ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла та поверхні обертання.

Це завдання перевіряє знання формули об'єму конуса, вміння застосовувати властивості конуса.

\(V_{K1} = 64\ \text{см}^3\), \(SO_1 = O_1O.\)

Круги з центрами \(O\) та \(O_1\) подібні.

Конуси з радіусами основ \(r\) та \(R\) подібні.

Отже, $$ \frac{r}{R} = \frac{1}{2} = k, $$ де \(k\) – коефіцієнт подібності.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Похідна функції. Похідні елементарних функцій. Правила диференціювання.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідні елементарних функцій, знання правила знаходження похідної добутку.

За правилом $$ (uv)' = u'v + uv' $$ знаходимо похідну:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання про взаємне розміщення площин у просторі.

I. Це твердження правильне.

II. Через точку \(M\) можна провести пряму, перпендикулярну \(\alpha\), та тільки одну. Через дану пряму можна провести безліч площин, перпендикулярних даній. Отже, твердження – неправильне.

III. Через точку \(M\) можна провести безліч похилих до площини \(\alpha.\) Через кожну похилу можна провести площину, яка утворює з площиною \(\alpha\) кут \(45^\circ\). Отже, твердження – неправильне.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа, порівняння чисел та дії з ними.

Це завдання перевіряє вміння використовувати властивості модуля до розв'язування задач.

За властивістю модуля: $$ |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. $$

Спростимо вираз: \begin{gather*} |2-\sqrt{5}|+|2+\sqrt{5}|,\\[7pt] 2\lt \sqrt{5}, \end{gather*} тому $$ 2-\sqrt{5}\lt 0, $$ а отже $$ |2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2+\sqrt{5}\gt 0, $$ звідси $$ |2+\sqrt{5}|=2+\sqrt{5}. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла та поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.

\(H = 7\) см, \(C = 18\pi\) см – довжина кола.

За формулою $$ S_{б} = 2\pi RH, $$ де \(C = 2\pi R\). Отже,

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, знання основних властивостей функцій.

Функція \(y = f(x)\) зростає на проміжку \((-\infty; +\infty)\), тому меншому значенню аргумента відповідає менше значення функції.

За умовою \(f(1) = -2\), \(f(9) = 5.\) Значення функції в точці \(x = 8\): \begin{gather*} f(1) \lt f(8) \lt f(9),\\[7pt] -2 \lt f(8) \lt 5. \end{gather*}

З наведених чисел може бути значення \(f(8) = 3.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Системи лінійних нерівностей.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи нерівностей першого степеня.

$$ -3\lt 2-5x\lt 6 $$

Ця нерівність рівносильна системі нерівностей: $$ \left\{ \begin{array}{l} 2-5x\gt -3,\\ 2-5x\lt 6, \end{array} \right.\ \ \left\{ \begin{array}{l} -5x\gt -5,\\ -5x\lt 4, \end{array} \right.\ \ \left\{ \begin{array}{l} x\lt 1,\\ x\gt -\frac 45. \end{array} \right. $$

\(-0\mathord{,}8\lt x\lt 1.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє вміння знаходити відстань від точки до прямої, знання теореми про три перпендикуляри.

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – куб, ребро якого \(1\) см.

Відстань від точки \(A\) до прямої \(B_1C_1\) – довжина перпендикуляра з точки \(A\) до прямої \(B_1C_1.\)

\(AB\ \perp\ (BB_1C_1)\), \(AB_1\) – похила на \((BB_1C_1)\), \(BB_1\) – проекція \(AB_1\) на \((BB_1C_1).\)

За теоремою про три перпендикуляри: якщо проекція \(BB_1\ \perp\ B_1C_1\), то й похила \(AB_1\ \perp\ B_1C_1\), а отже, \(AB_1\) – відстань від \(A\) до \(B_1C_1.\)

У \(\triangle ABB_1\) (\(\angle B=90^\circ\)) \(AB=BB_1=1\) см.

За теоремою Піфагора

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа та вирази. Тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння знаходити числове значення тригонометричних виразів.

\(a=\sin 120^\circ\gt 0\),
\(b=\cos 120^\circ\lt 0\), отже \(b\lt 0\lt a.\)

Кут \(120^\circ\) належить II координатній чверті. У даній координатній чверті функція \(y=\sin x\) має додатний знак, а \(y=\cos x\) – від’ємний.

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: Г.