ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики. Перестановки, комбінації, розміщення.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі з комбінаторики, застосовувати комбінаторне правило добутку.

Скористаймося формулою комбінацій вибору \(k\) елементів з \(n\) можливих:

\begin{gather*} C_n^k=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}. \end{gather*}

1. Оберімо співака.

Треба обрати \(1\) співака з \(5\) фіналістів. Кількість способів це зробити дорівнює:

\begin{gather*} C_5^1=5. \end{gather*}

2. Оберімо музичні групи.

Треба обрати \(2\) групи з \(12\) фіналістів. Оскільки порядок вибору груп не має значення, використаймо формулу комбінацій \((C_{12}^2){:}\)

3. Визначмо загальну кількість варіантів.

Оскільки маємо обрати і співака, і музичні групи (сполучник і вказує на одночасний вибір), за правилом добутку перемножмо отримані результати:

\begin{gather*} N=C_5^1\cdot C_{12}^2=5\cdot 66=330. \end{gather*}

Правило добутку: Якщо об’єкт \(A\) можна вибрати \(n\) способами, а об’єкт \(B\) – \(m\) способами, то пару \(A\) і \(B\) можна вибрати \(n\cdot m\) способами.

Відповідь: \(330.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена та вміння розв’язувати задачі на застосування властивостей арифметичної прогресії.

Арифметична прогресія – це послідовність чисел, де кожне наступне утворюється додаванням (або відніманням) того самого числа, яке називають різницею прогресії \((d).\)

Будь-який інший член прогресії \((a_n)\) відрізняється від відомого \((a_k)\) на цілу кількість кроків \(d{:}\)

\begin{gather*} a_n=a_k+d\cdot m, \end{gather*}

де \(m\) – це ціле число.

Підставивши відомі значення \(a_k=27\) та \(d=5\)

\begin{gather*} a_n=27+5m. \end{gather*}

Шукані члени прогресії належать інтервалу \((60; 75).\) Складімо подвійну нерівність:

\begin{gather*} 60\lt 27+5m\lt 75;\\[7pt] 60-27\lt 5m\lt 75-27;\\[7pt] 33\lt 5m\lt 48;\\[6pt] \frac{33}{5}\lt m\lt \frac{48}{5};\\[6pt] 6{,}6\lt m\lt 9{,}6;\\[7pt] m=\{7,\ 8,\ 9\} \end{gather*}

Обчислімо відповідні члени арифметичної прогресії:

Обчислімо суму \(S\) визначених членів прогресії:

\begin{gather*} S=62+67+72=201. \end{gather*}

Відповідь: \(201.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба та прямокутного трикутника.

1. Висота ромба.

Висота ромба \(h\) дорівнює діаметру вписаного кола \((h=2r){:}\)

\begin{gather*} h=2\cdot 12=24\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – В.

2. Проєкція меншої діагоналі на сторону ромба.

Проєкцією меншої діагоналі \(BD\) на сторону ромба \(AD\) є відрізок \(KD\) (оскільки \(B\) проєктується в точку \(K\), а вершина \(D\) лежить на цій прямій). Розгляньмо прямокутний трикутник \(BKD\ (\angle BKD=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:

Отже, правильна відповідь – А.

3. Сторона ромба.

Розгляньмо прямокутні трикутники \(\Delta AOD\ (\angle AOD=90^\circ)\) та \(\Delta BKD\ (\angle BKD=90^\circ){:}\) \(\angle AOD=\angle BKD=90^\circ.\)

Гострий кут \(\angle ODA\) (або \(\angle BDK\)) – спільний.

Звідси: \(\Delta AOD\sim \Delta BKD\) за двома гострими кутами (ознака подібності прямокутних трикутників).

Оскільки трикутники подібні, відношення їхніх відповідних сторін (навпроти рівних кутів) є рівними. Запишімо пропорцію відношення гіпотенуз до прилеглих катетів для цих трикутників:

\begin{gather*} \frac{AD}{BD}=\frac{OD}{KD}. \end{gather*}

Підставмо всі відомі значення, які отримали на попередніх кроках \((BD=30\) см, \(OD=15\) см, \(KD=18\) см\(){:}\)

\begin{gather*} \frac{AD}{30}=\frac{15}{18};\\[6pt] AD=\frac{15\cdot 30}{18}=5\cdot 5=25\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – A, 3 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1. Функція \(y=cos x.\) Косинус – періодична функція.

