Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 165

Математика. Всі запитання починаючи з 165

166167168169170171172173174175176177178179180 ▶

Завдання 166 з 2199

Скільки коренів рівняння \(2\cos x=\sqrt{2}\) належить проміжку \([0; \pi]\)?

Аодин

Бжодного

Втри

Гбільш як три

Ддва

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} 2\cos x=\sqrt{2};\\[6pt] \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}. \end{gather*}

Рівняння \(\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) має загальний розв’язок:

\begin{gather*} x=\pm\mathrm{arccos}\ \frac{\sqrt{2}}{2}+2\pi k,\ \text{де}\ k\in Z;\\[6pt] x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi k, \ \text{де}\ k\in Z. \end{gather*}

Розгляньмо значення \(k\), за яких \(x\) потрапляє в проміжок \([0; \pi].\)

Якщо \(k=0\), то

\(x_1=-\dfrac{\pi}{4}.\) Число \(-\dfrac{\pi}{4}\) не належить проміжку \([0; \pi].\)

\(x_2=\dfrac{\pi}{4}.\) Число \(\dfrac{\pi}{4}\) належить проміжку \([0; \pi].\)

Якщо \(k=1\), то

\(x_1=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi=\dfrac{7\pi}{4}.\) Число \(\dfrac{7\pi}{4}\) не належить проміжку \([0; \pi].\)

\(x_2=\dfrac{\pi}{4}+2\pi=\frac{9\pi}{4}.\) Число \(\dfrac{9\pi}{4}\) не належить проміжку \([0; \pi].\)

Якщо \(k=-1\), то

\(x_1=-\dfrac{\pi}{4}-2\pi=-\dfrac{9\pi}{4}.\) Число \(-\dfrac{9\pi}{4}\) не належить проміжку \([0; \pi].\)

\(x_2=\dfrac{\pi}{4}-2\pi=-\frac{7\pi}{4}.\) Число \(-\dfrac{7\pi}{4}\) не належить проміжку \([0; \pi].\)

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37690

Завдання 167 з 2199

У координатній площині \(yz\) прямокутної системи координат у просторі лежить точка

А\((-2; 5; 0)\)

Б\((-2; 5; 2)\)

В\((2; 0; 0)\)

Г\((2; 0; -5)\)

Д\((0; 2; -5)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Завдання перевіряє знання прямокутної системи координат у просторі, координати точки.

Точка, яка лежить у площині \(yz\), має нульову координату \(x.\) Тобто з-поміж наведених точок лише одна \((0; 2; -5)\) лежить у площині \(yz.\)

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37689

Завдання 168 з 2199

Спростіть вираз \(\dfrac{a^2+ab}{(a+b)^2}-\dfrac{2a+b}{a+b}.\)

А\(1\)

Б\(\dfrac{b-a}{a+b}\)

В\(\dfrac{3a+b}{a+b}\)

Г\(-1\)

Д\(\dfrac{a-b}{a+b}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання перевіряє вміння розкладати многочлен на множники, виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

У виразі \(a^2+ab\) винесімо спільний множник \((a)\) за дужки:

\begin{gather*} a^2+ab=a(a+b);\\[6pt] \frac{a^2+ab}{(a+b)^2}-\frac{2a+b}{a+b}=\frac{a(a+b)}{(a+b)^2}-\frac{2a+b}{a+b}=\frac{a}{a+b}-\frac{2a+b}{a+b}=\\[6pt] =\frac{a-(2a+b)}{a+b}=\frac{a-2a-b}{a+b}=\frac{-a-b}{a+b}=\frac{-1(a+b)}{a+b}=-1. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37688

Завдання 169 з 2199

На відрізку \(AB\) вибрано точку \(M\) (див. рисунок). Обчисліть відстань від середини відрізка \(AM\) до точки \(B\), якщо \(AB=26\) см, \(AM=8\) см.

А\(17\) см

Б\(22\) см

В\(18\) см

Г\(24\) см

Д\(20\) см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання перевіряє знання аксіом планіметрії, уміння застосовувати властивості найпростіших геометричних фігур у розв'язуванні планіметричних задач.

