ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання означення арифметичної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена, суми \(n\) перших членів послідовності.

З умови задачі маємо такі значення:

• кількість запрошень за 1-й тиждень: \(a_1=7\);
• різниця прогресії: \(d=3\);
• кількість тижнів (елементів): \(n=10\).

Для обчислення загальної кількості запрошень, які отримала Оленка за перші \(10\) тижнів, використаймо формулу суми перших \(n\) членів і формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії:

Відповідь: \(205.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання про коло, круг та їхні елементи, а також властивості ромба.

1. \(OA\) (Радіус кола).

Формула довжини кола: \(L=2\pi R.\) За умовою \(L=12\pi\) см, отже:

\begin{gather*} 2\pi \cdot OA=12\pi\Rightarrow OA=6\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

2. Довжина діагоналі \(BD\) ромба.

Розгляньмо \(\Delta AKO.\) \(OA=OK=R=6\) см (як радіуси). За умовою \(AK=OA.\) Отже, \(\Delta AKO\) – рівносторонній (\(AK=KO=OA=6\) см). Отже, гострий кут ромба \(\angle A=60^\circ.\)

Оскільки \(AD\) – діаметр, то сторона ромба

\begin{gather*} AB=AD=2R=2\cdot 6=12\ \text{см}. \end{gather*}

У ромбі сума сусідніх кутів дорівнює \(180^\circ\), тому тупий кут

\begin{gather*} \angle B=180^\circ-60^\circ=120^\circ. \end{gather*}

За властивістю ромба діагональ \(BD\) є бісектрисою кута \(B\), тобто в трикутнику \(ABD\) кути при основі \(\angle ABD=\angle ADB=60^\circ.\) Тобто \(\Delta ABD\) – рівносторонній, і \(BD=AB=12\) см.

Отже, правильна відповідь – B.

3. Довжина висоти ромба.

Трикутник \(ABD\) рівносторонній, тож висота ромба, проведена з вершини \(B\) до сторони \(AD\), є водночас і висотою цього трикутника.

Формула для обчислення висоти рівностороннього трикутника: \begin{gather*} h=\frac{a\sqrt{3}}{2}, \end{gather*} де \(a\) – його сторона.

Підставмо значення довжини сторони \(a=12\) см:

\begin{gather*} BO=\frac{12\cdot \sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – A, 2 – B, 3 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1. \(y=-(x-2)^2\) це квадратична функція (парабола, гілки вниз). Графік має одну точку екстремуму (тут – максимуму) – вершина параболи.

Отже, 1 – Б.

2. \(y=\cos x+1.\)

Оскільки косинус є парною функцією \(\cos(-x)=\cos x\), отримуємо:

\begin{gather*} y(-x)=\cos x+1=y(x). \end{gather*}

Якщо \(y(-x)=y(x)\) то функція за означенням є парною. Графік парної функції симетричний відносно вісі \(Oy.\)

Отже, 2 – A.

3. \(y=\dfrac{1}{2x-2}\) не визначена в точці \(x=1\), бо

\begin{gather*} 2x-2\ne 0;\\[7pt] 2x\ne 2;\\[7pt] x\ne 1. \end{gather*}

Отже, 3 – B.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних, логарифмічних і степеневих виразів.

Скористаймося формулою скороченого множення для різниці квадратів:

\begin{gather*} a^2-b^2=(a-b)(a+b). \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

2. \(2^{3a}=(2^3)^a=8^a.\)

Застосуймо властивість степенів:

\begin{gather*} (a^x)^y=a^{x\cdot y}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

Використаймо властивості логарифма:

\begin{gather*} a\gt 0,\ a\ne 1,\ b\gt 0,\ k\ne 0;\\[7pt] \log_{\textstyle a}a=1;\\[6pt] \log_{\textstyle a^k} b=\frac 1k\cdot \log_{\textstyle a} b;\\[6pt] \log_{\textstyle a} b^k=k\cdot\log_{\textstyle a} b. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції та прямокутного трикутника, уміння визначати площу трапеції.

За умовою висота \(CK\) ділить основу \(AD\) на два відрізки: \(AK=16\) см і \(KD=9\) см.

У рівнобічній трапеції висота, опущена з вершини тупого кута, ділить більшу основу на відрізки, один із яких дорівнює півсумі основ (середній лінії), а інший – половині різниці основ.

