Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Тіла і поверхні обертання та їх елементи, основні види тіл і поверхонь обертання: циліндр, конус, зрізаний конус, куля, сфера.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості конуса, знання формули площі поверхні конуса.

Прямокутний \(\Delta CAB\ (\angle C=90^\circ)\), \(AC=12\) см, \(BC=9\) см.

\begin{gather*} S_{\text{біч}} = \pi Rl, \end{gather*}

де \(R=BC\), \(l=AB.\)

За теоремою Піфагора

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Означення арифметичної прогресії.

Це завдання перевіряє знання формули \(n\)-го члена та суми \(n\)-перших членів арифметичної прогресії, вміння розв’язувати текстові задачі.

Розглянемо математичну модель задачі
\(a_1 = 30\) – перший член арифметичної прогресії;
\(a_n = 180\) – \(n\)-й член;
\(d = 25\) – різниця прогресії.

За формулою \(n\)-го члена: \(a_n = a_1 + d(n - 1)\) знаходимо \(n.\)

\begin{gather*} 30 + 25(n - 1) = 180;\\[7pt] 30 + 25n - 25 = 180;\\[7pt] 5 + 25n = 180;\\[7pt] 25n = 175;\\[7pt] n = 175:25=7. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми косинусів.

У \(\Delta ABD\) знаходимо сторону \(BD\) за теоремою косинусів:

\begin{gather*} BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2\cdot AB \cdot AD \cdot \cos A = (2\sqrt{3})^2 + 8^2 - 2\cdot 2\sqrt{3}\cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} =\\[6pt] = 12 + 64 - 48 = 28;\\[6pt] BD = \sqrt{28}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі.

За \(5\) годин заповнюється \(x\) м\(^3.\)

За \(2\) години заповниться на \(\dfrac{2}{5}x\) м\(^3.\)

Отже, \(V = \dfrac{2}{5}x.\)

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Многокутники. Геометричні величини та їх вимірювання.

Це завдання перевіряє знання поняття площі фігури.

На рисунку зображено ромб та коло, вписане в нього.

Застосуємо властивість: площа фігури дорівнює сумі площ фігур, на які вона розбивається.

Площі зафарбованих фігур дорівнюють площі незафарбованих. Отже, площа зафарбованої фігури дорівнює половині площі ромба.

\begin{gather*} S_{\text{фігури}} = \frac{1}{2}S_{\text{ромба}} = \frac{1}{2}\cdot 96 = 48\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні), їх порівняння та дії з ними. Числові множини та співвідношення між ними.

Це завдання перевіряє вміння порівнювати значення тригонометричних виразів, знання властивостей тригонометричних функцій.

Функція \(y = \mathrm{ctg}\ x\) на проміжку \(x \in \left(0; \dfrac{\pi}{2}\right)\) спадає, тому

\begin{gather*} \mathrm{ctg}\ 25^\circ \gt \mathrm{ctg}\ 30^\circ;\\[7pt] \mathrm{ctg}\ 25^\circ \gt \sqrt{3};\\[7pt] (\sqrt{3}; +\infty). \end{gather*}

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості многогранників до розв’язування задач, знання теореми Піфагора, співвідношень між сторонами та кутами прямокутного трикутника.

\(SABCD\) – правильна піраміда, \(ABCD\) – квадрат, \(SO\) – висота. \(SO = 3\) см, \(SB = 5\) см.

\(SO\!\perp\!(ABC)\), \(SB\) – похила, \(BO\) – проекція похилої, звідси \(\angle(SB,\ (ABC)) = \angle SBO.\)

\(\Delta SOB\ (\angle O = 90^\circ)\) за теоремою Піфагора

\begin{gather*} SB^2 = SO^2 + OB^2;\\[7pt] BO^2 = SB^2 - SO^2 = 25 - 9 = 16;\\[7pt] BO = 4\ \text{см}.\\[6pt] \cos\angle SBO = \frac{BO}{SB} = \frac{4}{5}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні нерівності.

\begin{gather*} (x + 4)(x - 7)\gt 3(x - 7);\\[7pt] (x + 4)(x - 7) - 3(x - 7) \gt 0;\\[7pt] (x - 7)(x + 4 - 3) \gt 0;\\[7pt] (x - 7)(x + 1) \gt 0. \end{gather*}

Розклавши на множники, розв’яжемо методом інтервалів:
\(x = 7\); \(x = -1\) – нулі функції.

