ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Піраміда.

Завдання перевіряє знання властивостей піраміди та її елементів, розв’язування задач на трикутники.

Маємо правильну трикутну піраміду, тому основа – правильний трикутник, основа висоти – центр трикутника.

За умовою, бічна грань (наприклад, \(\Delta DBC\)) – рівносторонній трикутник зі стороною \(a=4\sqrt{6}\) см. Це означає, що всі ребра піраміди рівні. Сторона основи \(AB=BC=AC=a=4\sqrt{6}\) см. Бічне ребро \(DA=DB=DC=4\sqrt{6}\) см.

Оскільки піраміда правильна, її висота \(DO\) падає в центр основи – точку перетину медіан, бісектрис і висот трикутника \(ABC.\) Відрізок \(OB\) – радіус описаного кола \((R)\) навколо основи.

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta DOB\ (\angle DOB=90^\circ)\), \(DO\) – висота \((H)\) піраміди. За теоремою Піфагора:

Відповідь: \(8.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання перевіряє вміння використовувати перестановки та комбінаторні правила добутку для розв’язання комбінаторних задач.

Для розв'язання використаймо формулу переміщення \(n\) елементів:

\begin{gather*} P_n=n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \text{...}\cdot n. \end{gather*}

Розмістімо седани. Маємо \(2\) седани на \(2\) фіксовані місця (попереду і позаду). Кількість способів їх розставити – це кількість перестановок із \(2\) елементів, обчислімо за формулою:

\begin{gather*} P_2=2!=1\cdot 2=2. \end{gather*}

Розмістімо джипи. Маємо \(3\) джипи на \(3\) місця в центрі колони. Кількість способів їх розставити – це кількість перестановок із \(3\) елементів:

\begin{gather*} P_3=3!=1\cdot 2\cdot 3=6. \end{gather*}

Оскільки вибір седанів і вибір джипів – це незалежні події, які мають відбутися одночасно, використаймо правило добутку:

\begin{gather*} N=P_2\cdot P_3=2\cdot 6=12. \end{gather*}

Існує \(12\) варіантів сформувати таку колону.

Правило добутку: якщо об’єкт \(A\) можна вибрати \(n\) способами, а об’єкт \(B\) – \(m\) способами, то пару \(A\) і \(B\) можна вибрати \(n\cdot m\) способами.

Відповідь: \(12.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання перевіряє вміння обчислювати похідну суми, значення похідної функції в точці для заданого значення аргумента, кутового коефіцієнта дотичної.

За геометричним змістом похідної \(f'(x_0)=k.\)

Похідна функції в точці – це кутовий коефіцієнт дотичної до графіка в точці \(x_0.\)

\begin{gather*} f(x)=20-3x-x^2. \end{gather*}

Визначмо похідну \(f'(x)\), застосувавши основні правила диференціювання й табличні значення:

\begin{gather*} C,\ \alpha - \text{сталі};\\[7pt] (C)'=0;\\[7pt] (x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}.\\[7pt] f'(x)=(20)'-(3x)'-(x^2)';\\[7pt] f'(x)=0-3-2x=-3-2x;\\[7pt] k=f'(-6)=-3-2\cdot (-6);\\[7pt] k=-3+12=9. \end{gather*}

Відповідь: \(9.\)

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей прямокутників, паралелограмів, трапеції, прямокутних трикутників.

1. Довжина діагоналі прямокутника \(ABCD.\)

Діагональ \(BD\) розбиває прямокутник \(ABCD\) на два рівні прямокутні трикутники. За теоремою Піфагора для \(\Delta ABD\ (\angle A=90^\circ){:}\)

Отже, 1 – B.

2. Відстань від точки \(K\) до прямої \(AN.\) Це довжина перпендикуляра, опущеного з точки на пряму.

Оскільки точки \(K\), \(C\) та \(D\) лежать на одній прямій (за умовою), а пряма \(CD\) перпендикулярна до \(AN\) (бо це сторона прямокутника), то шукана відстань – довжина відрізка \(KD.\)

\begin{gather*} KD=KC+CD. \end{gather*}

У прямокутнику \(ABCD\):
\(AB=CD=5\) см і \(AD=BC=12\) см.

Оскільки \(ABCD\) – прямокутник, кут \(\angle BCD=90^\circ\), а отже і суміжний із ним \(\angle BCK=90^\circ.\) За теоремою Піфагора для трикутника \(\Delta CBK{:}\)

Отже, 2 – Б.