Отже, середня лінія відома:

\begin{gather*} L=\frac{AD+BC}{2}=16\ \text{см}. \end{gather*}

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta ACD\) \((\angle ACD=90^\circ\) за умовою). Відрізок \(CK\) – це висота, проведена з вершини прямого кута до гіпотенузи \(AD.\)

За метричними співвідношеннями в прямокутному трикутнику, квадрат висоти дорівнює добутку проєкцій катетів на гіпотенузу:

\begin{gather*} CK^2=AK\cdot KD;\\[7pt] CK^2=16\cdot 9=144;\\[7pt] CK=\sqrt{144}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Формула площі трапеції:

\begin{gather*} S=\frac{AD+BC}{2}\cdot CK;\\[6pt] S=16\cdot 12=192\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Первісна та визначений інтеграл.

Завдання перевіряє вміння обчислювати первісну, знання її основних властивостей і правил обчислення визначеного інтеграла.

За правилами інтегрування:

та формулою Ньютона – Лейбніца:

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра. Лінійні рівняння.

Завдання перевіряє знання основної властивості пропорції та вміння розв’язувати лінійні рівняння.

\begin{gather*} \frac{x}{18-2x}=\frac 14. \end{gather*}

Застосуймо основну властивість пропорції:

\begin{gather*} \frac ab=\frac cd;\\[6pt] a\cdot d=b\cdot c.\\[7pt] 4\cdot x=1\cdot (18-2x);\\[7pt] 4x=18-2x;\\[7pt] 4x+2x=18;\\[7pt] 6x=18;\\[7pt] x=18:6;\\[7pt] x=3. \end{gather*}

Корінь рівняння \(x=3\) належить проміжку \([0; 4).\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Для скорочення дробу розкладімо знаменник на множники й винесімо спільний множник за дужки:

Розв'язуючи завдання, застосували формулу різниці квадратів:

\begin{gather*} a^2-b^2=(a-b)(a+b). \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання властивостей піраміди й уміння розв’язувати стереометричні задачі.

\begin{gather*} S_\text{бічн}=\frac 12P_\text{осн}\cdot m, \end{gather*}

де \(P_\text{осн}\) – периметр основи, а \(m\) – апофема (висота бічної грані).

В основі правильної чотирикутної піраміди лежить квадрат. За умовою сторона квадрата дорівнює \(a\). Тоді периметр основи:

\begin{gather*} P_\text{осн}=4a. \end{gather*}

Апофема піраміди дорівнює \(a\) за умовою: \(m=a.\)

Отже,

\begin{gather*} S_\text{бічн}=\frac 12\cdot 4a\cdot a=2a^2. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання означення та властивостей степеня з натуральним показником.

Для розв'язання використаймо властивості:

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості прямокутника.

Периметр прямокутника – це сума всіх його сторін:

\begin{gather*} P=(AB+CD)+(BC+AD). \end{gather*}

За умовою \(P=46\) см, а сума \(AB+CD=18\) см. Підставмо ці значення:

\begin{gather*} 46=18+(BC+AD);\\[7pt] BC+AD=46-18=28\ \text{см}. \end{gather*}

У прямокутнику протилежні сторони рівні: \(BC=AD\). Тому

\begin{gather*} BC=28:2=14\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання ознак подільності чисел, уміння розв'язувати задачі на відношення та пропорції.

Відношення кількості столів до стільців становить \(3 : 4.\)

Якщо столів \(3x\), а стільців \(4x\), то разом їх:

\begin{gather*} 3x+4x=7x. \end{gather*}

Загальна кількість столів і стільців – число, кратне \(7.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння виконувати перетворення графіків функцій.

Для побудови графіка функції \(f(x+a)\) треба графік функції \(f(x)\) перенести вздовж осі \(Ox\) на \(a\) одиниць вправо, якщо \(a\lt 0\), і на \(a\) одиниць вліво, якщо \(a\gt 0.\)

\(y=\dfrac 1x\) графік перенесли на \(4\) одиниці праворуч. Згідно з правилом замінімо змінну \(x\) у знаменнику на вираз \((x-4).\) Маємо нову функцію: \(y=\dfrac{1}{x-4}.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності та системи нерівностей.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи лінійних нерівностей.

Розв'яжімо систему нерівностей:

За властивістю нерівностей, під час ділення нерівності на від'ємне число знак нерівності треба замінити на протилежний.

Зобразімо розв'язок на числовій прямій:

Спільний розв'язок \(x\in (-3; 8).\)

Відповідь: Б.