ТЕМА: Раціональні вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Щоб спростити вираз, застосуймо формулу скороченого множення «квадрат суми»:

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні нерівності.

Розв'яжімо логарифмічну нерівність \(\log_{0{,}2} (x+4)\gt \log_{0{,}2} 5.\)

Функція є спадною, бо основа логарифма \(0{,}2\lt 1.\) Отже, \(x+4\lt 5\) та за ОДЗ \(x+4\gt 0.\)

Розв'язком нерівності є розв'язок системи лінійних нерівностей:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x+4\lt 5,\\ x+4\gt 0, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x\lt 5-4,\\ x\gt -4, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x\lt 1,\\ x\gt -4. \end{array}\right. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in (-4; 1). \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямокутна система координат у просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати координати точки, зображеної на рисунку.

Оскільки точка \(N\) належить осі \(Oy\) прямокутної системи координат у просторі й розташована вище від початку координат – точки \(O(0; 0; 0)\), її координати \(x\) і \(z\) дорівнюють нулю, а координата \(y\) додатна: \(N(0; y_N; 0).\)

З-поміж наведених цю умову задовольняє лише варіант відповіді Д.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом.

Оскільки Іван на байдарці плив за течією, додамо швидкість течії до власної швидкості байдарки:

Щоб обчислити загальний шлях, швидкість, з якою рухався Іван, помножмо на час, який він витратив на подорож:

\begin{gather*} S=v\cdot t;\\[7pt] S=6{,}8\cdot 2{,}5=17\ \text{км}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння пов'язувати аналітичні властивості функції з її графіком на координатній площині.

За умовою завдання значення \(y\) завжди від'ємні, тож графік функції може перебувати лише там, де \(y\lt 0.\) Це нижня частина координатної площини (під віссю \(Ox\)).

Функція визначена на \(x\in (0; +\infty)\), тому графік обов'язково буде в тій зоні, де \(x\gt 0\) (у IV чверті).

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання властивостей призми та вміння розв'язувати стереометричні задачі.

Площу бічної поверхні призми визначмо за формулою:

В основі правильної чотирикутної призми лежить квадрат зі стороною \(\sqrt{a}\), тож його периметр:

За умовою задачі висота \(H=3\sqrt{a}.\)

Отже,

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Квадратні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні рівняння.

\begin{gather*} x^2-12=4x-12;\\[7pt] x^2-12-4x+12=0;\\[7pt] x^2-4x=0;\\[7pt] x(x-4)=0;\\[7pt] x_1=0\ \text{або}\ x-4=0;\\[7pt] x_2=4. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей рівнобедрених, тупокутних і прямокутних трикутників.

І. Одна з висот рівнобедреного трикутника ділить його на два рівні трикутники.

У рівнобедреному трикутнику висота, проведена з вершини до його основи, є водночас медіаною і бісектрисою. Ця висота ділить трикутник на два прямокутні трикутники, рівні за двома катетами (або за катетом і гіпотенузою). Твердження правильне.

II. Дві висоти тупокутного трикутника лежать поза його межами.

У тупокутному трикутнику дві висоти, проведені з гострих кутів, перетинають не самі сторони, а їхні продовження поза трикутником (зовні). Лише одна висота, проведена з тупого кута, лежить усередині фігури. Твердження правильне.

III. Висота, проведена з вершини прямого кута прямокутного трикутника, більша за менший катет цього трикутника.

Розгляньмо прямокутний трикутник \(ABC\), у якому провели висоту \(CH\) до гіпотенузи. Висота \((CH)\) утворює новий (менший) прямокутний трикутник \(CHB\), \(CH\) є катетом, а менший катет початкового трикутника \(CB\) стає гіпотенузою. Оскільки в прямокутному трикутнику гіпотенуза завжди більша за будь-який катет, то \(CH\lt CB.\) Твердження неправильне.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній і/або текстовій формі.