3. Висота трапеції – це відстань між її основами \(DC\) та \(MN.\)

\(DCMN\) – трапеція \(\Rightarrow\ CD\!\parallel\!MN.\) За умовою \(K\), \(C\), \(D\) лежать на одній прямій, яка перпендикулярна до прямої \(AN.\) Оскільки \(DC\) лежить на цій прямій, то основи трапеції перпендикулярні до прямої \(AN\ (DC\!\perp\!DN\), \(MN\!\perp\!DN).\)

\(ABCD\) – прямокутник \(\Rightarrow\ BC\!\parallel\!AD\), \(AB\!\parallel\!CD\), \(AB=CD=5\) см, \(BC=AD=12\) см. Усі кути \(90^\circ.\)

\(BKMC\) – паралелограм \(\Rightarrow BK\!\parallel\!MC\), \(BC\!\parallel\!KM\), \(BK=MC=15\) см, \(BC=KM=12\) см.

Розгляньмо чотирикутник \(DKMN{:}\) \(CK\!\parallel\!MN\), \(KM\!\parallel\!DN\), \(KC\!\perp\!DN.\)

Чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні, а один кут прямий, – прямокутник. Тобто \(DKMN\) – прямокутник.

\begin{gather*} DN=KM=12\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

1. Функція \(y=x\) і пряма \(y=x+3.\)

Обидві функції лінійні. Їхні кутові коефіцієнти (число перед \(x\)) однакові: \(k_1=1\) та \(k_2=1.\) Якщо кутові коефіцієнти рівні, а вільні члени різні \((0\ne 3)\), то прямі паралельні. Паралельні прямі не мають спільних точок.

Отже, правильна відповідь – A.

2. Функція \(y=2^{-x}\) або \(y=\dfrac{1}{2^x}\) – це спадна показникова функція, яка набуває лише додатних значень. Пряма \(y=x+3\) є функцією, що зростає.

Оскільки одна функція монотонно зростає, а інша монотонно спадає на всій області визначення, вони можуть мати не більш як одну спільну точку.

Отже, правильна відповідь – Б.

3. Графік функції \(y=\dfrac 1x\) – гіпербола, гілки якої розташовані в I та III чвертях. Вона нескінченно наближається до осей \(Ox\) та \(Oy\), але ніколи їх не перетинає.

Пряма \(y=x+3\) перетинає обидві гілки гіперболи.

Отже, правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – A, 2 – Б, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних, ірраціональних виразів, знання модуля числа та його властивостей.

1. Оскільки \(1\lt \sqrt{5}\), то \(1-\sqrt{5}\lt 0.\)

За означенням модуля:

Отже, правильна відповідь – Б.

2. Оскільки \(10=2\cdot 5=2\cdot (\sqrt{5})^2.\) Винесімо спільний множник у чисельнику:

Отже, правильна відповідь – B.

3. Оскільки \(\sqrt{5}=5^{\textstyle \frac 12}.\)

Скористаймося властивостями логарифма:

\begin{gather*} \log_a b^n=n\cdot\log_a b;\\[7pt] \log_a a=1;\\[7pt] \log_{\textstyle \sqrt{5}} 5=\log_{\textstyle 5^{\frac 12}} 5=\frac{1}{\frac 12}\cdot \log_5 5=2. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – B, 3 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ \frac x2=-1.\\[6pt] \frac x2=\mathrm{arctg}\ (-1)+\pi n,\ n\in Z;\\[6pt] \frac x2=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in Z;\\[6pt] x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n, n\in Z. \end{gather*}

Якщо \(n=0\), то \(x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi\cdot 0=-\dfrac{\pi}{2}.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами.

Сумою векторів \(\vec a(x_1; y_1; z_1)\) i \(\vec b(x_2; y_2; z_2)\) є вектор \(\vec c=\vec a+\vec b{:}\)

\begin{gather*} \vec c(x_1+x_2; y_1+y_2; z_1+z_2). \end{gather*}

Щоб визначити координати суми векторів, треба додати їхні відповідні координати (першу до першої, другу до другої, третю до третьої).

\begin{gather*} \vec c(2+(-7); -2+(-3); 3+4);\\[7pt] \vec c(-5; -5; 7). \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання означення арифметичної прогресії, формули її \(n\text{-го}\) члена.

Арифметичну прогресію задано \(a_n=18-1{,}5n.\)

Підставмо значення \(-30\) у формулу замість \(a_n{:}\)

\begin{gather*} -30=18-1{,}5n;\\[7pt] 1{,}5n=18+30;\\[7pt] 1{,}5n=48;\\[7pt] n=48:1{,}5;\\[7pt] n=480:15;\\[7pt] n=32. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні нерівності, знання властивостей логарифмічної функції.

\begin{gather*} \log_3 (2x-1)\lt 2;\\[7pt] \log_3 (2x-1)\lt 2\log_3 3;\\[7pt] \log_3 (2x-1)\lt \log_3 3^2;\\[7pt] \log_3(2x-1)\lt \log_3 9. \end{gather*}

Оскільки основа логарифма \(3\gt 1\), функція зростає, тому знак нерівності для підлогарифмічних виразів не змінюється, а задана нерівність рівносильна нерівності:

\begin{gather*} 2x-1\lt 9;\\[7pt] 2x\lt 9+1;\\[7pt] 2x\lt 10;\\[7pt] x\lt 5. \end{gather*}

Визначмо ОДЗ. Вираз під знаком логарифма обов'язково має бути додатним:

\begin{gather*} 2x-1\gt 0;\\[7pt] 2x\gt 1;\\[7pt] x\gt 0{,}5. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in (0{,}5; 5). \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба та прямокутного трикутника.

