ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло. Трикутники.

Завдання перевіряє знання про вписані кути в колі й уміння застосовувати властивості рівнобедреного трикутника.

За умовою \(AB=BC\), тож трикутник \(\Delta ABC\) – рівнобедрений. Кути при основі рівнобедреного трикутника рівні: \(\angle BAC=\angle BCA.\)

Сума кутів трикутника – \(180^\circ.\) Отже,

\begin{gather*} \angle BCA=\frac{180^\circ-30^\circ}{2}=75^\circ. \end{gather*}

Вписаний кут дорівнює половині градусної міри дуги, на яку він спирається.

Оскільки \(\angle BCA=75^\circ\) і він спирається на дугу \(\overset{\smile}{AB}\), то сама дуга вдвічі більша:

\begin{gather*} \overset{\smile}{AB}=75^\circ \cdot 2=150^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Логарифмічні вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей логарифмів, уміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

Застосуймо властивість степенів

\begin{gather*} (a^x)^y=a^{x\cdot y} \end{gather*}

і властивості логарифмів:

\begin{gather*} a\gt 0,\ a\ne 1,\ b\gt 0;\\[7pt] a^{\log_a b}=b;\\[7pt] \log_a b^n=n\log_a b;\\[7pt] \log_{10} a=\lg a. \end{gather*}

Оскільки \(100=10^2\), маємо:

Відповідь: B.

ТЕМА: Первісна та визначений інтеграл.

Завдання перевіряє знання таблиці первісних та вміння застосовувати правила визначення первісних у точці.

Визначмо загальний вигляд первісної:

Первісну, яка проходить через точку \(M(0; 1)\), дізнаймося підставивши координати точки \(x=0\), \(F(0)=1\) у формулу загального вигляду первісної, щоб обчислити значення сталої \(C{:}\)

\begin{gather*} \frac 32\cdot 0^2+0+C=1;\\[6pt] C=1. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} F(x)=\frac 32 x^2+x+1. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

\begin{gather*} \left(\frac 13\right)^{2x-1}=9. \end{gather*}

Використаймо властивість степенів:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \text{для}\ a\ne 0,\ n\in N. \end{gather*}

Зведімо все до однієї основи:

\begin{gather*} 9=3^2=\left(\frac 13\right)^{-2};\\[6pt] \left(\frac 13\right)^{2x-1}=\left(\frac 13\right)^{-2}. \end{gather*}

Оскільки основи в обох частинах рівняння однакові (і в лівій, і в правій частині основа \(\dfrac 13\)), прирівняймо їхні показники степеня:

\begin{gather*} 2x-1=-2;\\[7pt] 2x=-2+1;\\[7pt] 2x=-1;\\[6pt] x=-\frac 12. \end{gather*}

Корінь рівняння \(-\dfrac 12\in (-2; 0].\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Для скорочення дробу розкладімо знаменник на множники й винесімо спільний множник за дужки:

Розв'язуючи завдання, застосували формулу різниці квадратів:

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння пов’язувати аналітичні властивості функції з її геометричним представленням на координатній площині.

Оскільки за умовою значення \(y\) завжди додатні, графік функції може перебувати лише там, де \(y\gt 0.\) Це верхня частина координатної площини (над віссю \(Ox\)).

Функція визначена на \(x\in (-\infty; 0)\), тому її графік обов'язково буде в тій ділянці, де \(x\lt 0\) (це II чверть).

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі.

Якщо за \(t\) ручок заплатили \(x\) гривень, то одна ручка коштує \(\dfrac xt\) грн.

Обчислімо загальну вартість ручок, помноживши ціну ручки на кількість ручок \(m{:}\)

\begin{gather*} \frac xt\cdot m=\frac{mx}{t}\ \text{грн}. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей прямокутних, рівносторонніх і гострокутних трикутників.

I. У прямокутному трикутнику найбільший кут дорівнює половині розгорнутого кута.

Розгорнутий кут дорівнює \(180^\circ.\) Його половина – \(180^\circ :2=90^\circ.\) Найбільшим кутом у прямокутному трикутнику є саме прямий кут \((90^\circ).\) Твердження правильне.

II. У рівносторонньому трикутнику сума градусних мір двох кутів дорівнює \(120^\circ.\)

Усі кути рівностороннього трикутника рівні й становлять \(60^\circ.\) Сума будь-яких двох із них: \(60^\circ+60^\circ=120^\circ.\) Твердження правильне.

