ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння обчислювати похідну добутку двох функцій, одна з яких складена, визначати числове значення функції та похідної функції в точці для заданого значення аргумента.

Обчислімо значення заданої функції в точці \(x=2\), для цього у функцію замість \(x\) підставмо \(2{:}\)

Визначмо похідну заданої функції за правилом добутку:

Звернімо увагу, що \(g(x)=(2x-1)^3\) – складена функція:

Обчислімо значення знайденої похідної в точці \(x=1\), для цього в похідну замість \(x\) підставмо \(1.\)

Обчислімо суму \(f(2)+f'(1){:}\)

Відповідь: \(116.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Імовірність випадкової події.

Завдання скеровано на перевірку вміння використовувати означення ймовірності настання випадкової події для розв’язання практичних завдань.

Імовірність настання події \(A\) можна обчислити за формулою: \begin{gather*} P(A)=\frac mn, \end{gather*} де \(m\) – кількість сприятливих подій, \(n\) – кількість усіх рівноможливих подій.

За умовою, у перших чотирьох рядах є \(32\) місця – це кількість сприятливих подій, адже задано ймовірність, що водію дістанеться місце в першому із чотирьох рядів. Щоб визначити загальну кількість місць на паркувальному майданчику, треба помножити кількість рядів на кількість місць в одному ряді. Відомо, що всього на паркувальному майданчику \(n\) рядів, місць в одному ряді – \(8\), отже, усього \(8n\) місць – це кількість усіх рівноможливих подій, адже автоматична система може видати талон із будь-яким із цих місць.

Імовірність, що першому водієві зранку дістанеться місце в одному з перших чотирьох рядів, обчислімо за формулою: \begin{gather*} P(A)=\frac{32}{8\cdot n}. \end{gather*}

Підставмо відому за умовою імовірність: \begin{gather*} \frac 19=\frac{32}{8n}. \end{gather*}

Для зручності поміняймо частини утвореного рівняння місцями: \begin{gather*} \frac{32}{8n}=\frac 19. \end{gather*}

У лівій частині скоротімо дріб на \(8{:}\) \begin{gather*} \frac{4}{n}=\frac 19. \end{gather*}

Застосуймо перехресне множення й виразімо загальну кількість \(n\) рядів на парковці: \begin{gather*} n=\frac{4\cdot 9}{1}=36. \end{gather*}

Відповідь: \(36.\)

ТЕМА: Геометрія. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, пов'язані з обчислення об'єму циліндра, використовуючи перерізи стереометричних фігур.

Об’єм циліндра обчислімо за формулою: \begin{gather*} V=\pi\cdot R^2_\text{цил}\cdot h. \end{gather*}

З площі поверхні сфери обчислімо радіус сфери:

З умови завдання відомо, що радіус сфери дорівнює стороні квадрата \(ABCD{:}\)

За умовою завдання, у квадрат \(ABCD\) вписано основу циліндра, отже, діаметр основи циліндра дорівнює стороні квадрата:

Обчислімо радіус основи циліндра, поділивши його діаметр на \(2{:}\)

Обчислімо висоту циліндра, вона дорівнюватиме твірній \(GH\), яку можна визначити за теоремою Піфагора з прямокутного трикутника \(GHE\ (\angle GHE=90^\circ){:}\)

Визначмо об’єм циліндра:

Поділімо знайдений об’єм на \(\pi\), як зазначено в умові завдання:

Відповідь: \(1152.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові, логарифмічні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв'язувати рівняння з параметрами, що містять невідому в показнику степеня і в аргументі логарифма, з'ясовуючи умови існування розв’язку.

Запишімо ОДЗ: аргумент логарифма має бути додатним значенням.

ОДЗ:

Перенесімо \(-11x\) праворуч: \begin{gather*} 4a\gt 11x. \end{gather*}

Поділімо обидві частини нерівності на \(4{:}\) \begin{gather*} a\gt \frac{11x}{4}. \end{gather*}

Перейдімо до розв’язання рівняння. Добуток двох множників дорівнює нулю, коли хоча б один множник рівний нулю.

