Пояснення

Пояснення

Пояснення

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння і нерівності. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати лінійні рівняння.

\begin{gather*} \frac 2x=5;\\[6pt] x=\frac 25;\\[6pt] x=0{,}4. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння з параметрами.

\begin{gather*} \sqrt{(\sqrt{x-3})^2+2\sqrt{x-3}+1}+(14-2a)\sqrt[\scriptstyle 4]{x-3}+32-6a=0;\\[7pt] \sqrt{(\sqrt{x-3}+1)^2}+(14-2a)\sqrt[\scriptstyle 4]{x-3}+32-6a=0;\\[7pt] |\sqrt{x-3}+1|+(14-2a)\sqrt[\scriptstyle 4]{x-3}+32-6a=0;\\[7pt] \sqrt{x-3}+1 \gt 0. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} |\sqrt{x-3}+1|=\sqrt{x-3}+1;\\[7pt] \sqrt{x-3}+(14-2a)\sqrt[\scriptstyle 4]{x-3}+33-6a=0. \end{gather*}

Нехай \(\sqrt[\scriptstyle 4]{x-3}=t\ge 0\), тоді

\begin{gather*} t^2+(14-2a)t+33-6a=0;\\[7pt] D=(14-2a)^2-4(33-6a)=196-56a+4a^2-132+24a=\\[7pt] =4a^2-32a+64=4(a-4)^2;\\[6pt] t_1=\frac{2a-14+2(a-4)}{2}=a-7+(a-4);\\[6pt] t_2=\frac{2a-14-2(a-4)}{2}=a-7-(a-4). \end{gather*}

Розглянемо випадок \(D=0\), \(a=4.\)
\(t=4-7=-3\) не задовольняє умові \(t\gt 0.\)

\(D \gt 0,\ a\ne 4\).

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} t_1=a-7\pm(a-4),\ \text{при } a\gt 4,\\ t_2=a-7\pm(a-4),\ \text{при } a\lt 4. \end{array}\right. \end{gather*}

1) \(t_1=a-7+a-4=2a-11\), \(2a-11\ge 0\), \(2a\ge 11\), \(a\ge 5{,}5\),
\(t_2=a-7-a+4=-3.\)

2) \(t_1=a-7+(a-4)=2a-11\), \(a\ge 5{,}5\),
\(t_2=a-7-(a-4)=-3.\)

Найменше значення \(a\), при якому рівняння має хоча б один корінь \(a=5{,}5.\)

Відповідь: \(5{,}5.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення об'ємів многогранників, уміння будувати перерізи многогранників, ознак перпендикулярності прямої та площини у просторі.

\(ABCA_1B_1C_1\) – пряма призма \(\Delta ABC\) – рівнобедрений, \(AB=BC=25\) см, \(AC=30\) см.

Додаткова побудова:
\(AK\ \perp\ BC\) (у \(\Delta ABC\)),
\(KK_1\ \perp BC\ (BCC_1).\)

За ознакою перпендикулярності прямої та площини \(BC\ \perp\ (AKK_1).\)

Отже, \(AKK_1A_1\) – переріз призми, який проходить через ребро \(AA_1\) та перпендикуляра \(BC.\) \(AKK_1A_1\) – прямокутник.

Розглянемо \(\Delta ABC.\) \(BE\ \perp\ AC\), \(AK\ \perp\ BC.\) \(\Delta ABE\) \((\angle E=90^\circ)\), \(AB=25\) см.

\(AE=\frac 12 AC=15\) см (\(BE\) – висота та медіана). За теоремою Піфагора

Відповідь: \(900.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ криволінійних трапецій.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати геометричний зміст визначеного інтеграла.

Застосуємо геометричний зміст визначеного інтеграла – площа фігури, обмеженої графіком функції та віссю \(Ox.\)

Дана фігура – прямокутна трапеція \(OABC\) з основами \(OA = 3\), \(BC = 8\) та висотою \(OC = 7.\) Отже,

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_{0}^{7} = S_{OABC} = \frac{OA + BC}{2}\cdot OC = \frac{3 + 8}{2}\cdot 7 = \frac{11}{2}\cdot 7 = 5{,}5\cdot 7 = 38{,}5. \end{gather*}

Відповідь: \(38{,}5.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних та степеневих виразів.

\begin{gather*} (\sqrt{20})^{\textstyle 2+\log_{20}16} = \left(20^{\textstyle \frac{1}{2}}\right)^{\textstyle 2+\log_{20}16} = \left(20^{\textstyle \frac{1}{2}}\right)^2 \cdot \left(20^{\textstyle \frac{1}{2}\log_{20}16}\right) =\\[6pt] = 20 \cdot 20^{\textstyle \log_{20}\sqrt{16}} = 20 \cdot \sqrt{16} = 20 \cdot 4 = 80. \end{gather*}

Відповідь: \(80.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми Піфагора, співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника, властивостей прямокутника.

\(BC = 24\) см, \(AM = 10\sqrt{2}\) см. \(AM\) – бісектриса \(\angle A.\)

\(\angle A = 90^\circ\), \(AM\) – бісектриса, тому \(\angle BAM = 45^\circ.\) Отже, \(\Delta ABM\) – прямокутний рівнобедрений. \(AB = BM.\)

За теоремою Піфагора

\begin{gather*} AM^2 = AB^2 + BM^2 = AB^2 + AB^2 = 2AB^2;\\[7pt] (10\sqrt{2})^2 = 2AB^2;\\[7pt] 10^2\cdot 2 = 2\cdot AB^2;\\[7pt] AB = 10\ \text{см}. \end{gather*}

\(\Delta ABC\ (\angle B = 90^\circ)\) за теоремою Піфагора

\begin{gather*} AC^2 = AB^2 + BC^2 = 100 + 24^2 = 100 + 576 = 676;\\[7pt] AC = \sqrt{676}=26\ \text{см}. \end{gather*}

Центр кола, описаного навколо прямокутника, лежить в точці перетину діагоналей. Діагональ \(AC\) ділиться цією точкою навпіл.

Отже, радіус кола

\begin{gather*} R = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\cdot 26 = 13\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: \(13.\)