Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 1350

Завдання 1351 з 2199

Розв’яжіть нерівність $$ \sqrt{\frac{4x-1}{x-a}}\gt a $$ залежно від значень параметра $a.$

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 6.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Ірраціональні нерівності.

Це завдання перевіряє знання методів розв'язування ірраціональних нерівностей, уміння розв'язувати нерівності з параметрами.

Розв'язок нерівності $\sqrt{f(x)}\gt a$ – це сукупність систем:

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} a\lt 0,\\ f(x)\ge 0, \end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l} a\ge 0,\\ f(x)\gt a^2. \end{array}\right. \end{array}\right. \end{gather*}

Таким чином,

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} \frac{4x-1}{x-1}\ge 0,\\ a\lt 0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l} a\ge 0,\\ \frac{4x-1}{x-a}\gt a^2.\ \ \ \ (2) \end{array}\right. \end{array}\right. \end{gather*}

Розв'яжемо (1) систему методом інтервалів:

Отже, при $a\in (-\infty; 0)\ x\in (-\infty; a)\cup \left[\frac 14; +\infty\right).$

Розв'яжемо (2) систему:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} a\ge 0,\\ \frac{4x-1}{x-a}-a^2\gt 0, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} a\ge 0,\\ \frac{4x-1-a^2x+a^3}{x-a}\gt 0, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} a\ge 0,\\ \frac{(4-a^2)x+a^3-1}{x-a}\gt 0, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} a\ge 0,\\ \frac{(4-a^2)\left(x+\frac{a^3-1}{4-a^2}\right)}{x-a}\gt 0,\\[7pt] \end{array}\right. \left\{\begin{array}{l} a\ge 0,\\ \frac{(4-a^2)\left(x-\frac{a^3-1}{a^2-4}\right)}{x-a}\gt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Розглянемо 2 випадки:
1)

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 4-a^2\gt 0,\\ a\ge 0, \end{array}\right.\ \ \text{та}\ \ \left\{\begin{array}{l} 4-a^2\lt 0,\\ a\ge 0, \end{array}\right.\ \ \text{тобто}\ \ \left\{\begin{array}{l} a\in [0; 2],\\ a\in (2; +\infty), \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} a\in [0; 2],\\ \left(x-\frac{a^3-1}{a^2-4}\right)(x-a)\gt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Для розв'язку методом інтервалів необхідно з'ясувати при яких значеннях $a$

\begin{gather*} \frac{a^3-1}{a^2-4}\ge a,\\[6pt] \frac{a^3-1}{a^2-4}-a\gt 0,\\[6pt] \frac{a^3-1-a^3+4a}{a^2-4}\gt 0,\\[6pt] \frac{4a-1}{a^2-4}\ge 0,\\[6pt] \frac{a-\frac 14}{(a-2)(a+2)}\ge 0. \end{gather*}

При $a\in \left[0; \frac 14\right]$

$$ x\in(-\infty; a)\cup \left(\frac{a^3-1}{a^2-4}; +\infty\right). $$

При $a\in \left(\frac 14; 2\right)$

$$ x\in \left(-\infty; \frac{a^3-1}{a^2-4}\right)\cup (a; +\infty). $$

При $a=2\ x\gt 2$, $x\in (2; +\infty).$

2) $$ \left\{\begin{array}{l} a\in (2; +\infty),\\ \left(x-\frac{a^3-1}{a^2-4}\right)(x-a)\lt 0. \end{array}\right. $$

$$ x\in \left(a; \frac{a^3-1}{a^2-4}\right). $$

Відповідь: при $a\in (-\infty; 0)\ x\in (-\infty; a)\cup \left[\frac 14; +\infty\right);$
                   при $a\in \left[0; \frac 14\right]\ x\in (-\infty; a)\cup \left(\frac{a^3-1}{a^2-4}; +\infty\right);$
                   при $a\in \left(\frac 14; 2\right)\ x\in \left(-\infty; \frac{a^3-1}{a^2-4}\right)\cup (a; +\infty);$
                   при $a=2\ x\in (2; +\infty);$
                   при $a\in (2; +\infty)\ x\in \left(a; \frac{a^3-1}{a^2-4}\right).$

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1352 з 2199

Основою прямої призми $ABCDA_1B_1C_1D_1$ є ромб $ABCD$, у якому гострий кут $A$ дорівнює $\mathbf{\alpha}.$ Площина $\mathbf{\gamma}$, що проходить через одну з вершин верхньої основи та меншу діагональ нижньої основи призми, утворює з площиною основи гострий кут $\mathbf{\beta}.$ Висота призми дорівнює $h.$

1. Побудуйте переріз заданої призми площиною $\mathbf{\gamma}.$

2. Визначте площу цього перерізу.

