ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Комбінаторика, теорія ймовірностей і статистика. Комбінаторні правила суми та добутку.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати комбінаторні задачі з практичним змістом, використовучі комбінаторне правило добутку.

Правило добутку. Якщо елемент \(A\) можна вибрати \(n\) способами, а після цього елемент \(B\) – \(m\) способами, то \(A\) і \(B\) можна вибрати \(nm\) способами.

З \(9\) нарцисів \(3\) нарциси можна вибрати \(C_9^3\) способами, а \(2\) тюльпани з \(4\) – \(C_4^2\) способами. Оскільки вибір нарцисів та тюльпанів не залежить один від одного, то за правилом добутку загальна кількість способів вибору \(3\) нарцисів із \(9\) та \(2\) тюльпанів із \(4\) дорівнює \(C_9^3C_4^2.\) Використовуючи формулу $$ C_{n}^{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}, $$ в якій \(n!=1\cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1)n\), знайдемо:

Тоді $$ C_9^3C_4^2=84\cdot 6=504. $$

Відповідь: \(504.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Логарифмічні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

Область допустимих значень (ОДЗ) цього рівняння визначається системою $$ \left\{\begin{array}{l} x\gt 0,\\ x-7\gt 0. \end{array}\right. $$ Враховуємо, що логарифмічна функція визначена лише для додатних значень аргументу, звідки отримуємо \(x\gt 7.\)

Задане рівняння на ОДЗ рівносильне рівнянню: \begin{gather*} \log_{2}(x(x-7))=3\log_{2}2,\\[7pt] \log_{2}(x^2-7x)=\log_{2}2^{3},\\[7pt] x^2-7x-8=0, \end{gather*} звідки \(x_1=-1\lt 7\) (не задовольняє ОДЗ, отже, не є коренем заданого рівняння), \(x_2=8\gt 7\) – корінь заданого рівняння. Отже, задане рівняння має єдиний корінь \(x=8\).

Зауваження. Оскільки на проміжку \((7; +\infty)\) функція \(y=\log_{2}x+\log_{2}(x-7)\) зростає як сума двох зростаючих функцій \(y=\log_{2}x\) та \(y=\log_{2}(x-7)\), то графік функції \(y=\log_{2}x+\log_{2}(x-7)\) може перетинати пряму \(y=3\), що паралельна осі абсцис, не більше одного разу. Це означає, що задане рівняння може мати не більше одного кореня. При \(x=8\)

Отже, \(x=8\) – єдиний корінь рівняння.

Відповідь: \(8.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Арифметична прогресія.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати практичні задачі на арифметичну прогресію.

Оскільки кожного наступного дня, починаючи з другого, студент розв’язував на одну й ту ж саму кількість задач більше, ніж попереднього дня, то кількості задач, які студент розв’язував кожного дня, починаючи з першого, утворюють арифметичну прогресію. Позначимо через \(a_{n}\) кількість задач, які студент розв’язав \(n\text{-го}\) дня, \(n=1; 2; \ldots; 9.\) За умовою \(a_{1}=9\), \(S_{9}=315.\) Потрібно визначити \(a_{9}.\)

Оскільки суму перших \(n\) членів арифметичної прогресії можна визначити за формулою $$ S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n, $$ то згідно умови виконується рівність $$ S_{9}=\frac{a_{1}+a_{9}}{2}\cdot 9, $$ тобто $$ 315=\frac{11+a_{9}}{2}\cdot 9, $$ звідки отримуємо: \begin{gather*} 630=(11+a_{9})\cdot 9,\\[7pt] 70=11+a_{9},\\[7pt] a_{9}=70-11=59. \end{gather*}

Отже, дев’ятого дня студент розв’язав \(59\) задач.

Відповідь: \(59.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Квадрат та його властивості. Прямокутний рівнобедрений трикутник та його властивості. Площа прямокутного трикутника та квадрата.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати площі геометричних фігур, зокрема, квадрата та прямокутного рівнобедреного трикутника.

1. Проведемо у рівнобедреному прямокутному трикутнику \(ABC\) з гіпотенузою \(AC\) висоту \(BO.\) Тоді $$ S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BO. $$ Висота рівнобедреного трикутника, що проведена з його вершини, є також бісектрисою та медіаною. Отже, точка \(O\) є серединою гіпотенузи \(AC\) і

Тоді

2. Упишемо в рівнобедрений прямокутний трикутник \(ABC\) квадрат \(MNKP\), вершини \(M\) і \(N\) якого лежать на гіпотенузі \(AC\) (отже, і сторона \(MN\) лежить на \(AC\)), а інші дві – вершини \(P\) і \(K\) – належать катетам \(AB\) і \(BC\) відповідно (див. рисунок).

Оскільки \(PM\ \perp\ MN\) і \(KN\ \perp\ MN\), а \(MN\) є частиною \(AC\), то \(PM\ \perp\ AC\) і \(KN\ \perp\ AC\). Тоді

аналогічно $$ \angle CKN = 180^\circ - 45^\circ - 90^\circ = 45^\circ. $$ Отже, прямокутні трикутники \(AMP\) і \(KNC\) є рівнобедреними.