Треба знайти залу, кількість глядачів у якій відповідає подвійній нерівності:

\begin{gather*} 40\lt\ \text{кількість глядачів}\ \lt 48. \end{gather*}

Це означає, що стовпчик на діаграмі має бути вищим за позначку \(40\), але нижчим за позначку \(48.\)

Розгляньмо кількість глядачів у залах:

Біла зала: стовпчик сягає позначки \(55.\) (\(55\gt 48\) – не підходить).

Блакитна зала: стовпчик точно на рівні \(40.\) (За умовою глядачів має бути більше, тому не підходить).

Жовта зала: стовпчик на позначці \(35.\) (\(35\lt 40\) – не підходить).

Зелена зала: стовпчик точно на рівні \(20.\) (\(20\lt 40\) – не підходить).

Фіолетова зала: стовпчик на позначці \(45.\) (Число \(45\) більше за \(40\) і менше за \(48\) \((40\lt 45\lt 48).\) Цей варіант відповідає умові завдання.

Єдина зала, кількість глядачів у якій перебуває в межах від \(40\) до \(48\), – фіолетова.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання властивостей кола та хорд.

Відрізок, що сполучає дві точки кола, називають хордою. Найбільша за довжиною хорда кола – його діаметр.

Отже, \(AB=16\), тому що радіус кола дорівнює \(8\ (d=2R).\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Ірраціональні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів, знання формул скороченого множення.

Для розв’язання завдання використаймо властивість арифметичного квадратного кореня:

\begin{gather*} (\sqrt{a})^2=a. \end{gather*}

А також формулу скороченого множення «різниця квадратів»:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, аналізувати та досліджувати рівняння, розв’язувати рівняння з параметром.

\begin{gather*} ax^2+bx+c=0, \end{gather*}

де \(a\), \(b\), \(c\) – коефіцієнти квадратного рівняння.

\(D=b^2-4ac\) – дискримінант.

Якщо \(D\gt 0\), то

\begin{gather*} x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a};\\[6pt] x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}. \end{gather*}

У заданому рівнянні \(2x^2-(4a-3)x-6a=0\) маємо коефіцієнти:

\begin{gather*} a_\text{коеф.}=2;\\[7pt] b_\text{коеф.}=-(4a-3);\\[7pt] c_\text{коеф.}=-6a. \end{gather*}

Обчислімо дискримінант заданого рівняння:

\begin{gather*} D=(-(4a-3))^2-4\cdot 2\cdot (-6a);\\[7pt] D=16a^2-24a+9+48a;\\[7pt] D=16a^2+24a+9;\\[7pt] 16a^2+24a+9=(4a+3)^2;\\[7pt] \sqrt{D}=|4a+3|. \end{gather*}

Тобто

\(x_1=-1{,}5\) належить проміжку \([-5; 8].\)

\(x_2=2a\) корінь, що залежить від параметра. За умовою він також має належати проміжку \([-5; 8].\)

Складімо нерівність:

\begin{gather*} -5\le 2a\le 8;\\[6pt] \frac{-5}{2}\le a\le \frac 82;\\[6pt] -2{,}5\le a\le 4. \end{gather*}

Тобто, \(a\in [-2{,}5; 4].\)

Цілі числа, які належать цьому проміжку:

\begin{gather*} \{-2; -1; 0; 1; 2; 3, 4\}. \end{gather*}

Порахуємо їхню кількість: усього \(7\) цілих чисел.

Відповідь: \(7.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

Обчислімо довжину сторони квадрата – перерізу правильної чотирикутної призми, площа якої 64:

\begin{gather*} BD=BB_1=\sqrt{64}=8. \end{gather*}

Обчислімо висоту призми:

\begin{gather*} H=BB_1=8. \end{gather*}

В основі призми лежить квадрат \(ABCD\) з діагоналлю \(BD=8.\) Обчислімо його площу:

Підставмо обчислені значення площі основи та висоти у формулу для обчислення об'єму:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H=32\cdot 8=256. \end{gather*}

Відповідь: \(256.\)