1 спосіб.

Діагоналі ромба – бісектриси його кутів. Сума сусідніх кутів ромба дорівнює \(180^\circ.\) Якщо кут ромба \(\angle C=2\beta\), то інший \(\angle B=180^\circ-2\beta.\)

За формулою зведення \(\sin(180^\circ-\alpha)=\sin \alpha.\) Тобто:

\begin{gather*} \sin \angle B=\sin(180^\circ-2\beta)=\sin 2\beta. \end{gather*}

Висота ромба дорівнює діаметру вписаного кола \(CH=d=2r.\) Отже:

\begin{gather*} r=\frac{CH}{2}. \end{gather*}

Розгляньмо прямокутний трикутник \(CHB{:}\) \(\angle H=90^\circ\), \(BC=a.\)

\begin{gather*} \sin \angle B=\frac{CH}{CB};\\[6pt] CH=CB\cdot \sin \angle B;\\[7pt] CH=a\sin 2\beta. \end{gather*}

Оскільки радіус вписаного кола – це половина висоти ромба, маємо кінцеву формулу:

\begin{gather*} r=\frac{a\sin 2\beta}{2}. \end{gather*}

2 спосіб.

У ромбі діагональ ділить кут навпіл, тож якщо гострий кут ромба дорівнює \(\alpha\), то

\begin{gather*} \beta=\frac{\alpha}{2}. \end{gather*}

Площа ромба:

\begin{gather*} S=a^2\sin \alpha. \end{gather*}

Для будь-якого ромба існує вписане коло, до того ж

\begin{gather*} S=r\cdot p, \end{gather*}

де \(r\) – радіус вписаного кола, \(p\) – півпериметр.

Оскільки

\begin{gather*} p=2a, \end{gather*}

то

\begin{gather*} r=\frac Sp=\frac{a^2\sin\alpha}{2a}=\frac{a\sin\alpha}{2}. \end{gather*}

Підставмо \(\alpha=2\beta{:}\)

\begin{gather*} r=\frac{a\sin 2\beta}{2}. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання означення степеня з натуральним показником, його властивостей.

\begin{gather*} \frac{2x^2y}{8xy^5}=\frac{2\cdot x^2\cdot y}{8\cdot x\cdot y^5}=\frac{x}{4y^4}. \end{gather*}

Використали властивість степеня з натуральним показником:

\begin{gather*} \frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники та їхні елементи.

Завдання перевіряє розуміння означення та ключових властивостей середньої лінії трикутника.

I. \(AC\!\parallel\!MN\) – твердження правильне.

За означенням, відрізок, що сполучає середини двох сторін трикутника, – його середня лінія. Середня лінія трикутника завжди паралельна третій стороні: \(MN\!\parallel\!AC.\)

II. Відрізок \(MN\) – середня лінія трикутника \(ABC\) – твердження правильне.

Це випливає безпосередньо з того, що \(M\) і \(N\) – середини сторін \(AB\) та \(BC.\)

III. Площа трикутника \(MBN\) і чотирикутника \(AMNC\) рівні – твердження неправильне.

Трикутник \(MBN\) подібний до трикутника \(ABC\) \((\Delta MBN\sim \Delta ABC)\) за двома сторонами й кутом між ними. Коефіцієнт подібності \(k=\dfrac 12\) (оскільки \(MB=\dfrac 12 AB\)). Площі подібних трикутників відносяться як квадрат коефіцієнта подібності \((k^2){:}\)

Площа чотирикутника \(AMNC\) втричі більша за площу трикутника \(MBN.\) Твердження про їхню рівність хибне.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Логарифмічні вирази та їх перетворення.

Завдання перевіряє знання означення та властивостей логарифма, модуля числа.

Логарифмічна функція \(y=\lg x\) зростає, оскільки основа \(10\gt 1.\) Тому, якщо \(5\lt 9\), то \(\lg 5\lt \lg 9.\)

Звідси випливає, що вираз під знаком модуля від’ємний:

\begin{gather*} \lg 5-\lg 9\lt 0. \end{gather*}

За означенням, якщо \(a\lt 0\), то \(|a|=-a.\) Отже:

Використаймо формулу різниці логарифмів:

\begin{gather*} \lg b-\lg a=\lg\frac ba;\\[6pt] \lg 9-\lg 5=\lg\frac 95. \end{gather*}

Відповідь: A.