ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна.

Завдання перевіряє знання правил знаходження первісної, визначеного інтеграла.

За формулою Ньютона – Лейбніца:

де \(f(x)\) – це неперервна функція на проміжку \([a; b]\), а \(F(x)\) – її первісна.

Відповідь: \(-3.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.

Завдання перевіряє знання визначення комбінації, уміння розв’язувати комбінаторні задачі.

Вибір двох різних сендвічів.

Оскільки порядок вибору двох різних сендвічів не має значення, скористаймося формулою комбінацій вибору \(k\) варіантів з \(n\) можливих:

Вибір салату та напою.

Вибираємо по одній страві:

• Салат: \(8\) варіантів.
• Напій: \(6\) варіантів.

Загальна кількість варіантів.

За правилом добутку (оскільки ми вибираємо сендвічі, салат і напій одночасно) перемножмо результати:

Правило добутку: якщо об’єкт \(A\) можна вибрати \(n\) способами, а об’єкт \(B\) – \(m\) способами, то пару \(A\) і \(B\) можна вибрати \(n\cdot m\) способами.

Відповідь: \(2160.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання формул для обчислення об'єму конуса.

Осьовий переріз конуса – рівнобедрений трикутник \(ABC.\) Оскільки за умовою він прямокутний \((\angle A=90^\circ){:}\)
– гіпотенуза збігається з діаметром основи конуса: \(d=12.\)
– радіус основи \((R){:}\ R=\dfrac d2=\dfrac{12}{2}=6.\)

У прямокутному рівнобедреному трикутнику висота \(H\), проведена до гіпотенузи, є медіаною. За властивістю прямокутного трикутника, така медіана дорівнює половині гіпотенузи:

Важливо: Якщо осьовий переріз конуса – прямокутний трикутник, то його висота завжди дорівнює радіусу основи \((H=R).\)

Об'єм конуса:

\begin{gather*} V=\frac 13\pi R^2H. \end{gather*}

Підставмо значення \(R=6\) та \(H=6{:}\)

Відповідь: \(72.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння з параметрами, а також досліджувати їхні властивості за допомогою теореми Вієта.

Щоб корені існували, дискримінант \((D)\) має бути невід’ємним:

Оскільки \((3a-1)^2\ge 0\) для будь-якого значення \(a\), то корені існують за будь-якого \(a.\)

Обидва корені додатні, якщо одночасно виконано дві умови: їхня сума та їхній добуток більші за нуль.

Для зведеного квадратного рівняння \(x^2+px+q=0\) за теоремою Вієта сума коренів дорівнює \(x_1+x_2=-p\), а добуток \(x_1\cdot x_2=q.\)

У цьому рівнянні:

1) аналізування суми коренів:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2\gt 0,\\ x_1+x_2=9-a; \end{array}\right.\\[7pt] 9-a\gt 0;\\[7pt] 9\gt a;\\[7pt] a\lt 9; \end{gather*}

2) аналізування добутку коренів:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x_1\cdot x_2\gt 0,\\ x_1\cdot x_2=20-3a-2a^2; \end{array}\right.\\[7pt] 20-3a-2a^2\gt 0. \end{gather*}

Помножмо на \(-1\) (змінивши знак нерівності):

\begin{gather*} 2a^2+3a-20\lt 0;\\[7pt] 2a^2+3a-20=0;\\[7pt] D=3^2-4\cdot 2\cdot (-20)=9+160=169;\\[7pt] D=\sqrt{169}=13;\\[6pt] a_1=\frac{-3-13}{2\cdot 2}=\frac{-16}{4}=-4;\\[6pt] a_2=\frac{-3+13}{2\cdot 2}=\frac{10}{4}=2{,}5. \end{gather*}

Отже, \(a\in (-4; 2{,}5).\)

Визначмо перетин отриманих умов:
1) \(a\lt 9;\)
2) \(a\in (-4; 2{,}5).\)

Спільний розв’язок – проміжок \(a\in (-4; 2{,}5).\)

Випишімо всі цілі числа, що входять у цей проміжок:

\begin{gather*} \{-3; -2; -1; 0; 1; 2\}. \end{gather*}

Усього таких значень шість.

Відповідь: \(6.\)

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній формі.

Щоб глядачів було більше, стовпчик має бути вищим за жовтий.

Біла зала: висота \(55\ (55\gt 35)\) – глядачів було більше, ніж у жовтій.

Блакитна зала: висота \(40\ (40\gt 35)\) – глядачів було більше, ніж у жовтій.

Зелена зала: висота \(20\ (20\lt 35)\) – глядачів було менше, ніж у жовтій.

Фіолетова зала: висота \(45\ (45\gt 35)\) – глядачів було більше, ніж у жовтій.

Правильний варіант:  біла, блакитна та фіолетова зали.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати рівняння першого степеня.

Розв'яжімо лінійне рівняння:

\begin{gather*} 0{,}02x=-2.\\[7pt] x=-2:0{,}02;\\[7pt] x=-100. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє вміння розкривати дужки або множити число на суму двох чи більше чисел.

Щоб помножити число на суму двох чисел, треба це число помножити на кожен доданок і результати додати. Розкриймо дужки:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограмів, суміжних кутів.

Розгляньмо прямі \(AB\) і \(CD\) та січну \(MK.\) Кут \(BAD\) та кут \(CDK\) є відповідними кутами при паралельних прямих \(AB\!\parallel\!CD\) та січній \(MK.\)

\begin{gather*} \angle BAD=\angle CDK=55^\circ. \end{gather*}

За властивістю суміжних кутів:

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема конуса.

Конус утворений обертанням рівностороннього (рівнобедреного) трикутника \(APB\) навколо його висоти \(PO\), проведеної до основи.

Відповідь: Г.