Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком, використовувати перетворення графіків функцій.

Є два види перетворення:

1. Паралельне перенесення вздовж осі ординат: $$ y=f(x)\rightarrow y=f(x)+c. $$

Для побудови графіка функції \(y=f(x)+c\) необхідно графік функції \(y=f(x)\) перенести вздовж осі \(Oy\) на \(c\) одиниць угору, якщо \(c\) – додатне число або на \(c\) одиниць вниз, якщо \(c\) – від’ємне число.

 

2. Паралельне перенесення вздовж осі абсцис: $$ y=f(x)\rightarrow y=f(x-a). $$

 

Для побудови графіка функції \(y=f(x-a)\) необхідно графік функції \(y=f(x)\) перенести вздовж осі \(Ox\) на \(a\) одиниць вправо, якщо \(a\) – додатне число і на \(a\) одиниць вліво, якщо \(a\) – від’ємне число.

 

Застосувавши властивості паралельного перенесення до функції \(y=f(x)\), при перенесенні вліво на \(1\) одиницю отримаємо графік функції \(y=f(x+1).\)

 

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє вміння знаходити область визначення, область значень функції, встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

1. Функція спадає на проміжку \([-2; 2].\) Отже, 1 – Г.

2. Графік функції є фрагментом графіка функції \(y=x^2-1.\) Отже, 2 – Б.

3. Множиною значень функції є проміжок \([-1; 2].\) Отже, 3 – В.

4. Функція зростає на проміжку \([-2; 2].\) Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – В, 4 – Д.

Пояснення

ТЕМА: Функції. Степенева функція.

Це завдання перевіряє знання графіка степеневої функції, вміння будувати графіки елементарних функцій, використовувати перетворення графіків функцій.

Графік функції \(y=x^3-1\) можна отримати елементарним перетворенням графіка функції \(y=x^3\): паралельним перенесенням вниз на \(1\) одиничний відрізок.

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Планіметрія. Чотирикутники. Геометричні величини та їх вимірювання.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограмів, уміння застосовувати властивості різних видів чотирикутників до розв'язування планіметричних задач, використовувати формули площ паралелограмів.

1.

Отже, 1 – Д.

2.

\begin{gather*} r=\frac a2,\\[6pt] a=2r=2\cdot 2=4\ \textit{см},\\[7pt] S=a^2=4^2=16. \end{gather*} Отже, 2 – Б.

3.

\(\Delta ABE\ (\angle E=90^\circ)\) – єгипетський \(BE=3\) см.

Отже, 3 – B.

4.

Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Б, 3 – В, 4 – Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати ознаки та властивості паралельних прямих і площин, знання перерізів многогранників.

1. \(BC\ ||\ AD\), \(AD\in (AB_1C_1)\rightarrow BC\ ||\ (AB_1C_1).\) Отже, 1 – A.

2. \(D_1C\ ||\ A_1B\), \(D_1C\in (DD_1C)\rightarrow A_1B\ ||\ (DD_1C_1).\) Отже, 2 – B.

3. \(AA_1\ ||\ DD_1\), \(AA_1\in (AA_1C_1)\rightarrow DD_1\ ||\ (AA_1C_1).\) Отже, 3 – Д.

4. \(BD\ || B_1D_1\), \(B_1D_1\in (AB_1D_1)\rightarrow BD\ ||\ (AB_1D).\) Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – А, 2 – В, 3 – Д, 4 – Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Розв’язування раціональних рівнянь.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати раціональні рівняння, та їх системи з параметрами.

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} y+(x-1)^2=5a,\\ x^2-2x+y^2+8y=47, \end{array} \right.\ \ \left\{ \begin{array}{l} (x-1)^2+y=5a,\\ (x^2-2x+1)+(y^2+8y+16)=64, \end{array} \right.\\[7pt] \left\{ \begin{array}{l} y=-(x-1)^2+5a,\\ (x-1)^2+(y+4)^2=64. \end{array} \right. \end{gather*}

Розв'яжемо систему графічним способом.

\((x-1)^2+(y+4)^2=64\) – рівняння кола з центром \((1; -4)\) і радіусом \(8.\)

\(y=-(x-1)^2+5a\) – квадратична функція з вершиною в точці \((1; 5a)\) з вітками вниз.

Для того, щоб система мала єдиний розв'язок, треба, щоб графіки мали одну спільну точку.

Отже,

\begin{gather*} 5a=-12,\\[7pt] a=-12:5=-2\mathord{,}4. \end{gather*}

Відповідь: \(-2\mathord{,}4.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей піраміди та конуса, вміння розв’язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.

Твірна консуса \(AB\) й бічне ребро \(CF\) дорівнюють по \(25\) см. Апофема \(FK=OB.\)

Площа бічної поверхні конуса $$ S_\text{б}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}RL, $$ де \(R=OB\), \(L=AB.\)

\begin{gather*} \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\cdot OB\cdot 25=500\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi},\\[7pt] OB=20\ \textit{см}. \end{gather*}

У піраміді \(CF=FD=FE=25.\) \(\Delta FKD\ (\angle K=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} FD^2=FK^2+KD^2,\\[7pt] KD^2=25^2-20^2=625-400=225,\\[7pt] KD=15\ \textit{см},\\[7pt] DE=2KD=30\ \textit{см}. \end{gather*}

Площа бічної поверхні піраміди $$ S_\text{б}=\frac 12P_\text{осн}\cdot m, $$ де \(P_\text{осн}=3\cdot ED=90\ \textit{см}\), \(m=FK=20\ \textit{см}.\) $$ S_\text{б}=\frac 12\cdot 90\cdot 20=900\ \textit{см}^2. $$

Відповідь: \(900.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Ймовірність випадкової події.