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 4.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та пощини у просторі.

Це завдання перевіряє знання кута між площинами, перерізів многогранників; уміння застосовувати властивості основних видів многогранників до розв'язування стереометричних задач.

1. Якщо $\angle A$ – гострий, то $BD$ – менша діагональ ромба.

2. Побудуємо переріз призми площиною $\mathbf{\gamma}$ через $BD$ та вершину $C_1.$

Точки $D$ та $C_1$ належать площині $\mathbf{\gamma}$ та грані $(DCC_1)$, тому $DC_1$ – слід січної площини на бічной грані $(DCC_1).$ Точки $B_1$ та $C_1$ – спільні точки площин $\mathbf{\gamma}$ та $(BCC_1)$, тому $BC_1$ – пряма перетину площин $\mathbf{\gamma}$ та $(BCC_1).$

Отже, $BDC_1$ – шуканий переріз.

3. $CO\ \perp\ BD$ (властивість ромба), тому $C_1O\ \perp\ BD$ (за теоремою про три перпендикуляра).

Отже, $(C_1OC)\ \perp\ BD$ (за ознакою перпендикулярності прямої та площини).

$\angle C_1OC=\mathbf{\beta}$ лінійний кут відповідного двограного $\angle (\mathbf{\gamma}, (ABC))=\angle C_1OC=\mathbf{\beta}.$

4. У $\Delta C_1OC\ (\angle C=90^\circ)$,

\begin{gather*} C_1O=\frac{h}{\sin \mathbf{\beta}},\\[6pt] OC=h\operatorname{ctg}\mathbf{\beta}. \end{gather*}

5. За властивістю ромба $AC$ – бисектриса $\angle A$, тому $\angle OAD=\frac{\mathbf{\alpha}}{2}.$

У $\Delta AOD\ (\angle O=90^\circ)$, $OD=AO\operatorname{tg}\frac{\mathbf{\alpha}}{2}=h\operatorname{ctg}\mathbf{\beta}\cdot \operatorname{tg}\frac{\mathbf{\alpha}}{2}.$

6.

\begin{gather*} S_{BC_1D}=\frac 12\cdot BD\cdot C_1O=OD\cdot C_1O=h\operatorname{ctg}\mathbf{\beta}\cdot \operatorname{tg}\frac{\mathbf{\alpha}}{2}\cdot \frac{h}{\sin \mathbf{\beta}}=h^2\frac{\operatorname{ctg}\mathbf{\beta}\cdot \operatorname{tg}\frac{\mathbf{\alpha}}{2}}{\sin \mathbf{\beta}}. \end{gather*}

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1353 з 2199

Задано функцію $f(x)=x^2-3x-4.$

1. Визначте координати точок перетину графіка функції $f$ з осями координат.

2. Побудуйте графік функції $f.$

3. Знайдіть значення $x=x_0$, за якого похідна функції $f$ дорівнює $1.$

4. Запишіть рівняння дотичної, проведеної до графіка функції $f$ у точці з абсцисою $x_0.$

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 4.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Квадратична функція. Похідна функції, її геометричний зміст. Похідні елементарних функцій. Правила диференціювання.

Це завдання перевіряє вміння будувати графік квадратичної функції, встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою, знаходити похідні елементарних функцій, знаходити числове значення похідної функції в точці для заданого значення аргументу; знання рівняння дотичної до графіка функції в точці.

$f(x)=x^2-3x-4$ – квадратична функція, графік парабола.