Підставмо \(y=1{:}\) \(\cos x=1\) виконується в усіх точках виду \(x=2\pi k\), \(k\in Z\) (наприклад: \(0\), \(\pm 2\pi\), \(\pm 4\pi\) тощо). Спільних точок безліч.

Отже, 1 – Д.

2. Функція \(y=x^2-2x+2.\)

Підставмо \(y=1{:}\)

\begin{gather*} x^2-2x+2=1;\\[7pt] x^2-2x+1=0;\\[7pt] (x-1)^2=0;\\[7pt] x=1. \end{gather*}

Квадратне рівняння має лише один корінь. Графіки мають одну спільну точку (пряма є дотичною до вершини параболи).

Отже, 2 – Б.

3. Функція \(y=1+\frac 2x.\)

Підставмо \(y=1\) (зважмо на ОДЗ: \(x\ne 0\)):

\begin{gather*} 1+\frac 2x=1;\\[6pt] \frac 2x=0. \end{gather*}

Дріб дорівнює нулю лише тоді, коли його чисельник дорівнює нулю. Але чисельник тут сталий \((2\ne 0).\)

Горизонтальна пряма \(y=1\) є горизонтальною асимптотою для цієї гіперболи, тому графіки ніколи не перетинаються. Тобто не мають жодної спільної точки.

Отже, 3 – A.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Б, 3 – А.

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами, тотожні перетворення логарифмічних, ірраціональних і степеневих виразів.

1. \(\ln \dfrac 1e=\ln e^{-1}=-1\cdot \ln e=-1.\)

Застосували формули:

\begin{gather*} \log_a b^n=n\cdot \log_a b;\\[7pt] \log_a a=1. \end{gather*}

Число \(-1\) належить проміжку \([-1; 0).\) Отже, правильна відповідь – Б.

2. \(e\approx 2{,}7.\)

\begin{gather*} e-5\lt 0;\\[7pt] |e-5|=-(e-5)=-e+5=\\[7pt] =5-e\approx 5-2{,}7\approx 2{,}3. \end{gather*}

Число \(2{,}3\) належить проміжку \((2; +\infty).\) Отже, правильна відповідь – Д.

3. \(e^0=1.\)

Число \(1\) належить проміжку \([1; 2).\) Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Д, 3 – Г.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей прямокутного трикутника, трапеції, уміння обчислювати площу трапеції.

Проведімо висоту \(CH\) з вершини \(C\) на основу \(AD\ (CH\!\perp\!AD).\)

Оскільки трапеція прямокутна \((\angle A=90^\circ)\), чотирикутник \(ABCH\) є прямокутником. Звідси маємо: \(CH=AB=12\) см (висота трапеції) і \(AH=BC.\)

Розгляньмо \(\Delta CHD\ (\angle H=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} CD^2=CH^2+HD^2;\\[7pt] 20^2=12^2+HD^2;\\[7pt] 400=144+HD^2;\\[7pt] HD^2=400-144=256;\\[7pt] HD=16\ \text{см}. \end{gather*}

За умовою \(BC:AD=3:5.\) Нехай \(BC=3x\), тоді \(AD=5x.\)

Оскільки \(AD=AH+HD\), а \(AH=BC=3x\), підставмо відомі значення:

\begin{gather*} 5x=3x+16;\\[7pt] 2x=16;\\[7pt] x=8\ \text{см}. \end{gather*}

Тепер визначмо довжини основ:

менша основа \(BC=3\cdot 8=24\) см;

більша основа \(AD=5\cdot 8=40\) см.

Площу трапеції обчислімо за формулою:

\begin{gather*} S=\frac{a+b}{2}\cdot h, \end{gather*}

де \(a\), \(b\) – основи, \(h\) – висота.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Лінійні й раціональні рівняння та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні й раціональні рівняння.

ОДЗ:

\begin{gather*} x+y\ne 0;\\[7pt] x\ne -y. \end{gather*}

Спростімо перше рівняння, скориставшись властивістю пропорції:

\begin{gather*} \frac ab=\frac cd\Rightarrow a\cdot d=b\cdot c;\\[6pt] x+y=3\cdot (-2);\\[7pt] x+y=-6. \end{gather*}

Розв’яжімо методом додавання систему:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x+y=-6,\\ 2x-y=-3. \end{array}\right.\\[7pt] x+y+2x-y=-6-3;\\[7pt] 3x=-9;\\[7pt] x=-3. \end{gather*}

Отже, \(x_0=-3.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати у просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати координати зображених на рисунку точки, вектора.