Оскільки точка \(M\) лежить на відрізку \(AB\), загальна довжина складається з двох частин:

\begin{gather*} AB=AM+MB;\\[7pt] MB=AB-AM=26-8=18\ \text{см}. \end{gather*}

Нехай точка \(K\) – середина відрізка \(AM.\) Тоді відстань від \(K\) до \(M\) дорівнює половині довжини \(AM{:}\)

\begin{gather*} KM=AM:2=8:2=4\ \text{см}. \end{gather*}

Відстань від середини відрізка \(AM\) (точки \(K\)) до точки \(B\) складається з відрізків \(KM\) та \(MB{:}\)

\begin{gather*} KB=KM+MB=4+18=22\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37687

Завдання 170 з 2199

Два журналісти заповнюють стрічку новин на інтернет-порталі. Перший журналіст публікує за день \(k\) новин, а другий – \(n\) новин. Скільки новин разом опублікують обидва журналісти, якщо перший працював \(2\) дні, а другий – \(3\) дні?

А\(2k+3n\)

Б\(5+k+n\)

В\(5(k+n)\)

Г\(5kn\)

Д\(6kn\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі.

	Продуктивність, новин/день	Час роботи, дні	Усього новин
Перший журналіст	\(k\)	\(2\)	\(2k\)
Другий журналіст	\(n\)	\(3\)	\(3n\)

Щоб дізнатися, скільки всього новин журналісти додадуть у стрічку разом, треба додати результати їхньої індивідуальної роботи:

\begin{gather*} 2k+3n. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37686

Завдання 171 з 2199

На рисунку зображено графік функції \(y=f(x)\), визначеної на проміжку \([-3; 3].\) Визначте нуль цієї функції.

А\(-1\)

Б\(-3\)

В\(0\)

Г\(3\)

Д\(2\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком і формулою.

Нулем функції називають таке значення аргумента, за якого значення функції дорівнює нулю.

На графіку функції це точка його перетину з віссю \(Ox.\)

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37685

Завдання 172 з 2199

Спростіть вираз \(a^6\cdot (a^2)^3.\)

А\(a^{30}\)

Б\(a^{36}\)

В\(a^{11}\)

Г\(a^{12}\)

Д\(a^{48}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Степеневі вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей степенів і коренів, дій із ними.

Застосуймо властивості степенів:

\begin{gather*} (a^x)^y=a^{x\cdot y};\\[7pt] a^x\cdot a^y=a^{x+y}.\\[7pt] a^6\cdot (a^2)^3=a^6\cdot a^6=a^{6+6}=a^{12}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37684

Завдання 173 з 2199

Доберіть закінчення речення так, щоб утворилося правильне твердження: «Циліндр утворений обертанням...

Аквадрата навколо його діагоналі».

Бквадрата навколо його сторони».

Впрямокутного трикутника навколо його гіпотенузи».

Гпрямокутного трикутника навколо його катета».

Дпрямокутника навколо його діагоналі».

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання означення циліндра як тіла обертання.

Циліндр – тіло обертання, утворене внаслідок обертання прямокутника навколо прямої, яка містить одну з його сторін.

Оскільки квадрат — окремий випадок прямокутника, то внаслідок обертання квадрата навколо його сторони також утворюється циліндр.

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37683

Завдання 174 з 2199

Розв'язком нерівності \(5^{-x}\gt 25\) є число

А\(-3\)

Б\(1\)

В\(-1\)

Г\(0\)

Д\(3\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові нерівності, знання властивостей показникової функції.

\begin{gather*} 5^{-x}\gt 25;\\[7pt] 5^{-x}\gt 5^2. \end{gather*}

Оскільки основа степеня \((5)\) більша за одиницю \((5\gt 1)\), функція зростаюча, тому задана нерівність рівносильна нерівності

\begin{gather*} -x\gt 2. \end{gather*}

Помножмо обидві частини нерівності на \(-1.\)

Важливо: унаслідок множення або ділення нерівності на від'ємне число знак нерівності змінюється на протилежний.

\begin{gather*} x\lt -2. \end{gather*}

Розв'язок нерівності – проміжок \(x\in (-\infty; -2).\) З наведених чисел лише \(-3\) належить заданому проміжку.

