ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Щоб спростити вираз, застосуймо формулу скороченого множення – різницю квадратів:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами.

Різниця векторів \(\vec a(x_1; y_1; z_1)\) i \(\vec b(x_2; y_2; z_2)\) – вектор \(\vec c=\vec b-\vec a\)

Щоб визначити координати різниці двох векторів, треба від координат першого вектора (зменшуваного) відняти відповідні координати другого вектора (від'ємника).

\begin{gather*} \vec a(3; 5; 7);\\[7pt] \vec b(2; -4; 8);\\[7pt] \vec c=\vec b-\vec a.\\[7pt] \vec c(2-3; -4-5; 8-7);\\[7pt] \vec c(-1; -9; 1). \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули суми \(n\)-перших членів арифметичної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії.

За формулою \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники та їхні елементи.

Завдання перевіряє розуміння означення та ключових властивостей медіани, середньої лінії трикутника й описаного навколо трикутника кола.

І. Точка, рівновіддалена від усіх вершин трикутника, – центр описаного навколо нього кола.

Навколо будь-якого трикутника можна описати коло, і до того ж лише одне. Центр цього кола в точці перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника. Твердження правильне.

II. Медіана сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони, тому утворені трикутники мають рівні основи.

Оскільки вони мають спільну висоту, проведену до прямої, що містить ці основи, то за формулою \begin{gather*} S=\frac 12a\cdot h_a. \end{gather*} їхні площі рівні. Трикутники з однаковою площею рівновеликі. Твердження правильне.

III. Точка перетину медіан (центроїд) ділить кожну медіану у відношенні \(2:1\) (рахуємо від вершини трикутника). Це означає, що точка перетину медіан розташована на відстані \(\dfrac 13\) довжини медіани від основи трикутника.

Середня лінія трикутника, яка паралельна тій самій основі, за своєю властивістю проходить через середину медіани. Тобто вона розташована на відстані \(\dfrac 12\) довжини медіани від тієї ж основи.

Оскільки відстані до основи різні \(\dfrac 13\ne \dfrac 12\), середня лінія не проходить через точку перетину медіан. Вона проходить вище від центроїда (ближче до вершини, рахуючи від основи).

Твердження неправильне.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Рівняння \(\cos x=0\) має загальний розв’язок: \begin{gather*} x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ \text{де}\ k\in Z. \end{gather*}

Розгляньмо значення \(k\), за яких \(x\) потрапляє в проміжок \([0; \pi].\)

Якщо \(k=0\), то \(x=\frac{\pi}{2},\) тобто належить проміжку \([0; \pi].\)

Якщо \(k=1\), то \(x=\frac{\pi}{2}+\pi=\frac{3\pi}{2},\) тобто не належить проміжку \([0; \pi].\)

Якщо \(k=-1\), то \(x=\frac{\pi}{2}-\pi=-\frac{\pi}{2},\) тобто не належить проміжку \([0; \pi].\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Дійсні числа.

Завдання скеровано на перевірку тотожних перетворень раціональних та логарифмічних виразів.

1. Скористаймося формулою скороченого множення квадрат різниці:

Отже, правильна відповідь – Д.

Скористалися формулою скороченого множення різниця квадратів:

Отже, правильна відповідь – A.

3. Скористаймося властивостями логарифма:

Отже, правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – Д, 2 – A, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком і формулою.

A. Функція \(y=-\dfrac 3x\) має графік – гіперболу.

Б. \(y=x^2+3\) квадратична функція, графік якої – парабола з вершиною на осі \(y.\)

Функція \(y=x^2+3\) парна:

\begin{gather*} f(-x)=(-x)^2+3=x^2+3=f(x). \end{gather*}

Графік симетричний відносно осі \(y.\) Отже, 3 – Б.

B. Функція \(y=\sqrt{x}\) зростає на всій області визначення.

\(y=\sqrt{x}\) за означенням набуває значень від \(0\) до \(+\infty.\)

\begin{gather*} E(y)=[0; +\infty). \end{gather*}

Отже, 2 – B.

Г. \(y=\log_{0{,}5}x\) логарифмічна функція з основою \(a=0{,}5.\)

Оскільки основа \(0{,}5\lt 1\), функція спадна на всій своїй області визначення \(x\gt 0.\) У точці \(x=3\) функція має найменше значення на відрізку \([1; 3]\).

Отже, 1 – Г.

Д. Графік функції \(y=3x\) – пряма.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. \(\angle KAB.\) Оскільки \(\Delta AKB\) рівнобедрений \((AK=KB)\), то кути при його основі рівні:

Отже, 1 – B.

2. \(\angle KAC.\) Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює \(90^\circ.\) \(\Delta ACB{:}\)

Оскільки промінь \(AK\) проходить між сторонами кута \(\angle CAB{:}\)

Отже, 2 – Б.

3. \(\angle OKB.\)

У прямокутному трикутнику центр описаного кола (точка \(O\)) – середина гіпотенузи \((AB).\) Отже, \(AO=OB.\) Оскільки \(\Delta AKB\) – рівнобедрений \((AK=KB)\) за умовою, то медіана \(KO\), проведена до його основи \(AB\), є також і висотою. \(KO\!\perp\!AB\Rightarrow \angle KOB=90^\circ.\) Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює \(90^\circ. \Delta KOB{:}\)

Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна.

Завдання перевіряє знання правил знаходження первісної, визначеного інтеграла.

За формулою Ньютона – Лейбніца:

де \(f(x)\) – це неперервна функція на проміжку \([a; b]\), a \(F(x)\) – її первісна.

Відповідь: \(-7{,}5.\)