Точки \(K\) і \(N\) лежать на осі \(y.\) Це означає, що їхні координати за осями \(x\) і \(z\) дорівнюють нулю:

\begin{gather*} K(0; y_K; 0);\\[7pt] N(0; y_N; 0). \end{gather*}

Координати вектора \(\overrightarrow{KN}\), який з’єднує ці дві точки, обчислімо як різницю координат його кінця \((N)\) і початку \((K){:}\)

\begin{gather*} \overrightarrow{KN}(0-0; y_N-y_K; 0-0);\\[7pt] \overrightarrow{KN}(0; y_N-y_K; 0). \end{gather*}

У вектора, що лежить на осі \(y\), перша та третя координати мають дорівнювати нулю.

Вектор напрямлений від \(K\) до \(N\), тобто в додатному напрямку осі \(y.\) Це означає, що ордината y вектора має бути додатною \((y_N-y_K\gt 0).\)

Серед запропонованих варіантів лише вектор \((0; 9; 0)\) лежить на осі \(Oy\) і має додатний напрямок.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Похідна функції, її геометричний та фізичний зміст.

Завдання перевіряє знання таблиці похідних елементарних функцій, правила диференціювання суми й уміння розв'язувати задачі на використання фізичного змісту похідної.

Матеріальна точка рухається за законом:

\begin{gather*} x(t)=6t^2. \end{gather*}

Фізичний зміст похідної: швидкість \(v(t)\) прямолінійного руху матеріальної точки в момент часу \(t\) дорівнює похідній від функції координати \(x(t)\) за часом:

\begin{gather*} v(t)=x'(t). \end{gather*}

За таблицею похідних:

\begin{gather*} (x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1}.\\[7pt] v(t)=(6t^2)'=6\cdot 2t=12t. \end{gather*}

Отже, швидкість руху матеріальної точки в будь-який момент часу \(t\) визначають за формулою:

\begin{gather*} v(t)=12t. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

За умовою сканер працює \(5\) хвилин, а швидкість сканування наведено в сторінках за секунду. Тому спершу виразімо хвилини в секундах:

\begin{gather*} 1\ \text{хв}=60\ \text{с};\\[7pt] 5\ \text{хв}=5\cdot 60=300\ \text{с}. \end{gather*}

Сканер сканує \(1\) сторінку за \(6\) секунд.

Обчислімо кількість сторінок, які він зісканує за \(300\) секунд:

\begin{gather*} 300:6=50. \end{gather*}

Отже, за \(5\) хвилин сканер зісканує \(50\) сторінок.

Відповідь: B.

ТЕМА: Тригонометричні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} \sin \pi x=1;\\[6pt] \pi x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in Z;\\[6pt] x=\frac 12 +2n,\ n\in Z. \end{gather*}

Якщо \(n=0\), то \(x=\dfrac 12.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей прямокутника, зокрема властивостей чотирикутників, вписаних у коло.

I. Периметр прямокутника дорівнює сумі довжин його діагоналей.

З нерівності трикутника для половини прямокутника відомо, що сума двох сторін більша за третю сторону (діагональ): \(a+b\gt d\), відповідно \(2(a+b)\gt 2d.\) Твердження неправильне.

II. Сума квадратів усіх сторін прямокутника дорівнює сумі квадратів його діагоналей.

За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника, утвореного сторонами та діагоналлю:

\(a^2+b^2=d^2.\)

Помноживши обидві частини на \(2\), отримуємо:

\begin{gather*} 2(a^2+b^2)=2d^2;\\[7pt] 2a^2+2b^2=2d^2. \end{gather*}

Твердження правильне.

III. Діаметр кола, описаного навколо прямокутника, дорівнює діагоналі прямокутника.

Центр описаного кола лежить на перетині діагоналей, а самі діагоналі – діаметри цього кола \((D=d).\) Твердження правильне.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Степеневі вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей степенів і коренів, дій із ними.

Застосуймо властивості степенів:

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема конуса.

Конус – тіло обертання, утворене в результаті обертання прямокутного трикутника навколо його катета.

Катет, навколо якого обертають трикутник, – висота конуса. Катет, перпендикулярний до осі обертання, – радіус основи конуса. Гіпотенуза трикутника – твірна конуса.

Відповідь: Г.