ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції.

Завдання перевіряє вміння знаходити значення функції в точці за її графіком.

Нерівність \(f(x_0)\gt 0\) виконується для тих значень аргумента, за яких графік функції розташований у верхній півплощині (вище від осі \(Ox\)). Функція набуває додатних значень на проміжку \(x\in [-2; 1).\)

Серед запропонованих варіантів лише значення \(x=-1\) входить у цей проміжок. У точці \(x=1\) функція дорівнює нулю \(f(1)=0\), що не задовольняє строгу нерівність.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Трикутники.

Завдання перевіряє знання видів трикутників і їхніх основних властивостей, властивостей медіани трикутника.

I. Твердження правильне. Згідно з аксіомами геометрії, кожна сторона трикутника має лише одну середину. Відрізок, що сполучає цю точку з протилежною вершиною, за означенням є медіаною.

II. Твердження неправильне. Центр вписаного кола — точка перетину бісектрис (інцентр). Точку перетину медіан називають центроїдом (або центром мас). Центроїд ділить кожну медіану у відношенні \(2:1\), рахуючи від вершини.

III. Твердження правильне. Це властивість медіани, проведеної до гіпотенузи. Оскільки центр описаного навколо прямокутного трикутника кола завжди лежить на середині гіпотенузи, то медіана, що з'єднує вершину прямого кута із цією точкою, – радіус \((R).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом та обчислювати відсотки.

Плата зросла на \(144-120=24\) (грн).

\(24\) гривні становлять від \(120\) гривень:

\begin{gather*} \frac{24}{120}\cdot 100\,\%=\frac 15\cdot 100\,\%=20\,\%. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Логарифмічні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

За означенням логарифма:

\begin{gather*} \log_a b=c;\\[7pt] b=a^c. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} x=0{,}5^{-2};\\[6pt] x=\left(\frac 12\right)^{-2};\\[6pt] x=2^2;\\[7pt] x=4. \end{gather*}

Корінь рівняння \(4\in (1;4].\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання означення степеня з натуральним показником, його властивостей.

Використали властивість степеня з натуральним показником:

\begin{gather*} (ab)^x=a^x\cdot b^x;\\[6pt] \frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання властивостей призми та вміння розв'язувати стереометричні задачі.

Площу бічної поверхні призми визначмо за формулою:

\begin{gather*} S_\text{біч}=P_\text{осн}\cdot H. \end{gather*}

В основі правильної чотирикутної призми лежить квадрат зі стороною \(a\), тож його периметр:

\begin{gather*} P=4a. \end{gather*}

У правильній призмі бічне ребро – її висота, отже \(H=b.\)

\begin{gather*} S_\text{біч}=4a\cdot b=4ab. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати системи лінійних та ірраціональних рівнянь.

Піднесімо обидві частини першого рівняння до квадрата:

\begin{gather*} ((\sqrt{a})^2=a,\ \text{якщо}\ a\ge 0){:}\\[7pt] 2x=6;\\[7pt] x=6:2. \end{gather*}

Підставмо \(x=3\) у рівняння \(x-4y=7{:}\)

\begin{gather*} 3-4y=7;\\[7pt] -4y=7-3;\\[7pt] -4y=4;\\[7pt] y=4:(-4);\\[7pt] y=-1. \end{gather*}

Отже, \(y_0=-1.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання означення арифметичної прогресії, формули її \(n\text{-го}\) члена.

За формулою \(n\text{-го}\) члена:

\begin{gather*} a_n=a_1+d(n-1).\\[7pt] a_5=a_1+4d;\\[7pt] a_3=a_1+2d. \end{gather*}

Спростімо вираз:

Отже, \(a_5-a_3=2\cdot 4=8.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей чотирикутників, зокрема квадрата, прямокутного трикутника, уміння застосовувати теорему Піфагора.

\(ABCD\) – квадрат, \(BC=12\) см. Точка \(K\) ділить сторону \(BC\) у відношенні \(BK:KC=3:1.\) Нехай \(BK=3x\) см, \(KC=x\) см.

\begin{gather*} BC=BK+KC;\\[7pt] 3x+x=12\ \text{см};\\[7pt] 4x=12\ \text{см};\\[7pt] x=3. \end{gather*}

Отже, \(BK=9\) см, \(KC=3\) см.

Розгляньмо \(\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ).\) Катети \(AB=12\) см і \(BK=9\) см. За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AK^2=AB^2+BK^2. \end{gather*}

Визначмо довжину гіпотенузи:

\begin{gather*} AK^2=12^2+9^2=144+81=225;\\[7pt] AK=\sqrt{225}=15\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Б.