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення степеневих виразів.

Запишiмо числа з однаковим показником:

\begin{gather*} 2^{15} = (2^3)^5 = 8^5;\\[7pt] 4^{10} = (4^2)^5 = 16^5;\\[7pt] 10^5. \end{gather*}

Отже, у порядку зростання

\begin{gather*} 8^5;\ 10^5;\ 16^5. \end{gather*}

Або

\begin{gather*} 2^{15};\ 10^5;\ 4^{10}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні), їх порівняння та дії з ними. Числові множини та співвідношення між ними.

Це завдання перевіряє знання модуля числа.

Якщо \(a \lt -2\), то

\begin{gather*} 1 - |a + 2| = 1 - (-a - 2) = 1 + a + 2 = a + 3. \end{gather*}

Вираз \((a + 2)\) при \(a \lt -2\) набуває від'ємних значень, тому

\begin{gather*} |a + 2| = -(a + 2) = -a - 2. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідні елементарних функцій.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідні елементарних функцій.

За умовою \(f'(5) = -1\), \(f(5) = 3.\)

Знаходимо похідну функції \(g(x) = f(x)\cdot x\) за правилом похідної добутку.

\begin{gather*} g'(x) = f'(x)\cdot x + f(x)\cdot x' = f'(x)\cdot x + f(x).\\[7pt] g'(x_0) = g'(5) = f'(5)\cdot 5 + f(5) = (-1)\cdot 5 + 3 = -5 + 3 = -2. \end{gather*}

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє знання формули скороченого множення, вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

1. \((a - 8)(a + 8) = a^2 - 8^2 = a^2 - 64\) за формулою «різниця квадратів».
Отже, 1 – Б.

2. \((a - 8)^2 = a^2 - 16a + 64\) за формулою «квадрат різниці».
Отже, 2 – А.

3. \((a - 4)(a^2 + 4a + 16) = a^3 - 4^3 = a^3 - 64\) за формулою «різниця кубів».
Отже, 3 – Д.

4. \((a - 4)(a - 16) = a^2 - 16a - 4a + 64 = a^2 - 20a + 64\) розкрили дужки, звели подібні доданки.
Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Б, 2 – А, 3 – Д, 4 – В.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати рівняння.

1. \(x + \pi = 0\), \(x = -\pi\) – коренем рівняння є ірраціональне число.
Отже, 1 – А.

2. \(\cos x = \sqrt{3}\) не має коренів, бо \(\cos x = a\) має корені при \(a \in [-1; 1]\), \(\sqrt{3} \gt 1.\)
Отже, 2 – В.

3. \(\sqrt{x} = 4\), \((\sqrt{x})^2 = 4^2\), \(x = 16.\)
Отже, 3 – Б.

4. \(\dfrac{x - 1}{x + 7} = 0\), \(\begin{cases} x - 1 = 0,\\ x + 7 \ne 0, \end{cases}\ \begin{cases} x = 1,\\ x \ne -7. \end{cases}\)

Корінь \(x = 1\) належить відрізку \([-2; 2].\)
Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – А, 2 – В, 3 – Б, 4 – Д.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння знаходити величини кутів у просторі, взаємне розміщення прямих та площин у просторі.

1. \(CC_1\!\perp\!(ABC)\), \(AC \in (ABC) \rightarrow CC_1\!\perp\!AC.\)
Отже, 1 – B.

2. \(AB_1\) і \(CD_1\) – мимобіжні (не перетинаються, не лежать в одній площині).
Отже, 2 – Б.

3. \(AC \cap CD_1\), \(\Delta ACD_1\) – рівносторонній. \(AC = CD_1 = D_1A\) – діагоналі рівних квадратів. Отже, \(\angle ACD_1 = 60^\circ.\)
Отже, 3 – Д.

4. \(AB_1\,||\,DC_1\) (лежать у паралельних площинах, через них можна провести площину).
Отже, 4 – А.

Відповідь: 1 – В, 2 – Б, 3 – Д, 4 – А.