Оскільки \(AM = PM\), \(CN = KN\) і \(PM = KN = MN\), то \(AM = MN = NC\) і $$ MN = \frac{1}{3} AC = \frac{1}{3} \cdot 3\mathord{,}6 = 1,2\ \text{м}. $$ Площа квадрата \(MNKP\) дорівнює \(1\mathord{,}2^{2} = 1\mathord{,}44\ \text{м}^{2}.\)

Відповідь: 1. \(3\mathord{,}24.\)
                   2. \(1\mathord{,}44.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі на відношення, пропорції та відсотки.

1. Нехай на фабриці пошито \(n\) пар дитячого взуття, тоді жіночого взуття пошито \(5n\) пар. Складаємо пропорцію: \begin{gather*} n - 100\ \text{%},\\[7pt] 5n - x\ \text{%}. \end{gather*} Тоді \(x = 500\ \text{%}.\)

Отже, жіночого взуття пошито більше, ніж дитячого на \(500 - 100 = 400\ \text{%}.\) Зазначимо, що якщо величина \(b\) більша за величину \(a\) в \(n\) разів, то \(b\) більше за \(a\) на \(100(n - 1)\ \text{%}.\)

2. Складаємо рівняння $$ 5n + n + 2100 = 5340, $$ звідки отримуємо \begin{gather*} 6n = 5340 - 2100,\\[7pt] n = 3240 : 6 = 540. \end{gather*} Отже, дитячого взуття пошито на цій фабриці \(540\) пар.

Відповідь: 1. \(400.\)
                   2. \(540.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Рівносторонній трикутник, ромб, квадрат, правильний шестикутник та їхні властивості. Коло, вписане в трикутник, ромб, квадрат та правильний шестикутник. Формули для обчислення радіуса вписаного кола.

Це завдання перевіряє вміння визначати радіуси кіл, вписаних в рівносторонній трикутник, ромб, квадрат та правильний шестикутник, за заданими довжинами відповідних відрізків.

Визначимо радіус кола, вписаного у кожну з фігур, зображених на рис. 1–4.

Рис. 1. Центр кола, вписаного у будь-який трикутник знаходиться у точці перетину його бісектрис. У рівносторонньому трикутнику бісектриси одночасно є його висотами та медіанами, які діляться точкою перетину на відрізки у відношенні \(2 : 1\), рахуючи від вершини трикутника. Отже, радіус кола, вписаного у рівносторонній трикутник, дорівнює \(\frac{1}{3}\) його висоти. За умовою висота дорівнює \(\sqrt{2}\), тому радіус вписаного кола дорівнює \(\frac{\sqrt{2}}{3}\). Отже, 1 – Д.

Рис. 2. Радіус \(r\) кола, вписаного в ромб, дорівнює половині висоти \(h\) цього ромба (див. рисунок 2) і дорівнює \(\frac{\sqrt{2}}{2}.\) Отже, 2 – Г.

Рис. 3. Радіус \(r\) кола, вписаного в квадрат зі стороною \(a\), дорівнює половині його сторони: \(r = \frac{a}{2}\). Якщо діагональ квадрата дорівнює \(\sqrt{2}\), то \(a = 1\). Тоді \(r = \frac{1}{2}\). Отже, 3 – В.

Рис. 4. У правильному шестикутнику три його діагоналі, що сполучають протилежні вершини, ділять шестикутник на шість рівних рівносторонніх трикутників. Тоді радіус вписаного у шестикутник кола дорівнює висоті рівностороннього трикутника. Якщо сторона шестикутника дорівнює \(a\), то радіус вписаного кола \(r = \frac{\sqrt{3}}{2} a\). Оскільки діагональ правильного шестикутника, яка з'єднує протилежні його вершини удвічі більша за сторону цього шестикутника, то виконується рівність \(2a = 2\sqrt{2}\). Отже, сторона шестикутника дорівнює \begin{gather*} a = \frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2},\ \text{а}\\[6pt] r = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}. \end{gather*} Отже, 4 – А.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – В, 4 – A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі. Формула для обчислення відстані між двома точками.

Це завдання перевіряє розуміння декартової системи координат у просторі, а також вміння визначати координати точки, вектора за заданими його початковою та кінцевою точками, середини відрізка.

У прямокутному паралелепіпеді \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) вершина \(B\) розміщена у початку координат, тому \(B(0; 0; 0)\). Оскільки паралелепіпед розміщений так, що його ребра \(BA\), \(BC\) та \(BB_{1}\) належать осям \(x\), \(y\) та \(z\) відповідно, то грані паралелепіпеда, отже, і площини, що містять ці грані, перпендикулярні до відповідних осей координат. За координатами вершини \(D_{1}(4; 8; 12)\) можна визначити координати всіх інших вершин паралелепіпеда \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\).

