ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна.

Це завдання перевіряє вміння знаходити первісну раціональної функції.

Нагадаємо, що функція \(F(x)\) називається первісною для функції \(f(x)\) на проміжку \((a; b)\), якщо для будь-якого \(x\in (a; b)\) виконується рівність \(F'(x)=f(x).\)

Правило знаходження первісних. Якщо \(F_1(x)\) – первісна для функції \(f_1(x)\), а \(C\) – довільна стала, то \(F(x)=CF_1(x)\) є первісною для \(Cf_1(x).\)

У нашому випадку $$ f(x)=\frac{1}{2x}=\frac 12\cdot \frac 1x. $$

Оскільки функція \(F_1(x)=\ln|x|\) є первісною для \begin{gather*} f_1(x)=\frac 1x,\ \text{то}\\[6pt] F(x)=\frac 12\ln|x| \end{gather*} є первісною для заданої функції $$ f(x)=\frac 12\cdot \frac 1x. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Степеневі вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння знаходити значення степеневого виразу.

Щоб розв'язати це завдання, достатньо скористатися формулами: $$ a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}, $$ або \begin{gather*} a^{x+y}=a^x\cdot a^y,\\[6pt] a^{-x}=\frac{1}{a^x}. \end{gather*}

Перший спосіб. Оскільки

Другий спосіб. Оскільки

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники та тіла обертання. Конус. Об'єм конуса.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості основних видів многогранників, тіл і поверхонь обертання до розв'язування задач практичного змісту.

Оскільки за умовою кожна цукерка є однорідною і має форму конуса, то маса однієї цукерки пропорціна об'єму конуса: $$ V=\frac 13 \pi R^2h. $$ За умовою \(R=1\) см, \(h=3\) см. Тоді

Якщо маса \(1\) см\(^3\) цукерки становить \(3\) г, то маса усієї цукерки становить $$ 3V=3\pi\ \text{г}, $$ тоді маса ста цукерок дорівнює

Серед наведених варіантів відповіді найближчою до \(942\) є число \(950.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Парність функцій.

Це завдання перевіряє знання властивостей парної функції.

Розглянемо твердження І і ІІ.

Функція \(y=f(x)\) називається парною, якщо для будь-якого \(x\) з області визначення цієї функції виконується рівність: \(f(-x)=f(x).\) Отже, твердження І не є правильним, воно справедливо лише в тому випадку, коли \(f(10)=f(-10)=0\), тобто не виконується для будь-якого \(x\) з області визначення цієї функції. Твердження ІІ є правильним.

З означення парної функції випливає, що її графік симетричний відносно осі \(y.\) Тому твердження ІІІ також є правильним. Отже, правильні твердження ІІ і ІІІ.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Рівняння з модулем.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння, що містить невідоме під знаком модуля (абсолютної величини).

Геометрично модуль числа – це відстань по координатній прямій від нього до початку координат. Тому якщо модуль числа дорівнює \(6\), то це число дорівнює \(6\) або \(-6\). Отже, задане рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь: $$ \left[\begin{array}{l} 2x-1=6,\\ 2x-1=-6. \end{array}\right. $$

Розв'яжемо кожне з рівнянь окремо:

Отже, рівняння має два корені \(x_1=3\mathord{,}5\), \(x_2=-2\mathord{,}5.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Пряма трикутна призма. Площа бічної поверхні призми.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати площу бічної поверхні призми. Для виконання завдання потрібо знати формули площі бічної поверхні призми та площі прямокутника.

Нехай \(ABCA_1B_1C_1\) – задана правильна трикутна призма, основою якої є рівносторонній трикутник \(ABC\), \(AB=BC=AC=a\) (див. рисунок).

Нехай \(CB_1=d\) – діагональ бічної грані. Визначимо з прямокутного трикутника \(CBB_1\ (\angle B=90^\circ)\) за теоремою Піфагора висоту призми \(BB_1\mathord{:}\)

Оскільки сторони основи рівні, то бічні грані призми – рівні прямокутники, тоді площа \(S_\text{б}\) бічної поверхні призми \(ABCA_1B_1C_1\) дорівнює площі бічної грані \(BB_1C_1C\), помноженої на \(3\mathord{:}\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Вирази з коренями. Формули скороченого множення.

Це завдання перевіряє знання формули різниці квадратів двох виразів і вміння виконувати арифметичні дії з дробовими виразами.

Скористаємось означенням частки двох дробів: $$ \frac ab:\frac cd=\frac ab\cdot \frac dc. $$ Тоді отримаємо:

Винесемо у чисельнику другого дробу за дужки спільний множник \(2\mathord{:}\) $$ 2\sqrt{a}-6=2(\sqrt{a}-3). $$ Тоді одержимо:

Врахувавши, що \((\sqrt{a})^2=a\), розкладемо вираз \(a-9\) на множники за формулою різниці квадратів:

Тоді

Другий спосіб. Виконаємо заміну \(\sqrt{a}=b\), \(a=b^2.\) Отримаємо:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє знання основних тригонометричних формул та вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Зберемо в лівій частині заданої рівності доданки, що містять \(\sin \alpha\), а в правій частині – доданки, що містять \(\cos \alpha.\) Отримаємо: $$ 4\sin \alpha+\sin \alpha=2\cos \alpha+\cos \alpha, $$ звідки $$ 5\sin \alpha=3\cos \alpha. $$

Виразимо з отриманої рівності \(\sin \alpha\) через \(\cos \alpha\mathord{:}\) $$ \sin \alpha=\frac 35\cos \alpha. $$ За означенням $$ \mathrm{tg} \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{\frac 35\cos \alpha}{\cos \alpha}=\frac 35. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Подібність трикутників.

Це завдання перевіряє вміння знаходити подібні трикутники та використовувати пропорційність їх сторін для знаходження невідомих елементів трикутників.

Оскільки за умовою \(KM\ ||\ BC\), то \(\angle AKM=\angle ABC\) як відповідні кути при паралельних прямих \(KM\), \(BC\) і січній \(AK.\) Тоді трикутники \(AKM\) i \(ABC\) подібні за двома кутами (\(\angle A\) – спільний). Якщо трикутники подібні, то їх віповідні сторони пропорційні, отже $$ \frac{AK}{AB}=\frac{KM}{BC}, $$ де

звідки

Відповідь: B.