Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 30

Математика. Всі запитання починаючи з 30

313233343536373839404142434445 ▶

Завдання 31 з 2067

Розв'яжіть систему рівнянь \(\begin{cases} 2x=\dfrac y5,\\ 4x-y=3. \end{cases}\)

Якщо \((x_0; y_0)\) – розв'язок цієї системи, то \(x_0+y_0=\)

А\(-5{,}5\)

Б\(-0{,}5\)

В\(2{,}5\)

Г\(-5\)

Д\(-4{,}5\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні і раціональні рівняння та їх системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні та раціональні рівняння.

Розв'яжімо систему рівнянь методом підстановки:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 2x=\dfrac y5,\\ 4x-y=3. \end{array}\right. \end{gather*}

Помножмо перше рівняння на \(5{:}\)

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 10x=y,\\ 4x-y=3. \end{array}\right. \end{gather*}

Підставмо \(y=10x\) в друге рівняння:

\begin{gather*} 4x-10x=3;\\[7pt] -6x=3;\\[7pt] x=3:(-6);\\[7pt] x=-0{,}5. \end{gather*}

Обчислімо \(y{:}\)

\begin{gather*} y=10\cdot (-0{,}5)=-5. \end{gather*}

Отже, розв'язок системи – пара чисел \((-0{,}5; -5){:}\)

\begin{gather*} x_0+y_0=-0{,}5+(-5)=-5{,}5. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37693

Завдання 32 з 2067

В арифметичній прогресії \((a_n){:}\) \(a_1=3\), \(a_3=10.\) Визначте різницю \(d\) прогресії.

А\(d=3{,}5\)

Б\(d=6{,}5\)

В\(d=7\)

Г\(d=-3{,}5\)

Д\(d=-7\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули суми \(n\)-перших членів арифметичної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії.

За формулою \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії:

\begin{gather*} a_n=a_1+d(n-1).\\[7pt] a_{3}=a_1+d(n-1);\\[7pt] 10=3+d(3-1);\\[7pt] 10=3+d\cdot 2;\\[7pt] 2d+3=10;\\[7pt] 2d=10-3;\\[7pt] 2d=7;\\[7pt] d=3{,}5. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37692

Завдання 33 з 2067

Які з наведених тверджень правильні?

I. Існує трикутник, у якого лише один гострий кут.

II. У рівнобедреному трикутнику \(ABC\) серединний перпендикуляр, проведений до основи \(AC\), проходить через вершину \(B.\)

III. У будь-якому прямокутному трикутнику сума градусних мір гострих кутів дорівнює \(90^\circ.\)

Алише II

Блише IІI

Влише I та II

Глише І та ІІІ

Длише ІI та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трикутників, зокрема прямокутних і рівнобедрених.

I. Сума кутів будь-якого трикутника дорівнює \(180^\circ.\) Якщо припустити, що в трикутнику лише один гострий кут (менший за \(90^\circ\)), то два інші кути мають бути прямими або тупими (дорівнювати \(90^\circ\) або бути більшими за \(90^\circ\)). Наприклад, якщо два кути прямі, то \(90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\), що не залишає місця для третього кута. У будь-якому трикутнику щонайменш два гострі кути.

Отже, твердження неправильне.

II. За властивістю рівнобедреного трикутника висота, медіана та бісектриса, проведені до основи, збігаються. Серединний перпендикуляр за означенням проходить через середину сторони \(AC\) як медіана та перпендикулярний до неї як висота. Отже, ця лінія обов'язково проходить через протилежну вершину \(B.\)

Отже, твердження правильне.

III. Сума всіх кутів будь-якого трикутника завжди \(180^\circ.\) Оскільки в прямокутному трикутнику один кут за означенням дорівнює \(90^\circ\), обчислімо суму двох інших (гострих) кутів: \begin{gather*} 180^\circ-90^\circ=90^\circ. \end{gather*}

Сума гострих кутів прямокутного трикутника завжди дорівнює \(90^\circ.\)

Отже, твердження правильне.

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37691

Завдання 34 з 2067

Скільки коренів рівняння \(2\cos x=\sqrt{2}\) належить проміжку \([0; \pi]\)?

Аодин

Бжодного

Втри

Гбільш як три

Ддва

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} 2\cos x=\sqrt{2};\\[6pt] \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}. \end{gather*}

Рівняння \(\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) має загальний розв’язок:

\begin{gather*} x=\pm\mathrm{arccos}\ \frac{\sqrt{2}}{2}+2\pi k,\ \text{де}\ k\in Z;\\[6pt] x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi k, \ \text{де}\ k\in Z. \end{gather*}

Розгляньмо значення \(k\), за яких \(x\) потрапляє в проміжок \([0; \pi].\)

Якщо \(k=0\), то

\(x_1=-\dfrac{\pi}{4}.\) Число \(-\dfrac{\pi}{4}\) не належить проміжку \([0; \pi].\)

\(x_2=\dfrac{\pi}{4}.\) Число \(\dfrac{\pi}{4}\) належить проміжку \([0; \pi].\)

