ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Рівняння \(\cos x=0\) має загальний розв’язок: \begin{gather*} x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ \text{де}\ k\in Z. \end{gather*}

Розгляньмо значення \(k\), за яких \(x\) потрапляє в проміжок \([0; 2\pi].\)

Якщо \(k=0\), то \(x=\frac{\pi}{2},\) тобто належить проміжку \([0; 2\pi].\)

Якщо \(k=1\), то \(x=\frac{\pi}{2}+\pi=\frac{3\pi}{2},\) тобто належить проміжку \([0; 2\pi].\)

Якщо \(k=2\), то \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi=\frac{5\pi}{2},\) тобто не належить проміжку \([0; 2\pi].\)

Якщо \(k=-1\), то \(x=\frac{\pi}{2}-\pi=-\frac{\pi}{2},\) тобто не належить проміжку \([0; 2\pi].\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати означення, ознаки та властивості трикутників різних видів, знання властивостей медіани й бісектриси трикутника.

I. За означенням, медіана – це відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

Оскільки \(AM\) – медіана, точка \(M\) ділить сторону \(CB\) навпіл. Отже, \(BM=MC.\) Твердження правильне.

II. Промінь, що ділить кут навпіл, називають бісектрисою.

У довільному трикутнику (як зазначено в умові) медіана не збігається з бісектрисою. Твердження неправильне.

III. Медіана поділяє трикутник на два трикутники з рівними площами (рівновеликі). Площі трикутників \(\Delta ABM\) і \(\Delta ACM\) рівні.

Площу трикутника можна обчислити за формулою: \(S=ah_a.\)

У трикутників \(ABM\) та \(ACM\) основи рівні \((BM = MC)\), а висота \(AH\), проведена з вершини \(A\) до прямої \(CB\), у них спільна.

Отже, \(S_{\Delta ABM}=S_{\Delta ACM}.\) Твердження правильне.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів.

Застосували властивість: \(\sqrt[3]{a^3}=a.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Вектори і координати на площині.

Це завдання перевіряє вміння знаходити координати вектора на площині.

Якщо \(K(x_1; y_1; z_1)\), \(L(x_2; y_2; z_2)\), то координати вектора \(\overrightarrow{KL}(x_2-x_1; y_2-y_1; z_2-z_1).\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відсотки. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі. Лінійні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати рівняння до розв'язування текстових задач, розв'язувати задачі на відсотки.

Нехай початкова сума грошей на картці \(x\) грн. Тоді першого разу зняли \(40\ \%\) від \(x\), або \(0{,}4x.\) Другий раз зняли \(500\) грн, після цього залишилася половина від початкової суми, тобто \(0{,}5x.\)

Складімо рівняння:

Початкова сума на картці була \(5000\) грн. На картці залишилася половина від початкової суми: \begin{gather*} 5000:2=2500\ \text{грн}. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

Якщо функція набуває лише додатних значень \((y\gt 0)\), її графік має повністю лежати вище від осі \(Ox\) і не дотикатися її.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Прямі та площини в просторі.

Завдання скеровано на перевірку знання аксіом стереометрії, взаємного розміщення прямих у просторі.

Висота конуса \((H)\) – це відрізок, що сполучає вершину конуса із центром його основи. Твірна конуса \((L)\) – це відрізок, що сполучає вершину конуса з будь-якою точкою кола основи.

Оскільки висота й твірна конуса мають спільну точку (перетинаються у вершині), вони, за визначенням, лежать в одній площині.

За аксіомою стереометрії, якщо дві прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Логарифмічні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

\begin{gather*} \log_3x=2. \end{gather*} За означенням логарифма: \begin{gather*} x=3^2,\\[7pt] x=9. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їх системи. Відношення та пропорції.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі за допомогою рівнянь, на пропорційні величини та пропорційний поділ.

Нехай \(x\) – коефіцієнт пропорційності. Підприємство за рік виготовляє
\(3x\) столів,
\(4x\) стільців.

Отже, сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців була \begin{gather*} 3x+4x=7x. \end{gather*}

Кількість виробів може бути числом, кратним \(7.\) З наведених чисел це може бути \(91.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.

Завдання скеровано на перевірку знання властивості зовнішнього кута трикутника.

За властивістю зовнішнього кута трикутника: \begin{gather*} \angle KBC=\angle A+\angle C,\\[7pt] \angle C=\angle KBC-\angle A,\\[7pt] \angle C=162^\circ-90^\circ,\\[7pt] \angle C=72^\circ. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній і текстовій формі.

На діаграмі наведено інформацію про кількість глядачів, які протягом доби відвідали \(5\) зал кінотеатру.

