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних і логарифмічних виразів.

1. \(\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3\in [2; 3].\)

Отже, правильна відповідь – Д.

2.

Отже, правильна відповідь – В.

3.

Отже, правильна відповідь – Б.

Для спрощення виразу застосували формули:

\begin{gather*} \log_a b^n=n\cdot \log_a b;\\[6pt] \log_{\textstyle a^k} b=\frac 1k\log_a b;\\[6pt] \log_a a=1. \end{gather*}

Відповідь: 1 – Д, 2 – B, 3 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. \(y=\cos x.\)

Функція парна \(\cos(-x)=\cos x\), тому її графік симетричний відносно осі \(Oy.\) Отже, 1 – B.
 

2. Функція \(y=-\frac 2x\) має графік гіперболу.

Вона ніколи не перетинає осей координат, оскільки \(x\ne 0\), то й \(y\ne 0.\)

Отже, 2 – Б.

3. Показникова функція \(y=2^x.\) Функція набуває лише додатних значень.

Оскільки показникова функція набуває лише додатних значень, графік функції може перебувати лише там, де \(y\gt 0.\) Це верхня частина координатної площини (над віссю \(Ox\)).

Оскільки функція визначена на всій числовій прямій, \(x\in (-\infty; +\infty)\), графік обов'язково буде в I та II чвертях.

Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – Б, 3 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. У прямокутному трикутнику \(\Delta ACB\ (\angle C=90^\circ)\) сума гострих кутів дорівнює \(90^\circ.\)

\(\angle B+\angle A=90^\circ\), \(\angle B=22^\circ\), тому \(\angle A=90^\circ-22^\circ=68^\circ.\) \(\angle BAC=68^\circ.\)

Отже, 1 – Г.
 

2. За умовою \(AK=KB\), тож трикутник \(AKB\) – рівнобедрений з основою \(AB.\) У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні:

 

Отже, 2 – B.
 

3. \(\Delta AKB\) – рівнобедрений, \(KO\) – медіана, \(AO=OB\) (як радіуси). За властивістю рівнобедреного трикутника, \(KO\) – висота, \(KO\!\perp\!AB.\)

\(\Delta ACB\) – прямокутний, тому центр кола, описаного навколо нього, лежить на середині гіпотенузи \(AB.\)

Отже, 3 – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання перевіряє вміння визначати похідну суми та обчислювати її значення в точці для заданого значення аргумента.

Перш ніж диференціювати, запишімо функцію \(f(x)\) у зручному вигляді (через степені), скориставшись їхніми властивостями:

Отже, функцію \(y\) можна записати у вигляді:

\begin{gather*} y=-2x^3+10x^{-1}-14. \end{gather*}

Визначмо похідну \(f'(x)\), застосувавши основні правила диференціювання та табличні значення:

Обчислімо значення похідної, підставивши \(x_0=2\) в отриманий вираз:

Відповідь: \(-26{,}5.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання перевіряє знання означення розміщення, уміння розв’язувати комбінаторні задачі, використовуючи правила суми та добутку.

В Олега було \(5\) справ:

1. Купити продукти.
2. Прибрати.
3. Відвідати спортзал.
4. Підготувати доповідь.
5. Відповісти на лист.

Він має вибрати \(3\) справи, але з однією важливою умовою: прибирання має бути обов'язковим.

Оскільки прибрати – це вже зафіксований вибір (\(1\) справа), треба вибрати ще \(2\) справи з тих, що залишилися.

Тобто треба вибрати \(2\) справи із \(4\) навмання. Для розрахунків застосуймо формулу комбінацій вибору \(k\) варіантів з \(n\) можливих:

Кількість способів вибрати \(2\) справи із \(4{:}\)

Отже, Олег має \(6\) варіантів вибору трьох справ за умови, що одна з них – прибирання.

Відповідь: \(6.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

Обчислімо площу ромба за формулою:

Порівняймо \(20\) та \(8\sqrt{3}.\)

Отже, більша діагональ основи дорівнює \(20.\)

Більша діагональ \(A_1C\) призми утворює прямокутний трикутник \(CAA_1\ (\angle A=90^\circ)\) із більшою діагоналлю основи \((AC=20)\) і висотою призми \((H=AA_1).\)

Оскільки кут нахилу \(30^\circ\ (\angle ACA_1=30^\circ)\), то

Обчислімо об’єм призми:

Відповідь: \(1600.\)