Якщо \(k=1\), то

\(x_1=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi=\dfrac{7\pi}{4}.\) Число \(\dfrac{7\pi}{4}\) не належить проміжку \([0; \pi].\)

\(x_2=\dfrac{\pi}{4}+2\pi=\frac{9\pi}{4}.\) Число \(\dfrac{9\pi}{4}\) не належить проміжку \([0; \pi].\)

Якщо \(k=-1\), то

\(x_1=-\dfrac{\pi}{4}-2\pi=-\dfrac{9\pi}{4}.\) Число \(-\dfrac{9\pi}{4}\) не належить проміжку \([0; \pi].\)

\(x_2=\dfrac{\pi}{4}-2\pi=-\frac{7\pi}{4}.\) Число \(-\dfrac{7\pi}{4}\) не належить проміжку \([0; \pi].\)

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37690

Завдання 35 з 2067

У координатній площині \(yz\) прямокутної системи координат у просторі лежить точка

А\((-2; 5; 0)\)

Б\((-2; 5; 2)\)

В\((2; 0; 0)\)

Г\((2; 0; -5)\)

Д\((0; 2; -5)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Завдання перевіряє знання прямокутної системи координат у просторі, координати точки.

Точка, яка лежить у площині \(yz\), має нульову координату \(x.\) Тобто з-поміж наведених точок лише одна \((0; 2; -5)\) лежить у площині \(yz.\)

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37689

Завдання 36 з 2067

Спростіть вираз \(\dfrac{a^2+ab}{(a+b)^2}-\dfrac{2a+b}{a+b}.\)

А\(1\)

Б\(\dfrac{b-a}{a+b}\)

В\(\dfrac{3a+b}{a+b}\)

Г\(-1\)

Д\(\dfrac{a-b}{a+b}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання перевіряє вміння розкладати многочлен на множники, виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

У виразі \(a^2+ab\) винесімо спільний множник \((a)\) за дужки:

\begin{gather*} a^2+ab=a(a+b);\\[6pt] \frac{a^2+ab}{(a+b)^2}-\frac{2a+b}{a+b}=\frac{a(a+b)}{(a+b)^2}-\frac{2a+b}{a+b}=\frac{a}{a+b}-\frac{2a+b}{a+b}=\\[6pt] =\frac{a-(2a+b)}{a+b}=\frac{a-2a-b}{a+b}=\frac{-a-b}{a+b}=\frac{-1(a+b)}{a+b}=-1. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37688

Завдання 37 з 2067

На відрізку \(AB\) вибрано точку \(M\) (див. рисунок). Обчисліть відстань від середини відрізка \(AM\) до точки \(B\), якщо \(AB=26\) см, \(AM=8\) см.

А\(17\) см

Б\(22\) см

В\(18\) см

Г\(24\) см

Д\(20\) см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання перевіряє знання аксіом планіметрії, уміння застосовувати властивості найпростіших геометричних фігур у розв'язуванні планіметричних задач.

Оскільки точка \(M\) лежить на відрізку \(AB\), загальна довжина складається з двох частин:

\begin{gather*} AB=AM+MB;\\[7pt] MB=AB-AM=26-8=18\ \text{см}. \end{gather*}

Нехай точка \(K\) – середина відрізка \(AM.\) Тоді відстань від \(K\) до \(M\) дорівнює половині довжини \(AM{:}\)

\begin{gather*} KM=AM:2=8:2=4\ \text{см}. \end{gather*}

Відстань від середини відрізка \(AM\) (точки \(K\)) до точки \(B\) складається з відрізків \(KM\) та \(MB{:}\)

\begin{gather*} KB=KM+MB=4+18=22\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37687

Завдання 38 з 2067

Два журналісти заповнюють стрічку новин на інтернет-порталі. Перший журналіст публікує за день \(k\) новин, а другий – \(n\) новин. Скільки новин разом опублікують обидва журналісти, якщо перший працював \(2\) дні, а другий – \(3\) дні?

А\(2k+3n\)

Б\(5+k+n\)

В\(5(k+n)\)

Г\(5kn\)

Д\(6kn\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі.

	Продуктивність, новин/день	Час роботи, дні	Усього новин
Перший журналіст	\(k\)	\(2\)	\(2k\)
Другий журналіст	\(n\)	\(3\)	\(3n\)

Щоб дізнатися, скільки всього новин журналісти додадуть у стрічку разом, треба додати результати їхньої індивідуальної роботи:

\begin{gather*} 2k+3n. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37686

Завдання 39 з 2067

На рисунку зображено графік функції \(y=f(x)\), визначеної на проміжку \([-3; 3].\) Визначте нуль цієї функції.

А\(-1\)

Б\(-3\)

В\(0\)

Г\(3\)

Д\(2\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком і формулою.

Нулем функції називають таке значення аргумента, за якого значення функції дорівнює нулю.

На графіку функції це точка його перетину з віссю \(Ox.\)

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37685

Завдання 40 з 2067

Спростіть вираз \(a^6\cdot (a^2)^3.\)

А\(a^{30}\)

Б\(a^{36}\)

В\(a^{11}\)

Г\(a^{12}\)

Д\(a^{48}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Степеневі вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей степенів і коренів, дій із ними.