Біла зала – \(55\),
синя зала – \(40\),
жовта зала – \(35\),
зелена зала – \(20\),
чорна зала – \(45.\)

Знаходимо різницю між кількістю глядачів, які відвідали білу й зелену зали:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції. Основні властивості функцій: монотонність, парність та непарність.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графічно та належність точки графіку заданої функції.

Щоб розв'язати це завдання, потрібно знати означення зростаючої (спадної) функції, парної та непарної функцій, властивості та графік логарифмічної функції \(y=\log_a x.\)

Функція \(y=f(x)\) називається зростаючою на проміжку \((a; b)\), якщо для будь-яких \(x_1\in (a; b)\) i \(x_2\in (a; b)\) таких, що \(x_1\lt x_2\), виконується нерівність \(f(x_1)\lt f(x_2)\), тобто більшому значенню аргумента з \((a; b)\) відповідає більше значення функції.

Функція \(y=f(x)\) називається спадною на проміжку \((a; b)\), якщо для будь-яких \(x_1\in (a; b)\) i \(x_2\in (a; b)\) таких, що \(x_1\lt x_2\), виконується нерівність \(f(x_1)\gt f(x_2)\), тобто більшому значенню аргумента з \((a; b)\) відповідає менше значення функції.

Функція \(y=f(x)\) називається парною, якщо для будь-якого \(x\) з області визначення функції виконується рівність \(f(-x)=f(x).\)

Функція \(y=f(x)\) називається непарною, якщо для будь-якого \(x\) з області визначення функції виконується рівність \(f(-x)=-f(x).\)

Область визначення і парної, і непарної функції симетрична відносно точки \(x=0.\) Графік парної функції симетричний відносно осі \(Oy\), а непарної – відносно початку координат.

Доберемо до кожного із запитань (1 – 4) правильну відповідь.

1. Точка \((1; 0)\) знаходиться на осі абсцис праворуч від початку відліку. З рисунків видно, що через цю точку проходить лише графік функції, зображеної на рис. 1. Отже, 1 – A.

2. Оскільки графік парної функції симетричний відносно осі \(Oy\), то 2 – Б. Зазначимо, що на рисунку 5 зображено графік непарної функції.

3. Щоб вказати графік функції, що має дві спільні точки з графіком логарифмічної функції $$ y=\log_{\frac 13} x, $$ потрібно знати, що функція $$ y=\log_{\frac 13} x $$ визначена для всіх додатних значень \(x\), проходить через точку \((1; 0)\), є спадною на всій області визначення і набуває значень від \(+\infty\) до \(-\infty\), коли змінюється від \(0\) до \(+\infty.\)

Зауважимо, що графік функції $$ y=\log_{\frac 13} x, $$ проходить через точку \((3; -1)\), оскільки

Графік цієї функції перетинає графіки функцій, зображених на рисунках 1 – 3, по одному разу, не має жодної спільної точки з графіком, зображеним на рисунку 5, і дві спільні точки, – з графіком, зображеним на рисунку 4. Отже, 3 – Г.

4. Графік функції, що зростає на відрізку \([-2; 3]\), зображено на рис. 3. Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – A, 2 – Б, 3 – Г, 4 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції.

Це завдання перевіряє вміння визначати графік аналітично заданої функції.

Графіком квадратичної функції $$ y=ax^2+bx+c $$ є парабола, вітки якої напрямлені вгору при \(a\gt 0\) і вниз при \(a\lt 0.\) Оскільки \(a=1\gt 0\), то вітки графіка функції $$ y=x^2+px+q $$ напрямлені вгору.

З наведених рисунків цю умову задовольняють варіанти А, В і Д. Оскільки за умовою рівняння $$ x^2+px+q=0 $$ не має дійсних коренів, то не існує дійсних значень аргумента \(x\), при яких функція $$ y=x^2+px+q $$ дорівнювала б \(0\), тобто функція $$ y=x^2+px+q $$ не має нулів. Тому графіік цієї функції не перетинає вісь абсцис. Цю умову з варіантів А, В і Д задовольняє лише варіант Д.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання про центральні та вписані кути та їхні властивості.

1. У коло вписано чотирикутник, тому сума протилежних кутів \(180^\circ.\) \(\angle D=100^\circ\), тому \(\angle C=80^\circ.\)

Отже, 1 – B.

2. \(\angle AOB=100^\circ\) – центральний, \(\angle ACB\) – відповідний вписаний. За властивістю вписаного кута

Отже, 2 – Д.

3. \(\angle ACB=90^\circ\) тому, що вписаний кут, який спирається на діаметр – прямий.

Отже, 3 – Б.

4. \(\angle ADB=\angle ACB=100^\circ\), тому, що вписані кути, які спираються на одну хорду – рівні.

Отже, 4 – A.

Відповідь: 1 – B, 2 – Д, 3 – Б, 4 – A.