1. Знаходимо точки перетину графіка $f$ з осями координат:

\begin{gather*} x=0,\\[7pt] f(0)=0^2-3\cdot 0-4=-4, \end{gather*}

$(0; -4)$ з віссю $Oy.$

\begin{gather*} f(x)=0,\\[7pt] x^2-3x-4=0. \end{gather*}

За теоремою Вієта $$ \left[\begin{array}{l} x_1=4,\\ x_2=-1. \end{array}\right. $$ $(4; 0)$, $(-1; 0)$ з віссю $Ox.$

2. Вершина параболи

\begin{gather*} x_\text{в}=\frac{-b}{2a}=\frac 32=1\mathord{,}5\\[6pt] y_\text{в}=1\mathord{,}5^2-3\cdot 1\mathord{,}5-4=2\mathord{,}25-4\mathord{,}5-4=-6\mathord{,}25\\[7pt] (1\mathord{,}5; -6\mathord{,}25). \end{gather*}

$a=1\gt 0$ віти параболи напрямлені вгору.

3. Знаходимо похідну функції:

\begin{gather*} f'(x)=2x-3,\\[7pt] f'(x_0)=2x_0-3=1,\\[7pt] 2x_0=4,\\[7pt] x_0=2. \end{gather*}

4. Рівняння дотичної до графіка функції має вигляд:

\begin{gather*} y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0),\\[7pt] x_0=2,\\[7pt] f(x_0)=f(2)=2^2-3\cdot 2-4=4-6-4=-6,\\[7pt] f'(x_0)=1,\\[7pt] y=1\cdot (x-2)-6,\\[7pt] y=x-2-6,\\[7pt] y=x-8. \end{gather*}

Відповідь: 1. $(0; -4)$, $(4; 0)$, $(-1; 0).$
3. $x_0=2.$
4. $y=x-8.$

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1354 з 2199

У прямокутній системі координат на площині задано трапецію $ABCD$ $(AD\ ||\ BC$, $AD\gt BC).$ Площа трапеції дорівнює $42.$ Визначте абсцису вершини $D$, якщо $A(-1; 3)$, $B(1; 6)$, $C(7; 6).$

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1355 з 2199

Для перевезення дітей формують колону, яка складається з п’яти автобусів і двох супровідних автомобілів: одного на чолі колони, іншого – позаду неї. Скільки всього існує різних способів розташування автобусів і супровідних автомобілів у цій колоні?

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1356 з 2199

З першої труби порожній басейн наповнюють водою на $40$ хвилин швидше, ніж з другої. Скільки часу (у хвилинах) потрібно для наповнення порожнього басейну з першої труби, якщо з обох труб порожній басейн наповнюють за $21$ хвилину? Уважайте, що швидкості наповнення басейну водою з кожної труби є сталими.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1357 з 2199

Сума другого та четвертого членів зростаючої геометричної прогресії дорівнює $45$, а їхній добуток – $324.$ Визначте перший член цієї прогресії.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1358 з 2199

Діагональ $AC$ та висота $BP$ паралелограма $ABCD$ перетинаються в точці $K$ (див. рисунок). Відомо, що $AB=12$, $\angle BAD=60^\circ$, $BK:KP=4:1.$

1. Визначте довжину відрізка $AP.$

2. Обчисліть периметр паралелограма $ABCD.$

Впишіть відповіді:

1.			2.
	6			72

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1359 з 2199

На виставці представлено лише два види мистецьких робіт: картини та скульптури, причому кількість скульптур у $4$ рази менша за кількість картин.

1. Скільки відсотків становить кількість картин від загальної кількості робіт на виставці?

2. На скільки відсотків кількість картин більша за кількість скульптур?

Впишіть відповіді:

1.			2.
	80			300

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1360 з 2199

На рисунку зображено коло із центром у точці $O.$ Хорди $AB$ і $AC$ рівні, $AK$ – діаметр, $PM$ – дотична до кола, проведена в точці $C$, $\angle BAC=80^\circ.$ До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Градусна міра кута $OCM$ дорівнює

2Градусна міра кута $ACP$ дорівнює

3Градусна міра меншої дуги $AB$ дорівнює

4Градусна міра меншої дуги $KC$ дорівнює

Закінчення речення

А$50^\circ$

Б$80^\circ$

В$90^\circ$

Г$100^\circ$

Д$120^\circ$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на