Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 2000

Завдання 2001 з 2199

Визначте найменше ціле значення \(a\), за якого система \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} (x-8)^2+(y-6)^2=16,\\ x^2+y^2=a \end{array}\right. \end{gather*} має два розв'язки.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь графічним методом і рівняння з параметром.

Розв'яжімо рівняння графічно. Розв'язок системи рівнянь – точки перетину графіків.

\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2\) – рівняння кола із центром у точці \(M(x_0; y_0)\) і радіусом \(R.\)

1) \((x-8)^2+(y-6)^2=16\) коло із центром \((8; 6)\) радіуса \(r=4.\)
2) \(x^2+y^2=a\) коло із центром \((0; 0)\) радіуса \(R=\sqrt{a}.\)

Система має два розв'язки тоді, коли ці два кола перетинаються у двох точках.

Обчислімо відстань між центрами кіл \(O_1O_2\) за формулою відстані між точками:

\begin{gather*} O_1O_2=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2};\\[7pt] O_1O_2=\sqrt{(8-0)^2+(6-0)^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10. \end{gather*}

Кола перетинаються у двох точках, якщо відстань між центрами \((O_1O_2=10)\) у межах між різницею і сумою їхніх радіусів \((r=4\) та \(R=\sqrt{a}).\)

Зовнішній дотик: \(R+r=O_1O_2.\)

\begin{gather*} \sqrt{a}+4=10;\\[7pt] \sqrt{a}=6. \end{gather*}

Внутрішній дотик: \(|R-r|=O_1O_2.\)

Якщо \(R\gt r{:}\)

\begin{gather*} \sqrt{a}-4=10;\\[7pt] \sqrt{a}=14. \end{gather*}

Якщо \(r\gt R{:}\)

\begin{gather*} 4-\sqrt{a}=10 \end{gather*}

(немає розв'язків, бо \(\sqrt{a}\) не може бути від'ємним).

Два розв'язки (перетин у двох точках) матимемо тоді, коли радіус \(R\) перебуватиме між значеннями, що відповідають дотикам:

\begin{gather*} 6\lt \sqrt{a}\lt 14. \end{gather*}

Піднесімо до квадрата:

\begin{gather*} 36\lt a\lt 196. \end{gather*}

Оскільки \(a\) має бути строго більшим за \(36\) (якщо \(a=36\), буде лише одна точка дотику), то найменше ціле значення \(37.\)

Відповідь: \(37.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 2002 з 2199

На діаграмі відображено інформацію про кількість глядачів, які протягом доби відвідали \(5\) зал кінотеатру: білу, блакитну, жовту, зелену та фіолетову. За діаграмою визначте, якому числовому проміжку належить кількість глядачів у зеленій залі.

А\([10; 15)\)

Б\([15; 25)\)

В\([25; 30)\)

Г\([30; 35)\)

Д\([35; 40)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 2003 з 2199

Розв'яжіть нерівність \(2x-1\ge 0.\)

А\([2; +\infty)\)

Б\([-0{,}5; +\infty)\)

В\((0{,}5; +\infty)\)

Г\([-2; +\infty)\)

Д\([0{,}5; +\infty)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 2004 з 2199

\(7n^3\cdot 8n^3=\)

А\(15n^9\)

Б\(56n^6\)

В\(56n^3\)

Г\(56n^9\)

Д\(15n^6\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 2005 з 2199

Яке геометричне тіло утвориться внаслідок обертання прямокутника з меншою стороною \(8\) см навколо прямої \(a\) (див. рисунок)?

Ациліндр із діаметром основи \(8\) см

Бконус із висотою \(8\) см

Вконус із радіусом основи \(8\) см

Гциліндр із висотою \(8\) см

Дциліндр із радіусом основи \(8\) см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 2006 з 2199

Визначте сторону ромба, діагоналі якого дорівнюють \(12\sqrt{5}\) i \(6\sqrt{5}.\)

А\(6\sqrt{15}\)

Б\(15\)

В\(9\sqrt{5}\)

Г\(30\)

Д\(3\sqrt{15}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 2007 з 2199

Принтер друкує сторінку за \(10\) секунд. Яку найбільшу кількість сторінок можна надрукувати на цьому принтері за \(5\) хвилин?

А\(30\)

Б\(300\)

В\(50\)

Г\(60\)

Д\(2\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 2008 з 2199

Функція \(y=f(x)\) визначена на проміжку \((0; +\infty)\) і набуває лише додатних значень. Визначте всі координатні чверті (див. рисунок), у яких розташований графік цієї функції.

Алише в I

Блише в I та IV

Влише в III та IV

Глише в I та IІ

Длише в II

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 2009 з 2199

\(\lg 4+\lg 0{,}025=\)

А\(\lg 4{,}025\)

Б\(0{,}1\)

В\(10\)

Г\(-1\)

Д\(-2\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 2010 з 2199

Розв'яжіть систему рівнянь \(\begin{cases} x(y+2)=12,\\ x(2y-1)=12. \end{cases} \)

Якщо \((x_0; y_0)\) – розв'язок цієї системи, то \(x_0=\)

А\(2{,}4\)

Б\(12\)

В\(3\)

Г\(4\)

Д\(\dfrac{5}{12}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на