III. Існує гострокутний трикутник, у якого всі гострі кути більші за \(60^\circ.\)

Якщо кожен із трьох кутів трикутника буде більшим за \(60^\circ\) (тобто \(\alpha \gt 60^\circ\), \(\beta \gt 60^\circ\), \(\gamma \gt 60^\circ\)), то їхня сума перевищить \(180^\circ.\) Це суперечить теоремі про суму кутів трикутника. Твердження неправильне.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Нерівність з однією змінною.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати нерівності.

Помножмо обидві частини нерівності на \(3{:}\)

\begin{gather*} x\in [-18; +\infty). \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема кулі.

Кулю утворено обертанням круга навколо хорди, що є його діаметром.

Відповідь: А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє знання властивостей коренів і вміння виконувати дії з ірраціональними числами.

Оскільки \(25=5^2\), \(\sqrt[\scriptstyle 4]{25}=\sqrt[\scriptstyle 4]{5^2}=\sqrt{5}.\)

Застосували властивості коренів:

\begin{gather*} \sqrt[\scriptstyle nk]{a^{mk}}=\sqrt[\scriptstyle n]{a^m};\\[7pt] \sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми відображення статистичних даних.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, наведену на діаграмі.

Відношення кількості кленів до кількості ялин: \(3:1.\)

Це означає, що на \(3\) клени припадає \(1\) ялина.

Усього частин:

\begin{gather*} 3\ \text{(клени)} + 1\ \text{(ялина)} = 4\ \text{(частини)}. \end{gather*}

Частка ялин:

\begin{gather*} \frac 14\ \text{від усього кола}. \end{gather*}

У градусах це:

\begin{gather*} 360^\circ :4=90^\circ\ \text{(прямий кут)}. \end{gather*}

Частка кленів:

\begin{gather*} \frac 34\ \text{від усього кола (решта}\ 270^\circ\text{)}. \end{gather*}

Отже, вибираємо діаграму, де світло-сірий сектор (ялини) становить чверть кола (прямий кут) – варіант відповіді В.

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їх властивості.

Завдання перевіряє знання аксіом планіметрії.

\(\angle KOB=\angle KOM+\angle MOB.\)

Підставмо відомі значення:

\begin{gather*} 115^\circ=\angle KOM+35^\circ;\\[7pt] \angle KOM=115^\circ-35^\circ;\\[7pt] \angle KOM=80^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, аналізувати та досліджувати рівняння, розв’язувати рівняння з параметром.

\begin{gather*} ax^2+bx+c=0, \end{gather*}

де \(a\), \(b\), \(c\) – коефіцієнти квадратного рівняння.

\(D=b^2-4ac\) – дискримінант.

Якщо \(D\gt 0\), то

\begin{gather*} x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a};\\[6pt] x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}. \end{gather*}

У заданому рівнянні \(x^2+(2a-15)x+26-4a=0\) маємо коефіцієнти:

\begin{gather*} a_\text{коеф.}=1;\\[7pt] b_\text{коеф.}=2a-15;\\[7pt] c_\text{коеф.}=26-4a. \end{gather*}

Обчислімо дискримінант заданого рівняння:

Щоб корені існували, дискримінант \((D)\) має бути невід’ємним:

Тобто

За умовою задачі, обидва корені мають бути більшими за \(1{:}\ x_1\gt 1\) i \(x_2\gt 1.\)

Підставмо ці значення:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 2\gt 1,\\ -2a+13\gt 1. \end{array}\right.\\[7pt] -2a+13\gt 1;\\[7pt] -2a\gt 1-13;\\[7pt] -2a\gt -12. \end{gather*}

Помножмо обидві частини нерівності на \(-1{:}\)

\begin{gather*} 2a\lt 12. \end{gather*}

Важливо: унаслідок множення на від'ємне число знак нерівності змінюється на протилежний!

\begin{gather*} a\lt 6. \end{gather*}

Отже, \(x\in (-\infty; 6).\)

У завданні запитують про найбільше ціле значення \(a.\) Оскільки число \(6\) не входить у проміжок (знак строгий), то найбільше ціле число, що задовольняє умову, – це \(5.\)

Відповідь: \(5.\)