Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати за розгорткою поверхні вид геометричного тіла.

1. Квадрат обертається навколо сторони – отримаємо циліндр. Отже, 1 – А.

2. Квадрат обертається навколо діагоналі – отримаємо два конуси зі спільною основою. Отже, 2 – Г.

3. Прямокутна трапеція обертається навколо бічної сторони – отримаємо зрізаний конус. Отже, 3 – В.

4. Прямокутна трапеція обертається навколо більшої основи трапеції – отримаємо циліндр і конус зі спільною основою. Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – А, 2 – Г, 3 – В, 4 – Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції.

Це завдання перевіряє знання основних властивостей і графіків функцій, уміння будувати графіки елементарних функцій, встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1. Правильна відповідь – А.

2. Правильна відповідь – В.

3. Правильна відповідь – Г.

4. Правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – A, 2 – B, 3 – Г, 4 – Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики. Початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати графічну, табличну, текстову та інші форми подання статистичної інформації.

У таблиці наведено шкали температури повітря. З неї зрозуміло, що найнижча температура була о \(6\text{-й}\) год, а найвища – о \(15\text{-й}\) год. Цій умові відповідають лише графіки A та Д.

Порівнюючи ці графіки, знаходимо, що даним таблиці задовольняє графік Д.

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє знання формул для обчислення об'ємів многогранників і тіл обертання.

1. Об'єм циліндра знаходимо за формулою $$ V_\text{ц}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2H, $$ де \(R=\frac a2\) – радіус основи, \(H=a.\)

Отже, 1 – B.

2. Об'єм конуса знаходимо за формулою $$ V_\text{к}=\frac 13\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2H, $$ де\(R=\frac a2\) – радіус основи, \(H=a.\)

$$ V_\text{к}=\frac 13\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\left(\frac a2\right)^2\cdot a=\frac{1}{12}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}a^3. $$

Отже, 2 – Б.

3. Об'єм кулі знаходимо за формулою $$ V_\text{кулі}=\frac 43\cdot \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^3, $$ де \(R=\frac a2.\)

$$ V_\text{кулі}=\frac 43\cdot \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\frac{a^3}{8}=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}a^3}{6}=\frac 16\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}a^3. $$

Отже, 3 – A.

4. Об'єм призми знаходимо за формулою $$ V_\text{пр}=S_\text{осн}\cdot H, $$ де $$ S_\text{осн}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} $$ (основа – правильний трикутник зі стороною \(a\)), \(H=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}a}{2}.\)

Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – А, 4 – Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком, використовувати перетворення графіків функцій.

Є два види перетворення:

1. Паралельне перенесення вздовж осі ординат: $$ y=f(x)\rightarrow y=f(x)+c. $$

Для побудови графіка функції \(y=f(x)+c\) необхідно графік функції \(y=f(x)\) перенести вздовж осі \(Oy\) на \(c\) одиниць угору, якщо \(c\) – додатне число або на \(c\) одиниць вниз, якщо \(c\) – від’ємне число.

 

2. Паралельне перенесення вздовж осі абсцис: $$ y=f(x)\rightarrow y=f(x-a). $$

 

Для побудови графіка функції \(y=f(x-a)\) необхідно графік функції \(y=f(x)\) перенести вздовж осі \(Ox\) на \(a\) одиниць вправо, якщо \(a\) – додатне число і на \(a\) одиниць вліво, якщо \(a\) – від’ємне число.

 

Застосувавши властивості паралельного перенесення до функції \(y=f(x)\), при перенесенні вліво на \(1\) одиницю отримаємо графік функції \(y=f(x+1).\)

 

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє вміння знаходити область визначення, область значень функції, встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

1. Функція спадає на проміжку \([-2; 2].\) Отже, 1 – Г.

2. Графік функції є фрагментом графіка функції \(y=x^2-1.\) Отже, 2 – Б.

3. Множиною значень функції є проміжок \([-1; 2].\) Отже, 3 – В.

4. Функція зростає на проміжку \([-2; 2].\) Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – В, 4 – Д.

Пояснення

ТЕМА: Функції. Степенева функція.

Це завдання перевіряє знання графіка степеневої функції, вміння будувати графіки елементарних функцій, використовувати перетворення графіків функцій.

Графік функції \(y=x^3-1\) можна отримати елементарним перетворенням графіка функції \(y=x^3\): паралельним перенесенням вниз на \(1\) одиничний відрізок.

