ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції.

Перевіряє вміння знаходити похідні функцій, знаходити числове значення похідної функції в точці для заданого значення аргументу.

$$ f(x)=2x^3 – 5 $$

Похідна функції: \begin{gather*} f'(x)=3\cdot 2x^2=6x^2.\\[7pt] f'(-1)=6\cdot (-1)^2=6. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Перевіряє вміння розв’язувати показникові нерівності.

Зведемо до однакової основи: \begin{gather*} 10^{x+1}\gt 10^{-2}. \end{gather*} Функція \(y=10^x\) – зростаюча, тому \begin{gather*} x+1\gt -2,\\[7pt] x\gt -3. \end{gather*} Отже, \(x\in (-3;\ +\infty).\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

$$ 4\cos^2 \alpha=1,\ \ \cos^2\alpha=\frac 14. $$

За основною тригонометричною тотожністю: \begin{gather*} \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,\\[7pt] \sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\frac 14=\frac 34. \end{gather*} Отже, $$ 4\sin^2\alpha = 4\cdot \frac 34 = 3. $$

Відповідь: Г

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

1. Графік є фрагментом графіка функції \(y=1-x.\) Отже, 1 – Б.

2. Графік функції двічі перетинає графік функції \(y = 2^x.\) Отже, 2 – А.

3. Функція зростає на проміжку \([0; 3].\) Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1Б, 2А, 3Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення числових виразів.

1. \begin{gather*} \frac{2a}{3}=\frac{2\cdot \frac{25}{4}}{3}=\frac{2\cdot 25}{4\cdot 3}=\\[6pt] =\frac{25}{6}=4\frac 16. \end{gather*} Отже, 1 – Г.

2. \begin{gather*} \frac 1a=\frac{1}{\frac{25}{4}}=\frac{4}{25}. \end{gather*} Отже, 2 – Б.

3. \begin{gather*} |9-2a|=|9-2\cdot \frac{25}{4}|=\\[6pt] =|9-\frac{25}{2}|=|9-12\frac 12|=\\[6pt] =|-3\frac 12|=3\frac 12. \end{gather*} Отже, 3 – B.

Відповідь: 1Г 2Б 3В.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Перевіряє знання властивостей прямокутника, вміння знаходити довжини відрізків, градусні міри кутів, площі геометричних фігур.

1.

За теоремою Піфагора: \begin{gather*} AC^2=AB^2+BC^2=(4\sqrt{6})^2+10^2=\\[7pt] =16\cdot 6+100=196.\\[7pt] AC=\sqrt{196}=14. \end{gather*} Отже, 1 – Г.

2.

\begin{gather*} AC^2=AB^2+BC^2=16+16\cdot 3=64\\[7pt] AC=8. \end{gather*} За властивістю прямокутника $$AC=BD,\ \ AO=BD=OC=OD=4.$$ Отже, \(\Delta ABO\) – рівносторонній \(\angle AOB=60^\circ.\)
Отже, 2 – Б.

3.

\begin{gather*} S=6\cdot 8=48. \end{gather*} Отже, 3 – B.

Відповідь: 1Г, 2Б, 3B.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Координати у просторі.

Перевіряє знання прямокутної системи координат у просторі, координати точки.

1. Точка на осі \(y\) має нульові координати \(x\) та \(z.\) Довжина відрізка \(BC\) – \(8\) одиниць, звідси серединою відрізка є точка з координатами \((0;\ 4;\ 0).\) Отже, 1 – Г.

2. Точки, що належить відрізку \(DD_1\) мають координати \(x=4;\ y=8\) (як у точки \(D_1).\) Точка, що належить відрізку \(DD_1\) і віддалена від точки \(D\) на \(4\) одиниці, має координати \((4;\ 8;\ 4).\) Отже, 2 – Д.

3. Точка \(C_1\) лежить в площині \(yz,\) тому має \(x=0.\) Координати \(y\) та \(z\) співпадають з координатами точки \(D_1.\) Отже, координати точки \(C_1(0;\ 8;\ 12).\) Отже, 3 – A.

Відповідь: 1Г, 2Д, 3А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Перевіряє знання формули n-го члена та властивостей геометричної прогресії.

За властивістю геометричної прогресії знаменник $$ q=\frac{b_4}{b_3}. $$ Отже, \begin{gather*} q=\frac 34:0,2=\frac 34:\frac 15=\\[6pt] = \frac 34\cdot 5=\frac{15}{4}=3\frac 34=3,75. \end{gather*}

Відповідь: 3,75.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Перевіряє знання властивостей трапеції та її середньої лінії, вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. \(MB\) – середня лінія трапеції. За властивістю середньої лінії $$ MN=\frac{AD+BC}{2}. $$

2. Отже, \begin{gather*} AD=2MN-BC=\\[7pt] =2\cdot 13-9=26-9=17\ (\text{см}). \end{gather*}

3. Проведемо \(CK\perp AD.\) Отримали \begin{gather*} BC=AK=9\ \text{см},\\[7pt] KD=AD-AK=17-9=8\ \text{см}. \end{gather*}

4. \(\Delta CKD\ (\angle K=90^\circ\) – прямокутний рівнобедрений \((\angle D=45^\circ).\) Отже, \begin{gather*} KD=CK=8\ \text{см}. \end{gather*}

5. \(ABCD\) – прямокутна трапеція, тому $$ AB=CK=8\ \text{см}. $$

Відповідь: 8.