ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми про суму кутів трикутника, властивостей суміжних та вертикальних кутів.

\(\angle DAC + \angle CAB = 180^\circ\) як суміжні.

\(\angle DAC = 146^\circ\), \(\angle CAB = 180^\circ - 146^\circ = 34^\circ.\)

У \(\Delta ABC\) \((\angle B = 90^\circ).\) \(\angle A + \angle C = 90^\circ\), \(\angle C = 90^\circ - 34^\circ = 56^\circ.\) \(\angle ACB = \alpha = 56^\circ\) (як вертикальні).

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функції, заданої графіком.

Область значень функції – множина всіх значень, які може приймати змінна \(y.\)

Отже, \(E(y) = [-1; 2].\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Аксіоми і теореми стереометрії. Взаємне розміщення прямих у просторі, прямої та площини у просторі, площин у просторі.

Це завдання перевіряє знання взаємного розміщення прямих та площин у просторі, ознаки паралельності прямої та площини.

Через дві точки \(B\) і \(C\) можна провести пряму, і до того ж тільки одну.

Через одну пряму можна провести безліч площин.

\(a\ ||\ BC.\) За ознакою паралельності прямої та площини, кожна з площин, яка містить пряму \(BC\), буде паралельна прямій \(a.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми подання статистичної інформації.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, подану у вигляді діаграми.

За даними діаграми, цифрових фотоапаратів продано \(200\), а мобільних телефонів приблизно \(600.\) Більше ніж фотоапаратів, але менше ніж телефонів, продано телевізорів та ноутбуків.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні), їх порівняння та дії з ними. Числові множини та співвідношення між ними.

Це завдання перевіряє вміння порівнювати звичайні дроби.

Запишемо дроби з однаковим чисельником

Використаємо правило: з двох дробів з однаковими чисельниками більший той, у якого знаменник менше.

Отже, в порядку зростання буде:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Показникові рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння і нерівності, що містять показникові вирази, рівняння з параметрами, застосовувати властивості функцій у процесі розв'язування рівнянь.

Розглянемо ліву частину рівняння.

Оцінимо область значень функції

Розглянемо праву частину рівняння:

Отже, рівність досягається при

Корінь рівняння буде додатним при \begin{gather*} \frac{n}{2}-\frac{5}{8},\\[6pt] n\gt \frac{5}{4},\\[6pt] n\gt 1\frac{1}{4},\ n\in Z. \end{gather*}

Отже, при \(n=2\), \(3\), \(4\text{...}\)

Найменше значення параметра \(a{:}\ n=2.\)

Відповідь: \(-2{,}625.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати ознаки та властивості паралельних прямих і площин до розв'язування стереометричних задач, означення та властивості піраміди.

\((SBC)\ \perp\ (ABC)\), тому висота піраміди \(SO\) належить цій грані.

\(AD\ ||\ BC\) (основи трапеції) \((SBC)\) проходить через пряму \(BC\ ||\ DA.\)

За ознакою паралельності прямої і площини \(AD\ ||\ (SBC).\)

Площина \((AMD)\) проходить через \(AD\ ||\ (SBC)\), тому \((AMD)\cap (SBC)=MN\ ||\ AD.\)

\(AD\ ||\ BC\), \(AD\ ||\ MN\rightarrow MN\ ||\ BC\),
\((SAB)\cap (MAD)=AM\), \((SCD)\cap (MAD)=ND.\)

\(AMND\) – переріз піраміди (трапеція).

У \(\Delta SBC\) \(MN\) – середня лінія (за умовою \(SM=MB\)), \(MN\ ||\ BC.\) За властивістю середньої лінії трикутника:

Відповідь: \(3{,}05.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє знання основних властивостей функцій, вміння досліджувати на періодичність функцію.

Дана періодична функція \(y = f(x)\) із періодом \(T = 9.\) На проміжку \((-5; 4]\) функція задана формулою $$ f(x) = 19 - x^3. $$

За означенням періодичної функції $$ f(x) = f(x + T) = f(x - T). $$

Отже, $$ f(5) = f(5 - 9) = f(-4), $$ \(x = -4\) належить даному проміжку \((-5; 4].\)

Відповідь: \(83.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання теореми Піфагора, кола, круга та їхніх елементів; вміння застосовувати властивості різних видів трикутників до розв’язування планіметричних задач практичного змісту.

\(\Delta ABO\) – рівнобедрений, \(OA = OB\) як радіуси. Медіана \(ON\) є висотою (за властивістю рівнобедреного трикутника). \(AB = 12\) м, \(AN = NB = 6\) м.

Нехай \(OA = OB = OM = x\) м (радіуси кола). \begin{gather*} MN + NO = MO,\\[7pt] NO = MO - MN = (x - 3)\ \text{м}. \end{gather*}

У \(\Delta ONB\) (\(\angle N = 90^\circ\)) за теоремою Піфагора: $$ OB^2 = ON^2 + NB^2. $$

Складемо рівняння: \begin{gather*} 6^2 + (x - 3)^2 = x^2,\\[7pt] 36 + x^2 - 6x + 9 = x^2,\\[7pt] 6x = 45,\\[7pt] x = 45 : 6,\\[7pt] x = 7{,}5. \end{gather*}

\(OB = 7{,}5\) м.

Відповідь: \(7{,}5.\)