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Планіметрія. Чотирикутники. Геометричні величини та їх вимірювання.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограмів, уміння застосовувати властивості різних видів чотирикутників до розв'язування планіметричних задач, використовувати формули площ паралелограмів.

1.

Отже, 1 – Д.

2.

\begin{gather*} r=\frac a2,\\[6pt] a=2r=2\cdot 2=4\ \textit{см},\\[7pt] S=a^2=4^2=16. \end{gather*} Отже, 2 – Б.

3.

\(\Delta ABE\ (\angle E=90^\circ)\) – єгипетський \(BE=3\) см.

Отже, 3 – B.

4.

Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Б, 3 – В, 4 – Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати ознаки та властивості паралельних прямих і площин, знання перерізів многогранників.

1. \(BC\ ||\ AD\), \(AD\in (AB_1C_1)\rightarrow BC\ ||\ (AB_1C_1).\) Отже, 1 – A.

2. \(D_1C\ ||\ A_1B\), \(D_1C\in (DD_1C)\rightarrow A_1B\ ||\ (DD_1C_1).\) Отже, 2 – B.

3. \(AA_1\ ||\ DD_1\), \(AA_1\in (AA_1C_1)\rightarrow DD_1\ ||\ (AA_1C_1).\) Отже, 3 – Д.

4. \(BD\ || B_1D_1\), \(B_1D_1\in (AB_1D_1)\rightarrow BD\ ||\ (AB_1D).\) Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – А, 2 – В, 3 – Д, 4 – Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Розв’язування раціональних рівнянь.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати раціональні рівняння, та їх системи з параметрами.

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} y+(x-1)^2=5a,\\ x^2-2x+y^2+8y=47, \end{array} \right.\ \ \left\{ \begin{array}{l} (x-1)^2+y=5a,\\ (x^2-2x+1)+(y^2+8y+16)=64, \end{array} \right.\\[7pt] \left\{ \begin{array}{l} y=-(x-1)^2+5a,\\ (x-1)^2+(y+4)^2=64. \end{array} \right. \end{gather*}

Розв'яжемо систему графічним способом.

\((x-1)^2+(y+4)^2=64\) – рівняння кола з центром \((1; -4)\) і радіусом \(8.\)

\(y=-(x-1)^2+5a\) – квадратична функція з вершиною в точці \((1; 5a)\) з вітками вниз.

Для того, щоб система мала єдиний розв'язок, треба, щоб графіки мали одну спільну точку.

Отже,

\begin{gather*} 5a=-12,\\[7pt] a=-12:5=-2\mathord{,}4. \end{gather*}

Відповідь: \(-2\mathord{,}4.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей піраміди та конуса, вміння розв’язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.

Твірна консуса \(AB\) й бічне ребро \(CF\) дорівнюють по \(25\) см. Апофема \(FK=OB.\)

Площа бічної поверхні конуса $$ S_\text{б}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}RL, $$ де \(R=OB\), \(L=AB.\)

\begin{gather*} \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\cdot OB\cdot 25=500\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi},\\[7pt] OB=20\ \textit{см}. \end{gather*}

У піраміді \(CF=FD=FE=25.\) \(\Delta FKD\ (\angle K=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} FD^2=FK^2+KD^2,\\[7pt] KD^2=25^2-20^2=625-400=225,\\[7pt] KD=15\ \textit{см},\\[7pt] DE=2KD=30\ \textit{см}. \end{gather*}

Площа бічної поверхні піраміди $$ S_\text{б}=\frac 12P_\text{осн}\cdot m, $$ де \(P_\text{осн}=3\cdot ED=90\ \textit{см}\), \(m=FK=20\ \textit{см}.\) $$ S_\text{б}=\frac 12\cdot 90\cdot 20=900\ \textit{см}^2. $$

Відповідь: \(900.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Ймовірність випадкової події.

Завдання скеровано на перевірку вміння обчислювати ймовірність випадкових подій, знання класичного означення ймовірної події.

У салоні \(n\) рядів, у кожному з яких розташовано \(6\) крісел. Отже, всього в салоні \(6n\) місць.

У перших трьох рядах розташовано \(18\) місць.

Імовірність того, що пасажиру дістанеться таке місце, $$ P=\frac{18}{6n}=\frac 3n. $$

За умовою ця імовірність дорівнює \(\frac{1}{14}.\)

\begin{gather*} \frac 3n=\frac{1}{14},\\[6pt] n=42. \end{gather*}

Відповідь: \(42.\)