ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функції, заданої формулою.

Область визначення функції – множина всіх значень аргумента функції.

\(D(y)=(-\infty; 0)\cup (0; +\infty)\ (x\ne 0).\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання властивостей круга та його частин.

За умовою \(OA=12\) см, \(O_1A=8\) см. Отже,

\begin{gather*} OO_1=OA-O_1A=12-8=4\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння з параметрами, користуватися графічним методом розв'язування і дослідженням рівнянь.

Розв'яжемо графічно. \begin{gather*} \sqrt[\scriptstyle 4]{|x| - 1} - 2x = a,\\[7pt] \sqrt[\scriptstyle 4]{|x| - 1} = 2x + a. \end{gather*}

Умова задачі зводиться до знаходження найбільшого значення параметра \(a\), при якому графіки функцій \(\sqrt[\scriptstyle 4]{|x| - 1}\) та \(y = 2x + a\) мають одну спільну точку. Побудуємо графіки даних функцій

\(y = 2x + a\) лінійна функція, пряма буде переміщатися на \(a\) одиниць вздовж осі \(y.\)

При \(a \lt 0\) пряма \(y = 2x + a\) може мати спільні точки тільки з одною гілкою параболи \(\sqrt[\scriptstyle 4]{|x| - 1}.\)

Щоб така точка була одна, необхідно прямій \(y = 2x + a\) бути дотичною до графіка функції \(\sqrt[\scriptstyle 4]{|x| - 1}.\)

Отже, знайдемо рівняння дотичної:

\((y = 2x + a\) – рівняння дотичної \(k = y'(x_0) = 2).\)

\(x_0\) – точка дотику.

За формулою рівняння дотичної до графіка функції в точці \(x_0\), маємо:

Отже, \(y = 2x + a = 2x - 1\dfrac{5}{8}\),

\(a = -1\dfrac{5}{8} = -1{,}625.\)

Відповідь: \(-1{,}625.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення площ поверхонь, уміння знаходити зазначені відстані та величини кутів у просторі.

Нехай \(SABCD\) – піраміда, \(ABCD\) – ромб, \(\angle B = 120^\circ.\)

Побудуємо \(BK\!\perp\!AD\), \(BM\!\perp\!CD\) (висоти ромба). За теоремою про три перпендикуляри \(SK\!\perp\!AD\), \(SM\!\perp\!CD.\)

\((SKB)\!\perp\!AD \Rightarrow \angle SKB = 30^\circ\) – лінійний кут відповідного двогранного між площинами \((SAD)\) і \((ABC).\)

\((SMB)\!\perp\!CD\ \Rightarrow \angle SMB = 30^\circ\) – лінійний кут відповідного двогранного між площинами \((SDC)\) і \((ABC).\)

У \(\Delta SBK\) \((\angle B = 90^\circ)\), \(\angle K = 30^\circ\),

\(\Delta ABK\) \((\angle K = 90^\circ)\), \(\angle A = 60^\circ\) (за властивістю кутів ромба \(\angle A + \angle B = 180^\circ\))

\begin{gather*} AB = \frac{BK}{\sin 60^\circ} = \frac{4\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} = 8\ \text{см}. \end{gather*}

\(\Delta ASD = \Delta CSD\) (за трьома сторонами: \(AD = DC\) – сторони ромба, \(SD\) – спільна, \(SA = SC\) як рівні похилі).

\(\Delta SBA = \Delta SBC\) (за трьома сторонами),

Відповідь: \(96.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє знання класичного означення ймовірності події, уміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

У фестивалі беруть участь \(25\) гуртів. Гурт з України може бути першим з імовірністю \(\dfrac{1}{25}.\)

Імовірність того, що порядковий номер виступу гурту з Чехії буде парним, дорівнює \(\dfrac{12}{24}\) (парних номерів \(12\) з \(24\) можливих).

За правилом добутку ймовірностей, ця подія \((A)\) відбудеться з імовірністю

Відповідь: \(0{,}02.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ криволінійних трапецій.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати формулу Ньютона – Ляйбніца для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Площа фігури, обмеженої лініями

Побудуємо графіки параболу та пряму:

\(y = x^2\) перетворимо \(y{:}\) \(y = -(x + 1)^2 + \dfrac{22}{3}\) за допомогою елементарних перетворень: перенесемо вліво на \(1\) одиницю вздовж осі \(Ox\), симетрично відобразимо відносно осі \(Ox\) та піднімемо вгору на \(\dfrac{22}{3}\) одиниці.

За формулою Ньютона – Ляйбніца

Відповідь: \(12.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Геометричні величини та їх вимірювання.

Це завдання перевіряє знання про коло, описане навколо трикутника, і коло, вписане в трикутник, дотичних до кола та їхніх властивостей.

\(\Delta ABC\) – прямокутний, \(\angle C = 90^\circ.\) \(AK = 4{,}5\) см, \(MB = 6\) см.
Точка \(O\) – центр вписаного кола. \(OK\), \(OM\), \(OE\) – радіуси вписаного кола. За властивістю радіуса кола, проведеного в точку дотику \(OK\!\perp\!AC\), \(OE\!\perp\!AB\), \(OM\!\perp\!CB.\)
\(KOMC\) – квадрат. За властивістю дотичних до кола \begin{gather*} AK = AE = 4{,}5\ \text{см},\\[7pt] MB = BE = 6\ \text{см}. \end{gather*} Отже,

Радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, дорівнює половині гіпотенузи:

Відповідь: \(5{,}25.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості.

Це завдання перевіряє знання означення найбільшого і найменшого значень функції, вміння застосовувати похідну до дослідження функції.

Найбільше значення функції знайдемо за допомогою похідної функції (складеної):

Знаходимо критичні точки: \(y' = 0.\)

На проміжку довжиною \(2\pi\) знайдемо знаки похідної:

\(x = 0;\ \ \pi\) – точка максимуму.

Найбільше значення функції \(y = 40{,}5.\)

Відповідь: \(40{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє знання формул скороченого множення, модуля дійсного числа та його властивостей.

Отже, \(|y - 2x| = 1{,}5.\)

Відповідь: \(1{,}5.\)