Завдання скеровано на перевірку вміння обчислювати ймовірність випадкових подій, знання класичного означення ймовірної події.

У салоні \(n\) рядів, у кожному з яких розташовано \(6\) крісел. Отже, всього в салоні \(6n\) місць.

У перших трьох рядах розташовано \(18\) місць.

Імовірність того, що пасажиру дістанеться таке місце, $$ P=\frac{18}{6n}=\frac 3n. $$

За умовою ця імовірність дорівнює \(\frac{1}{14}.\)

\begin{gather*} \frac 3n=\frac{1}{14},\\[6pt] n=42. \end{gather*}

Відповідь: \(42.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості числових функцій.

Функція \(f(x)\) – парна, тому \(f(-x)=f(x).\)

Функція \(g(x)\) – непарна, тому \(g(-x)=-g(x).\)

Відповідь: \(2\mathord{,}8.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості трапеції та квадрата, розв’язування трикутників.

\(NP\ ||\ BC\)

1 – В. Точка \(M\) – середина \(AK.\) За теоремою Фалеса: \(NM\ ||\ BC\) і \(AN=NB.\)

У \(\Delta ABK\ NM\) – середня лінія. \(BK=2NM=12\) см.

\(BC=BK+KC=12+4=16\) см. \(AB=BC=16\) см.

2 – A.

У трапеції \(AKCD\ MP\) – середня лінія.

За властивістю середньої лінії: $$ MP=\frac{KC+AD}{2}=\frac{4+16}{2}=10. $$

3 – Г. \(\Delta ABK\ (\angle B=90^\circ)\), \(AB=16\), \(BK=12.\)

За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AK^2=AB^2+BK^2=16^2+12^2=256+144=400,\\[7pt] AK=20. \end{gather*}

Відповідь: 1В, 2А, 3Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних, логарифмічних та степеневих виразів.

1. \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}^0=\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^0=1\in (0; 1].\)

Отже, правильна відповідь – B.

2. \((\sqrt{5}-1)\cdot \frac{\sqrt{5}+1}{2}=\frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}{2}=\frac{5-1}{2}=2\in (1; 2].\)

Отже, правильна відповідь – Г.

3.

\begin{gather*} \log_{\frac 15}(2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}-1)=\log_{\frac 15}\left(2\cdot \frac{\sqrt{5}+1}{2}-1\right)=\\[6pt] =\log_{\frac 15}(\sqrt{5}+1-1)=\log_{\frac 15}\sqrt{5}=\log_{5^{-1}}5^{\frac 12}=\\[6pt] =-1\cdot \frac 12\cdot \log_55=-\frac 12\cdot 1=-0\mathord{,}5\in (-1; 0]. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

При спрощенні виразу застосовували формули:

\begin{gather*} \log_ab^n=n\cdot \log_ab,\\[6pt] \log_{a^k}b=\frac 1k\log_ab,\\[6pt] \log_aa=1. \end{gather*}

Відповідь: 1В, 2Г, 3Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння будувати графіки функцій, знання властивостей лінійної функцій.

1.\(y=-2x\) проходить через початок координат.

Отже, 1 – Г.

2.\(y=2x+2\), \(k=2.\) Лінійна функція \(y=kx+b.\) При \(k\gt 0\) пряма утворює гострий кут із додатним напрямком осі \(x.\)

Отже, 2 – А.

3. \(y=-2x+4\) пряма симетрична прямій \(y=2x+4\) відносно осі \(y.\)

Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1Г, 2А, 3Б.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості прямокутника та прямокутного трикутника.

\(\angle ABC=90^\circ\), \(\angle ABK=30^\circ.\) Отже, \(\angle KBC=60^\circ.\)

У \(\Delta BKC\ (\angle K=90^\circ)\ \angle C=30^\circ.\)

У прямокутнику \(ABCD\ BC\ ||\ AD\), січна \(CK.\) \(\angle BCK=\angle CKD=30^\circ\) як внутрішні різносторонні.

\(\Delta CKD\ (\angle D=90^\circ)\) $$ CD=\frac 12CK=\frac 12\cdot 6\sqrt{3}=3\sqrt{3}. $$

\(\Delta BKC\ (\angle K=90^\circ)\) $$ BC=\frac{CK}{\cos C}=\frac{6\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=12. $$

$$ P_{ABCD}=2(BC+CD)=2(12+3\sqrt{3})=24+6\sqrt{3}. $$

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу Логарифмічні нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні нерівності, знання властивостей логарифмічної функції.

\begin{gather*} \log_3(1-2x)\lt 2,\\[7pt] \log_3(1-2x)\lt \log_39. \end{gather*}

Функція \(y=\log_3x\) є зростаючою, тому \(1-2x\lt 9.\) Логарифмічна функція має область визначення \(1-2x\gt 9.\)

Отже, розв'язком нерівності буде розв'язок системи:

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} 1-2x\lt 9,\\ 1-2x\gt 0, \end{array} \right.\ \ \left\{ \begin{array}{l} 2x\gt -8,\\ 2x\lt 1, \end{array} \right.\ \ \left\{ \begin{array}{l} x\gt -4,\\ x\lt \frac 12. \end{array} \right. \end{gather*}

Відповідь: Б.