Застосуймо властивості степенів:

\begin{gather*} (a^x)^y=a^{x\cdot y};\\[7pt] a^x\cdot a^y=a^{x+y}.\\[7pt] a^6\cdot (a^2)^3=a^6\cdot a^6=a^{6+6}=a^{12}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37684

Завдання 41 з 2067

Доберіть закінчення речення так, щоб утворилося правильне твердження: «Циліндр утворений обертанням...

Аквадрата навколо його діагоналі».

Бквадрата навколо його сторони».

Впрямокутного трикутника навколо його гіпотенузи».

Гпрямокутного трикутника навколо його катета».

Дпрямокутника навколо його діагоналі».

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання означення циліндра як тіла обертання.

Циліндр – тіло обертання, утворене внаслідок обертання прямокутника навколо прямої, яка містить одну з його сторін.

Оскільки квадрат — окремий випадок прямокутника, то внаслідок обертання квадрата навколо його сторони також утворюється циліндр.

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37683

Завдання 42 з 2067

Розв'язком нерівності \(5^{-x}\gt 25\) є число

А\(-3\)

Б\(1\)

В\(-1\)

Г\(0\)

Д\(3\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові нерівності, знання властивостей показникової функції.

\begin{gather*} 5^{-x}\gt 25;\\[7pt] 5^{-x}\gt 5^2. \end{gather*}

Оскільки основа степеня \((5)\) більша за одиницю \((5\gt 1)\), функція зростаюча, тому задана нерівність рівносильна нерівності

\begin{gather*} -x\gt 2. \end{gather*}

Помножмо обидві частини нерівності на \(-1.\)

Важливо: унаслідок множення або ділення нерівності на від'ємне число знак нерівності змінюється на протилежний.

\begin{gather*} x\lt -2. \end{gather*}

Розв'язок нерівності – проміжок \(x\in (-\infty; -2).\) З наведених чисел лише \(-3\) належить заданому проміжку.

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37682

Завдання 43 з 2067

\(2\cdot \left(-\dfrac 13\right)=\)

А\(-\dfrac 16\)

Б\(\dfrac 23\)

В\(1\dfrac 23\)

Г\(-6\)

Д\(-\dfrac 23\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами.

\begin{gather*} 2\cdot \left(-\frac 13\right)=-\frac{2\cdot 1}{3}=-\frac 23. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37681

Завдання 44 з 2067

На графіку відображено зміну кількості опадів (мм) протягом року в регіоні України. За графіком визначте місяці, у яких кількість опадів перевищувала \(50\) мм.

А\(5\); \(8\)

Б\(6\); \(7\)

В\(5\); \(6\); \(7\)

Г\(5\); \(6\); \(7\); \(8\)

Д\(5\); \(6\); \(7\); \(12\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені у графічній і текстовій формах.

Отже, кількість опадів перевищувала \(50\) мм у \(5\), \(6\), \(7\) та \(12\text{-му}\) місяцях.

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37680

Завдання 45 з 2067

Обчисліть найбільше значення \(a\), за якого система \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} (x-6)^2+(y+8)^2=a;\\ x^2+y^2=9. \end{array}\right. \end{gather*} має єдиний розв'язок.

Впишіть відповідь:

169

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь графічним методом, рівняння з параметром.

Розв'яжемо рівняння графічно. Розв'язок системи рівнянь – точки перетину графіків.

\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2\) – це рівняння кола з центром в точці \(O(x_0; y_0)\) і радіусом \(R.\)

1) \((x-6)^2+(y+8)^2=a\) коло з центром \(O_1(6; -8)\) та радіусом \(R=\sqrt{a}.\)
2) \(x^2+y^2=9\) коло з центром \(O_2(0; 0)\) та радіусом \(r=3.\)

Система має єдиний розв'язок тоді, коли ці два кола дотикаються.

Знайдемо відстань між центрами кіл \(O_1O_2\) за формулою відстані між точками:

\begin{gather*} O_1O_2=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2};\\[7pt] O_1O_2=\sqrt{(6-0)^2+(-8-0)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10. \end{gather*}

Для дотику відстань між центрами має дорівнювати або сумі, або різниці радіусів:

Зовнішній дотик: \(R+r=O_1O_2.\)

\begin{gather*} \sqrt{a}+3=10;\\[7pt] \sqrt{a}=7;\\[7pt] a=49. \end{gather*}

Внутрішній дотик: \(|R-r|=O_1O_2.\)

\begin{gather*} \sqrt{a}-3=10;\\[7pt] \sqrt{a}=13;\\[7pt] a=169. \end{gather*}

(Також можливий варіант \(3-\sqrt{a}=10\), але тоді \(\sqrt{a}=-7\), що неможливо).

Оскільки за умовою потрібне найбільше значення, вибираємо \(169.\)

Відповідь: \(169.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 742. Запитання: 37585

Facebook

Twitter