ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння використовувати властивості модуля, розв'язувати ірраціональні та квадратні рівняння, розв'язувати системи рівнянь з параметром.

Знайдемо область допустимих значень: $$ \text{ОДЗ:}\ \left\{\begin{array}{l} 3ax-8x-6y\ge 0,\\ x\ge 0. \end{array}\right. $$

Якщо квадрати двох виразів рівні, то вирази або рівні, або протилежні.

1) Розв'яжемо першу систему:

Розв'яжемо способом підстановки:

Отже,

Знайдемо, при яких значеннях параметра \(a\) ці пари чисел є розв'язками

\(a\) – будь-яке. \((0; 0)\) – розв'язок системи при будь-якому значенні \(a.\)

2) Розв'яжемо другу систему:

підстановкою знаходимо:

при будь-якому значенні \(a.\)

Знаходимо, при яких значеннях \(a\)

При \(a\ge 0\) розв'язок \((3a; -4a).\)

Відповідь: при \(a\in (-\infty; 0]\ (0; 0)\);
                   при \(a\in \left(0; 4\frac 23\right]\ (0; 0)\), \((3a; -4a)\);
                   при \(a\in \left(4\frac 23; +\infty\right)\ (0; 0)\), \((3a; -4a)\), \((3a-14; 3a-14).\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє вміння знаходити кут між площинами, застосовувати властивості геометричних фігур до розв'язування задач, уміння розв'язувати задачі на обчислення об'ємів геометричних тіл.

1. Площина, що проходить через діагональ \(AC\) та вершину \(B_1\) – це \((AB_1C).\) \((AB_1C)\) та \((ABB_1)\) має спільну пряму \(AB_1\), тому вони перетинаються по прямій \(AB_1\), \((ACB_1)\cap (BB_1C_1)=B_1C.\) Отже, переріз призми січною площиною – \(\Delta AB_1C.\)

2. Проведемо \(BK\ \perp\ AC\) у \((ABC).\)

За теоремою про три перпендикуляри \(B_1K\ \perp\ AC\), звідси \(AC\ \perp\ (BB_1K)\Rightarrow \angle B_1KB\) – лінійний кут відповідного двогранного. Кут між площинами \((AB_1C)\) та \((ABC)=\angle B_1KB=\mathbf{\alpha}.\)

3. У \(\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ)\), \(AC=a\), \(\angle A=\mathbf{\beta}\), \(AB=a\cos \mathbf{\beta}\), \(BC=a\sin \mathbf{\beta}.\)

4. \(S_\text{осн}=S_{ABCD}=AB\cdot BC=a^2\sin \mathbf{\beta}\cdot \cos \mathbf{\beta}.\)

5. У \(\Delta BKA\ (\angle K=90^\circ)\), \(BK=AB\cdot \sin \mathbf{\beta}=a\cos \mathbf{\beta}\sin \mathbf{\beta}.\)

6. У \(\Delta BB_1K\ (\angle B=90^\circ)\), \(\angle B_1KB=\mathbf{\alpha}\), \(BB_1=BK\cdot \operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}=a\cos \mathbf{\beta}\cdot \sin \mathbf{\beta}\cdot \operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}.\)

7.\(V_\text{пр}=S_\text{осн}\cdot H\), де \(S_\text{осн}=S_{ABCD}\), \(H=BB_1.\)

Використавши формулу синуса подвійного кута, відповідь можнa записати у вигляді:

Відповідь: \(\frac 14a^3\sin^2 2\mathbf{\beta}\ \operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Похідна функції, її геометричний зміст. Похідні елементарних функцій. Правила диференціювання. Квадратична функція.

Це завдання перевіряє вміння будувати графік квадратичної функції, встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком, знаходити похідні елементарних функцій, кутовий коефіцієнт дотичної.