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37682

Завдання 175 з 2199

\(2\cdot \left(-\dfrac 13\right)=\)

А\(-\dfrac 16\)

Б\(\dfrac 23\)

В\(1\dfrac 23\)

Г\(-6\)

Д\(-\dfrac 23\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами.

\begin{gather*} 2\cdot \left(-\frac 13\right)=-\frac{2\cdot 1}{3}=-\frac 23. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37681

Завдання 176 з 2199

На графіку відображено зміну кількості опадів (мм) протягом року в регіоні України. За графіком визначте місяці, у яких кількість опадів перевищувала \(50\) мм.

А\(5\); \(8\)

Б\(6\); \(7\)

В\(5\); \(6\); \(7\)

Г\(5\); \(6\); \(7\); \(8\)

Д\(5\); \(6\); \(7\); \(12\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені у графічній і текстовій формах.

Отже, кількість опадів перевищувала \(50\) мм у \(5\), \(6\), \(7\) та \(12\text{-му}\) місяцях.

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37680

Завдання 177 з 2199

Обчисліть найбільше значення \(a\), за якого система \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} (x-6)^2+(y+8)^2=a;\\ x^2+y^2=9. \end{array}\right. \end{gather*} має єдиний розв'язок.

Впишіть відповідь:

169

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь графічним методом, рівняння з параметром.

Розв'яжемо рівняння графічно. Розв'язок системи рівнянь – точки перетину графіків.

\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2\) – це рівняння кола з центром в точці \(O(x_0; y_0)\) і радіусом \(R.\)

1) \((x-6)^2+(y+8)^2=a\) коло з центром \(O_1(6; -8)\) та радіусом \(R=\sqrt{a}.\)
2) \(x^2+y^2=9\) коло з центром \(O_2(0; 0)\) та радіусом \(r=3.\)

Система має єдиний розв'язок тоді, коли ці два кола дотикаються.

Знайдемо відстань між центрами кіл \(O_1O_2\) за формулою відстані між точками:

\begin{gather*} O_1O_2=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2};\\[7pt] O_1O_2=\sqrt{(6-0)^2+(-8-0)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10. \end{gather*}

Для дотику відстань між центрами має дорівнювати або сумі, або різниці радіусів:

Зовнішній дотик: \(R+r=O_1O_2.\)

\begin{gather*} \sqrt{a}+3=10;\\[7pt] \sqrt{a}=7;\\[7pt] a=49. \end{gather*}

Внутрішній дотик: \(|R-r|=O_1O_2.\)

\begin{gather*} \sqrt{a}-3=10;\\[7pt] \sqrt{a}=13;\\[7pt] a=169. \end{gather*}

(Також можливий варіант \(3-\sqrt{a}=10\), але тоді \(\sqrt{a}=-7\), що неможливо).

Оскільки за умовою потрібне найбільше значення, вибираємо \(169.\)

Відповідь: \(169.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 742. Запитання: 37585

Завдання 178 з 2199

У прямокутному паралелепіпеді діагональ основи дорівнює \(12\). Це вдвічі більше за довжину однієї зі сторін основи. Обчисліть об'єм цього паралелепіпеда, якщо площа діагонального перерізу дорівнює \(72\sqrt{3}.\)

Впишіть відповідь:

648

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

В основі прямокутного паралелепіпеда лежить прямокутник. Оскільки його діагоналі рівні, за умовою вони становлять \(12\) см, що вдвічі більше за одну зі сторін основи.

У прямокутному \(\Delta ABD\ (\angle A=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} BD^2=AB^2+AD^2;\\[7pt] AD^2=BD^2-AB^2;\\[7pt] AD^2=12^2-6^2;\\[7pt] AD^2=144-36=108;\\[7pt] AD=\sqrt{108}=\sqrt{36\cdot 3}=\sqrt{36}\cdot \sqrt{3}=6\sqrt{3}. \end{gather*}

Площа прямокутника \(ABCD\) (основи паралелепіпеда):

\begin{gather*} S_\text{осн}=AB\cdot AD=6\cdot 6\sqrt{3}=36\sqrt{3}. \end{gather*}

Діагональний переріз \(BB_1D_1D\) – прямокутник зі сторонами \(BD\) і \(DD_1\) де (\(DD_1=H\) – висота паралелепіпеда).