Оскільки точка \(A\) є перетином площини, яка проходить через точку \(D_{1}(4; 8; 12)\) перпендикулярно до осі \(x\), то координата \(x\) точки \(A\) збігається з координатою \(x\) точки \(D_{1}\), тобто дорівнює \(4.\) А оскільки точка \(A\) лежить на осі \(x\), то її координати \(y\) і \(z\) дорівнюють \(0.\) Тому \(A(4; 0; 0)\). Аналогічно встановлюємо, що \(C (0; 8; 0)\).

1. Нагадаємо, що координати точки \(M (x_{M}; y_{M}; z_{M})\), яка є серединою відрізка \(BC\), кінцеві точки якого \(B(x_{B}; y_{B}; z_{B})\) та \(C(x_{C}; y_{C}; z_{C})\), визначають за формулами \begin{gather*} x_{M}=\frac{x_{B}+x_{C}}{2},\\[6pt] y_{M}=\frac{y_{B}+y_{C}}{2},\\[6pt] z_{M}=\frac{z_{B}+z_{C}}{2}. \end{gather*} Координати середини відрізка \(BC\mathord{:}\)

Отже, 1 – Г.

2. Щоб знайти координати вектора \(\overrightarrow{BA}\) потрібно від координат його кінцевої точки \(A\) відняти відповідні координати його початкової точки \(B\): \(\overrightarrow{BA}(x_{A}-x_{B}; y_{A}-y_{B}; z_{A}-z_{B}).\) Отримуємо: \(\overrightarrow{BA}(4-0; 0-0; 0-0)=(4; 0; 0).\) Отже, 2 – Б.

Зазначимо, що якщо початок вектора збігається з початком координат, то його координати збігаються з координатами кінцевої точки.

3. Оскільки ребро \(DD_{1}\) паралельне осі \(z\), то координати будь-якої точки, яка належить цьому ребру, мають вигляд \(D_{1}(4; 8; z)\), де \(z\in[0; 12].\) Точка, яка лежить на ребрі \(DD_{1}\) і віддалена від вершини \(D\) на \(4\) одиниці, має координати \((4; 8; 4)\). Отже, 3 – Д.

4. Точку \(C_{1}\) можна розглядати як проєкцію точки \(D_{1}\) на координатну площину \(yz\), рівняння якої \(x=0\). Отже, \(C_{1}(0; 8; 12)\). Отже, 4 – А.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – Д, 4 – A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Степеневі вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння перетворювати степеневі вирази та знаходити їхні значення. Для розв'язання завдання потрібно знати означення степеня з натуральним, цілим, раціональним показниками та правила дій зі степенями, а саме:

Обчислимо значення виразів (1–4).

1.

Отже, 1 – A.

2.

Отже, 2 – B.

3.

Отже, 3 – Д.

4. \begin{gather*} 2^{3\mathord{,}5}\cdot 2^{1\mathord{,}5}=2^{3\mathord{,}5+1\mathord{,}5}=2^5=32. \end{gather*} Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – А, 2 – В, 3 – Д, 4 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графіки лінійної та квадратичної функцій. Рівняння кола. Властивості лінійної функції.

Це завдання перевіряє вміння будувати графіки лінійних та квадратичних функцій, кола, заданого рівнянням, встановлювати кількість точок перетину прямої з колом та прямої з параболою. Для розв'язання завдання потрібно також знати властивості лінійної функції \(y=kx+b\) та умову паралельності прямих.

1. Побудуємо графік рівняння \(y=5-x\).

Пряма задана рівнянням \(y=5-x\) має від'ємний кутовий коефіцієнт \(k=-1\), тому вона утворює з додатним напрямом осі \(x\) тупий кут, причому цей кут становить \(135^\circ\), оскільки \(\mathrm{tg}\ 135^\circ=-1.\) Отже, 1 – B.

2. Побудуємо графік рівняння \(y=2x+3\) і коло \(x^2+y^2=4.\)

Пряма перетинає коло. Отже, 2 – Д.

3. Графіком рівння \(x=a\) є пряма, що паралельна осі ординат і перетинає вісь абсцис у точці \((a; 0).\) Отже, графіком рівняння \(2x+6=0\), тобто \(x=-3\), є пряма, що паралельна осі ординат і яка проходить через точку \((-3; 0).\) Тому 3 – А.

4. Графік функції \(y=x-4\) і пряма \(y-x=0\), тобто \(y=x\) мають рівні кутові коефіцієнти, кожна з цих прямих утворює з додатним напрямом осі \(x\) кут \(45^\circ.\) Отже, 4 – Г.

Графіком функції \(y=x^2-5\) є парабола з вершиною у точці \((0; -5)\), симетрична відносно осі ординат, вітки параболи напрямлені вгору, вісь абсцис перетинає у точках \((-\sqrt{5}; 0)\) i \((\sqrt{5}; 0)\) (див. рисунок).

Зазначимо, що кожна з прямих, що задані в (1–4), перетинає задану параболу. Отже, варіант Б не може бути закінченням речення для жодного з початків речення (1–4).

Відповідь: 1 – B, 2 – Д, 3 – A, 4 – Г.