1. Координати точок перетину графіка функції з осями:

\((2; 0)\), \((-5; 0)\) – точки перетину з віссю \(Ox.\)

\((0; -10)\) – точкa перетину з віссю \(Oy.\)

2. \(f(x)=x^2+3x-10\)

1) \(a=1\) – гілки направлені вгору.

2) вершина параболи:

\((-1\mathord{,}5; -12\mathord{,}25)\) – вершина.

3) точки перетину з осями:

\((0; -10); (2; 0); (-5; 0).\)

3. \(f'(x)=2x+3.\)

4. Кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції в точці \(x_0=-1\) – це значення похідної функції в даній точці.

\(k=f'(x_0)=f'(-1)=2\cdot (-1)+3=1.\)

Відповідь: 1. \((2; 0)\), \((-5; 0)\), \((0; -10).\)
                   3. \(f'(x)=2x+3.\)
                   4. \(1.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами, знаходити скалярний добуток векторів, знання правил додавання векторів, множення вектора на число.

Умова перпендикулярності векторів – їх скалярний добуток дорівнює нулю.

Відповідь: \(-0\mathord{,}6.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

Нехай \(P_1\) – ймовірність того, що спортсмен влучить у мішень, а \(P_2\) – ймовірність того, що не влучить.

За умовою \(P_1=7P_2\) та \(P_1+P_2=1.\)

Розв'яжемо систему рівнянь:

Розв'яжемо рівняння

Відповідь: \(0\mathord{,}875.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі, застосовувати рівняння до розв'язування текстових задач, знання методів розв'язування раціональних рівнянь.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом.

Човен проходить за течією \(24\) км за \(5\) годин, тому швидкість човна була:

\(24:5=4\mathord{,}8\) км/год.

Проти течії човен проходить \(12\) км за \(3\) години, тому швидкість човна проти течії:

\(12:3=4\) км/год.

Швидкість течії знаходимо таким чином:

\((4\mathord{,}8-4):2=0\mathord{,}8:2=0\mathord{,}4\) км/год.

Відповідь: \(0\mathord{,}4.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Нерівності. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє вміння знаходити область визначення функції, розв'язувати лінійні нерівності.

Область визначення знаходимо з розв'язку нерівності: \begin{gather*} 50-3x\ge 0,\\[7pt] -3x\ge -50,\\[7pt] 3x\le 50,\\[7pt] x\le 50:3,\\[7pt] x\le 16\frac 23. \end{gather*}

Найбільше ціле двоцифрове число, що належить області визначення – це число \(16.\)

Відповідь: \(16.\)

26

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Чотирикутники. Геометричні величини та їхні вимірювання. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання про коло, круг та їхні елементи, формул для обчислення площі кругового сектора, прямокутника.

1. Площу кругового сектора знаходимо за формулою $$ S_\text{сек}=\frac{\mathbf{\pi}R^2}{360^\circ}\cdot \mathbf{\alpha}, $$ де \(\mathbf{\alpha}\) – центральний кут.

2. Нехай \(a\) – спільна дотична до секторів. За властивістю дотичної до кола \(AO\ \perp\ a\), \(CO\ \perp\ a\), тому точка \(O\) лежить на прямій \(AC.\)

У \(\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ)\) – єгипетський, тому \(AB=8\) см.

Відповідь: 1. \(6.\)
                   2. \(48.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Відношення та пропорції. Відсотки. Основні задачі на відсотки.

Це завдання перевіряє вміння знаходити відношення чисел у вигляді відсотка, відсоток від числа, число за значенням його відсотка.

1. Індійський чай \(180\) г – це складає \(\frac{10}{23}\) від маси суміші.

Отже,

маса суміші.

2. Якщо індійський чай складає \(100\text{%}\), то цейлонський – \(130\text{%}\), тому що маса чаїв складається у відношенні \(10 : 13.\) Отже, цейлонського чаю на \(30\text{%}\) більше.

Відповідь: 1. \(414.\)
                   2. \(30.\)