Запишімо, що перший множник початкового рівняння дорівнює нулю:

\begin{gather*} 9^x-8\cdot 3^x-9=0. \end{gather*}

Перепишімо перший доданок:

\begin{gather*} 9^x=(3^2)^x=3^{2x},\\[7pt] 3^{2x}-8\cdot 3^x-9=0. \end{gather*}

Виконаймо заміну. Нехай \(3^x=t\), тоді \(3^{2x}=t^2{:}\)

\begin{gather*} t^2-8t-9=0. \end{gather*}

За теоремою Вієта:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} t_1+t_2=8,\\ t_1\cdot t_2=-9. \end{array}\right. \end{gather*}

Отже, \(t_1=9\), \(t_2=-1.\)

Повернімося до заміни \(3^x=t\) й замість \(t\) підставмо обчислені значення.

Підставимо \(9{:}\)

\begin{gather*} 3^x=9;\\[7pt] 3^x=3^2;\\[7pt] x=2. \end{gather*}

Підставимо \(-1{:}\)

\begin{gather*} 3^x=-1. \end{gather*}

\(3^x\) не може дорівнювати від’ємному числу, оскільки значення показникової функції \(y=a^x\) завжди більше за нуль:

\begin{gather*} x\in\varnothing. \end{gather*}

Запишімо, що другий множник початкового рівняння дорівнює нулю:

\begin{gather*} 5+\ln^2(4a-11x)=0;\\[7pt] \ln^2(4a-11x)=-5. \end{gather*}

Логарифм у степені \(2\) не може дорівнювати від’ємному значенню:

\begin{gather*} x\in\varnothing. \end{gather*}

Підставмо обчислений корінь \(x=2\) в ОДЗ:

\begin{gather*} a\gt \frac{11\cdot 2}{4};\\[6pt] a\gt 5{,}5. \end{gather*}

Найменше натуральне значення, яке входить в отриманий проміжок, \(a=6.\)

Відповідь: \(6.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей рівнобедреного трикутника.

У рівнобедреному трикутнику дві бічні сторони рівні.

Бічні сторони: \(AB=BC=12\) см. Основа: \(AC.\)

Периметр \((P)\) – це сума всіх сторін трикутника.

Для рівнобедреного трикутника: \begin{gather*} P=2a+b, \end{gather*} де \(a\) – бічна сторона, а \(b\) – основа.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній і/або текстовій формі.

Треба знайти залу, кількість глядачів у якій відповідає подвійній нерівності:

Це означає, що стовпчик на діаграмі має бути вищим за позначку \(20\), але нижчим за позначку \(38.\)

Розгляньмо кількість глядачів у залах:

Біла зала: стовпчик сягає позначки \(55.\) (\(55 \gt 38\) – не підходить).

Блакитна зала: стовпчик на позначці \(40.\) (\(40 \gt 38\) – не підходить).

Жовта зала: стовпчик на позначці \(35.\) Число \(35\) більше за \(20\) і менше за \(38\) \((20\lt 35\lt 38).\) Цей варіант відповідає умові завдання.

Зелена зала: стовпчик точно на рівні \(20.\) (За умовою глядачів має бути більше, тому не підходить).

Фіолетова зала: стовпчик на позначці \(45.\) (\(45 \gt 38\) – не підходить).

Єдина зала, кількість глядачів у якій перебуває в межах від \(20\) до \(38\), – жовта.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Степеневі вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє вміння перетворювати степеневі вирази й обчислювати їхні значення.

Для розв’язання завдання треба знати означення степеня із цілим показником і правила дій зі степенями:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема конуса.

Конус утворений обертанням рівностороннього (рівнобедреного) трикутника \(APB\) навколо його висоти \(PO\), проведеної до основи.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння.

Для розв’язання завдання треба знати визначення степеня із цілим показником і правила дій зі степенями, а саме:

Розв'яжімо показникове рівняння:

Зведімо до однакової основи:

Корінь рівняння \(x=-3\) належить проміжку \((-4; -2].\)

Відповідь: Б.