За умовою:

\begin{gather*} S_{BB_1D_1D}=72\sqrt{3};\\[7pt] S_{BB_1D_1D}=BD\cdot H;\\[7pt] 12\cdot H=72\sqrt{3};\\[7pt] H=72\sqrt{3}:12=6\sqrt{3}. \end{gather*}

Об'єм прямокутного паралелепіпеда обчислімо за формулою:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H;\\[7pt] V=36\sqrt{3}\cdot 6\sqrt{3}=36\cdot 6\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=216\cdot 3=648. \end{gather*}

Відповідь: \(648.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 742. Запитання: 37584

Завдання 179 з 2199

У кафе на сніданок пропонують \(10\) видів сендвічів, \(8\) різних салатів і \(6\) видів напоїв. Відвідувач вибирає на сніданок у цьому кафе або сендвіч і напій, або салат і напій. Скільки всього варіантів такого вибору?

Впишіть відповідь:

108

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання перевіряє знання означення комбінації, вміння розв’язувати комбінаторні задачі, використовуючи правила суми та добутку.

Відвідувач вибирає або (сендвіч і напій), або (салат і напій).

Сендвіч і напій. Вибираємо один із \(10\) сендвічів \((C_{10}^1=10)\) й один із \(6\) напоїв \((C_6^1=6)\) за правилом добутку:

\begin{gather*} 10\cdot 6=60. \end{gather*}

Салат і напій. Вибираємо один із \(8\) салатів \((C_8^1=8)\) й один із \(6\) напоїв \((C_6^1=6)\) за правилом добутку:

\begin{gather*} 8\cdot 6=48. \end{gather*}

Оскільки відвідувач вибирає або перший набір, або другий, за правилом суми додамо отримані результати:

\begin{gather*} 60+48=108. \end{gather*}

Правило добутку: Якщо об’єкт \(A\) можна вибрати \(n\) способами, а об’єкт \(B\) — \(m\) способами, то пару \(A\) і \(B\) можна вибрати \(n\cdot m\) способами.

Правило суми: Якщо об’єкт \(A\) можна вибрати \(n\) способами, а об’єкт \(B\) — \(m\) способами (і ці способи не перетинаються), то вибір «\(A\) або \(B\)» можна здійснити \(n + m\) способами.

Відповідь: \(108.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 742. Запитання: 37583

Завдання 180 з 2199

Обчисліть інтеграл \(\displaystyle \mathop{\int}\limits_{-2}^1 (x^2+7x)\ dx.\)

Впишіть відповідь:

-7.5

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна.

Завдання перевіряє знання правил знаходження первісної, визначеного інтеграла.

За формулою Ньютона – Лейбніца:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_a^b f(x)\ dx=F(x)\ \Big|_a^b=F(b)-F(a), \end{gather*}

де \(f(x)\) – це неперервна функція на проміжку \([a; b]\), a \(F(x)\) – її первісна.

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_{-2}^1 (x^2+7x)\ dx=\left(\frac{x^{2+1}}{2+1}+7\cdot \frac{x^{1+1}}{1+1}\right)\Big|_{-2}^1=\left(\frac{x^3}{3}+7\cdot \frac{x^2}{2}\right)\Big|_{-2}^1=\\[6pt] =\left(\frac{1^3}{3}+7\cdot \frac{1^2}{2}\right)-\left(\frac{(-2)^3}{3}+7\cdot \frac{(-2)^2}{2}\right)=\left(\frac 13+7\cdot \frac 12\right)-\left(\frac{-8}{3}+7\cdot \frac 42\right)=\\[6pt] =\frac 13+\frac 72+\frac 83-7\cdot 2=\left(\frac 13+\frac 83\right)+\left(\frac 72-7\cdot 2\right)=\frac 93+3{,}5-14=\\[6pt] =3+3{,}5-14=6{,}5-14=-(14-6{,}5)=-7{,}5. \end{gather*}

Функція \(f(x)\)	Загальний вигляд первісних \(F(x)+C\), де \(C\) – довільна стала
\begin{gather}x^\alpha,\ \alpha\ne -1\end{gather}	\begin{gather}\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\end{gather}

Відповідь: \(-7{,}5.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 742. Запитання: 37582