ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі, зокрема на відсотки.

Після зниження ціни на \(15\ \%\) вартість товару становить \begin{gather*} 100\ \%-15\ \%=85\ \%. \end{gather*}

Знайдемо \(85\ \%\) від \(1800\) грн:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння з параметрами.

ОДЗ:

Початкове рівняння має корінь \(x=-7{,}5\) незалежно від параметра \(a.\)

Отже, для того, щоб рівняння мало лише два різних кореня, друге рівняння повинно мати один корінь, який не дорівнює \(-7{,}5.\)

Розв'яжемо графічно рівняння \(|x+9|-|x-5|=a.\)

Розглянемо функції \(y=|x+9|-|x-5|\) та \(g(x)=a.\)

на області допустимих значень
при \(x \in [-7{,}5; 5]\) \begin{gather*} y=x+9+x-5,\\[7pt] y=2x+4. \end{gather*}
при \(x \in (5; +\infty)\) \begin{gather*} y=x+9-x+5,\\[7pt] y=14. \end{gather*}

Функції перетинаються в одній точці при \(a \in (-11; 14)\), але при \(a=-11\) корені двох рівнянь співпадуть та рівняння буде мати один корінь.

Отже, правильна відповідь \(a \in (-11; 14).\)
Найменше ціле значення \(a=-10.\)

Відповідь: \(-10.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення об'ємів многогранників, уміння будувати перерізи многогранників, ознак паралельності прямої та площини у просторі.

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – пряма призма, тому \(CC_1 \perp (ABC)\), \(ABCD\) – трапеція, \(AB=CD.\)

Додаткова побудова: \(CK\ ||\ AB.\)

\(CC_1\ ||\ BB_1\), \(CK\ ||\ AB\), \(CK\cap CC_1\), \(AB\cap BB_1\), звідси, за ознакою паралельності площин \((CKC_1)\ ||\ (ABB_1).\)

Січна площина \((CC_1K)\) перетинає паралельні площини по паралельних прямих. Отже, \(KK_1\ ||\ AA_1\), \(C_1K_1\ ||\ CK.\)

\(AB\ ||\ CK\), \(CK\in (CC_1K)\Rightarrow AB\ ||\ (CC_1K).\)

Прямокутник \(KCC_1K_1\) – шуканий переріз.

Отже,

\begin{gather*} S_\text{основи}=\frac{672}{8}=84\ \text{см}^2. \end{gather*}

Нехай \(BC=x\) см, тоді \(AD=CE=6x\) см.

\begin{gather*} S_\text{основи}=S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot CE, \end{gather*}

де \(CE \perp AD\) – висота трапеції.

\begin{gather*} \frac{x+6x}{2}\cdot 6x=84;\\[6pt] 21x^2=84;\\[7pt] x^2=4;\\[7pt] x=2;\\[7pt] BC=2\ \text{см};\\[7pt] AD=CE=12\ \text{см}. \end{gather*}

\(\Delta CED\ (\angle E=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

\(AB=CD\) (за умовою), \(AB=CK\) (протилежні сторони паралелограма).

Отже, \(CK=13\) см.

Відповідь: \(104.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ криволінійних трапецій.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати геометричний зміст визначеного інтеграла.

\(\displaystyle \mathop{\int}\limits_{-5}^{0}\sqrt{25-x^2}\ dx\) – площа фігури, обмеженої графіком функції \(y=\sqrt{25-x^2}\),
\(y \ge 0\), \(x \in [-5; 0].\)

Відповідь: \(6{,}25.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми синусів та наслідку з неї, співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника.

1. У \(\Delta AKB\ (\angle K = 90^\circ)\) \begin{gather*} \mathrm{tg}\ B = \frac{AK}{KB} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}. \end{gather*} Отже, \(\angle B = 60^\circ\).

2. \(\angle KBA + \angle ABC = 180^\circ\) (суміжні), \(\angle ABC = 120^\circ\).

3. За наслідком з теореми синусів:

Відповідь: \(45.\)