ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції, прямокутних трикутників.

1. Основа \(AD{:}\) оскільки \(BC\ ||\ AD\), то внутрішні різносторонні кути рівні: \(\angle BCA=\angle CAD=30^\circ.\) \(\Delta ABC\) — рівнобедрений \((AB=BC=6)\), тому \(\angle BAC=\angle BCA=30^\circ.\)

Отже, у трапеції

У рівнобічній трапеції кути при основі рівні, тож \(\angle D=60^\circ.\)

Розгляньмо \(\Delta ACD{:}\)

У прямокутному \(\Delta ACD\) катет \(CD=6\) і лежить навпроти кута \(30^\circ\), тому гіпотенуза

Отже, 1 – Г.

2. Висота трапеції:

Проведімо висоту \(CH.\) У \(\Delta CHD\ (\angle H=90^\circ\), \(\angle D=60^\circ){:}\)

Отже, 2 – B.

3. Діагональ \(AC{:}\) у прямокутному \(\Delta ACD\)

Отже, 3 – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – В, 3 – А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. Функція \(y=\frac 4x\) має графік гіперболу. Вона ніколи не перетинає осей координат, оскільки \(x\ne 0\), то й \(y\ne 0.\)

Отже, 1 – A.

2. Для функції \(y=\sin x\) область значень \([-1; 1].\) Її графік симетричний відносно початку координат (непарна функція). Графік \(y=(x-1)^2\) – парабола з вершиною в \((1; 0).\) Синусоїда перетинає її двічі.

Отже, 2 – B.

3. Функція \(y=\log_{0{,}5} x\) логарифмічна. Якщо \(x=1\), то \(y=\log_{0{,}5} 1=0.\)

Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – А, 2 – В, 3 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних, логарифмічних виразів, уміння використовувати властивості модуля числа.

Спростимо вирази:

1. – В.

2. – A.

Вираз \(3-\sqrt{10}\lt 0,\) тому

3. – Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – А, 3 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, знання властивостей піраміди.

Площу повної поверхні піраміди визначмо за формулою:

Піраміда правильна, тому в основі лежить квадрат. Сторона квадрата – \(a.\)

Апофема піраміди дорівнює \(a\) за умовою.

Отже,

Відповідь: B.

ТЕМА: Тригонометричні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Спростiмо вираз за формулою квадрата різниці:

Застосували основну тригонометричну тотожність \(\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1\) і формулу подвійного кута \(\sin 2x=2\sin x\cos x.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Лінійні й раціональні рівняння та їх системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні й раціональні рівняння.

ОДЗ:

Спростімо перше рівняння, скориставшись властивістю пропорції:

Розв’яжімо методом додаванням отриману систему:

Підставмо \(x=2\) у перше рівняння:

\((2; -8)\) – розв'язок системи, задовільняє ОДЗ.

Обчислімо добуток

Відповідь: Д.

ТЕМА: Похідна функції. Таблиця похідних і правила диференціювання.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати похідні функцій, похідну суми двох функцій.

Перетворімо вираз \(\frac{2}{x^2}\) за властивістю степенів \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}{:}\)

Скористаймося правилом диференціювання суми \((u + v)'=u'+v'\) і визначмо похідну функції:

\begin{gather*} f(x)=3x^2+\frac{2}{x^2}+4;\\[6pt] f(x)=3x^2+2x^{-2}+4;\\[7pt] f'(x)=6x+2\cdot (-2)x^{-2-1}+0;\\[7pt] f'(x)=6x-4x^{-3};\\[6pt] f'(x)=6x-\frac{4}{x^3}. \end{gather*}

Застосували формулу для обчислення похідної:

\begin{gather*} (x^n)'=nx^{n-1}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей чотирикутників, зокрема ромба.

I. Якщо градусна міра гострого кута ромба дорівнює \(60^\circ\), то менша діагональ ділить його на два рівносторонні трикутники. У такому разі діагональ дорівнює стороні. Твердження правильне.

II. Висота – це перпендикуляр, а сторона — похила. Похила завжди довша за перпендикуляр (або рівна йому, якщо ромб є квадратом). Твердження неправильне.

III. За трьома сторонами (двома сторонами ромба та спільною діагоналлю) ці трикутники рівні. Твердження правильне.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі.

Поділімо номер квартири на кількість квартир на поверсі:

Це означає, що \(6\) поверхів повністю заповнені (це \(6\cdot 4 = 24\) квартири), а квартира №27 розташована на наступному, сьомому поверсі.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні нерівності, знання властивостей логарифмічної функції.

Використаймо властивість логарифма:

Тоді

Функція \(y=\log_{0{,}7}x\) спадна, тому \(x\lt 0{,}7.\)

Логарифмічна функція має область визначення \(x\gt 0.\)

Отже, розв'язком нерівності буде розв'язок системи:

Отже, \(x\in (0; 0{,}7).\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє знання координат точки на площині.

Визначмо координати точок за рисунком: \(A(-1; -1)\) і \(B(3; 2).\)

Обчислімо відстань між цими точками за формулою:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати перетворення графіків функцій.

Для побудови графіка функції \(f(x + a)\) треба графік функції \(f(x)\) перенести вздовж осі \(Ox\) на \(a\) одиниць вправо, якщо \(a\lt 0\), і на \(a\) одиниць вліво, якщо \(a\gt 0.\)

Отже, для побудови графіка функції \(f(x+3)\) треба перемістити графік функції \(f(x)\) на \(3\) одиничні відрізки вліво вздовж осі \(Ox.\)

Отже, правильна відповідь – В.

Відповідь: B.

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з дійсними числами, знання властивостей модуля числа.

За властивістю модуля числа:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Рівняння, нерівності та їхні системи. Ірраціональні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння.

Піднесімо обидві частини рівняння до квадрата й обчислімо \(x{:}\)

Відповідь: Г.