ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання формул для обчислення площ поверхонь піраміди.

Оскільки піраміда правильна, бічні ребра рівні між собою. Отже, бічна грань — це рівнобедрений прямокутний трикутник. В такому трикутнику гіпотенузою може бути тільки сторона основи піраміди (оскільки бічні ребра мають бути рівними катетами). \(AB=BC=CA=6\) см.

Апофема \((FK)\) — це висота бічної грані піраміди, проведена з її вершини. Висота у прямокутному трикутнику, проведена до гіпотенузи, є медіаною і дорівнює половині гіпотенузи:

За формулою \begin{gather*} S_{біч}=\frac 12P_\text{осн}\cdot m, \end{gather*} де \(P_\text{осн}\) – периметр основи, \(m\) – апофема, знаходимо блощу бічної поверхні:

Апофема \(m=FK=3\) см.

Відповідь: \(27.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, аналізувати та досліджувати рівняння, розв'язувати рівняння з параметром.

Розкриємо дужки та перенесемо всі доданки з \(x\) в один бік, а числа та параметри — в інший.

За умовою корінь рівняння має бути від’ємним числом \((x\lt 0){:}\)

\begin{gather*} \frac{a-10}{a}\lt 0. \end{gather*}

Розв`яжемо нерівність методом інтервалів:

Отже, \(x\lt 0\) при \(a\in (0; 10).\)

Найбільше ціле число \(a\) з інтервалу \((0; 10)\) це \(9.\)

Відповідь: \(9.\)

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей коренів, уміння виконувати дії з ірраціональними числами.

Перетворімо мішане число у неправильний дріб:

Застосували властивість арифметичного квадратного кореня

\begin{gather*} \sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},\ \text{де}\ a\ge 0,\ b\gt 0. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній формі.

Аналізуючи результати опитування на поданій діаграмі бачимо, що: поп-музику вподобало — \(30\) учнів, а класичну — \(15\) учнів.

Обчислімо різницю:

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння.

Розв'яжімо лінійне рівняння

Розділимо обидві частини рівняння на \(3{:}\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема сфери.

Сфера утворена обертанням кола навколо його діаметра.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа, порівняння чисел та дії з ними.

Це завдання перевіряє вміння використовувати властивості модуля до розв'язування задач.

За властивістю модуля:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

Графік перетинає вісь \(x\) в точці \((3; 0).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Квадрат.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості квадрата до розв'язування планіметричних задач.

Діагоналі квадрата ділять його на \(4\) рівновеликі трикутники. Медіана, проведена до основи одного з цих трикутників, ділить його ще на \(2\) рівновеликі частини.

Отже, зафарбована частина \(\dfrac 12\cdot \dfrac 14=\dfrac 18\) всієї площі.

Якщо \(\dfrac 18\cdot S=12\) см\(^2\), то \(S=8\cdot 12=96\) см\(^2.\)

Відповідь: A.