ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

Графік перетинає вісь \(y\) у точці \((0; 3)\), а її ордината дорівнює \(3.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати і вектори в просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати відстань між точками за відомими координатами.

Довжину вектора \(\overrightarrow{OK}\) можна визначити за формулою:

де \(O(x_1, y_1, z_1)\), \(K(x_2, y_2, z_2)\) – координати точок.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра. Лінійні рівняння.

Завдання перевіряє знання основної властивості пропорції та вміння розв’язувати лінійні рівняння.

Застосуймо основну властивість пропорції:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з раціональними числами.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання перевіряє знання видів і властивостей кутів.

Розгорнутий кут поділено на \(10\) рівних частин. Обчислімо градусну міру кожного із цих кутів:

\begin{gather*} 180^\circ:10=18^\circ. \end{gather*}

Отже, градусна міра кута між двома сусідніми стрілками становить \(18^\circ.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики. Ймовірність випадкової події.

Завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірність події.

Для обчислення ймовірності випадкової події використаймо класичне означення ймовірності:

\begin{gather*} P(A)=\frac kn, \end{gather*}

де: \(n\) – загальна кількість усіх можливих рівноймовірних наслідків; \(k\) – кількість наслідків, що сприяють події \(A\) (видаленню цифри, більшої за \(5\)).

Задано шестицифрове число \(125079.\) Загалом у цьому числі \(6\) цифр, з яких дві (\(7\) і \(9\)) більші від \(5\). Оскільки програма видаляє цифру навмання, усього існує \(6\) варіантів видалення, отже \(n=6.\) Кількість цифр у числі, які більші від \(5\), становить \(k=2.\)

\begin{gather*} P(A)=\frac 26=13. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, зокрема з параметрами, а також аналізувати та досліджувати їхні властивості.

Якщо \(t=(a-2)x^2+6x,\) рівняння набуде вигляду:

\begin{gather*} t^2-4t+4-a^2=0;\\[7pt] (t^2-4t+4)-a^2=0;\\[7pt] (t^2-2\cdot 2t+2^2)-a^2=0;\\[7pt] (t-2)^2-a^2=0;\\[7pt] (t-2-a)(t-2+a)=0;\\[7pt] t-2-a=0\ \text{та}\ t-2+a=0;\\[7pt] t_1=2+a\ \text{та}\ t_2=2-a. \end{gather*}

Оскільки треба знайти від'ємне значення \(a\), то для \(a\lt 0\) значення \(t_1\) і \(t_2\) точно будуть різними \((2+a\ne 2-a\), бо \(a\ne 0\)).

Повернувшись до заміни, маємо сукупність двох квадратних рівнянь (адже шукаємо від'ємне \(a\), коефіцієнт \(a-2\ne 0\)):

1-е рівняння: \((a-2)x^2+6x-(2+a)=0.\)

2-е рівняння: \((a-2)x^2+6x-(2-a)=0.\)

Обчислімо дискримінанти рівнянь:

Для першого рівняння:

Оскільки \(4a^2+20\gt 0\) за будь-якого \(a\), то перше рівняння завжди має рівно \(2\) корені.

Для другого рівняння:

Щоб уся сукупність мала рівно два корені, друге рівняння не повинно мати розв'язків (випадок збігу коренів \(a=0\) не задовольняє умову \(a\lt 0\)). Отже, дискримінант другого рівняння має бути від'ємним.

Розв'яжімо нерівність \(D_2\lt 0{:}\)

\begin{gather*} 36-4(a-2)^2\lt 0;\\[7pt] (a-2)^2\gt 9. \end{gather*}

Задана нерівність рівносильна сукупності нерівностей:

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} a-2\gt 3,\\ a-2\lt -3, \end{array}\right.\\[7pt] \left[\begin{array}{l} a\gt 5,\\ a\lt -1. \end{array}\right. \end{gather*}

\begin{gather*} a\in (-\infty; -1)\cup (5; +\infty). \end{gather*}

Найбільшим цілим від'ємним значенням параметра із цього проміжку є число \(-2.\)

Відповідь: \(-2.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння обчислювати об’єм піраміди.

Об'єм піраміди обчислімо за формулою:

\begin{gather*} V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H, \end{gather*}

де \(S_\text{осн}\) – площа основи, \(H\) – висота.

Дігональним перерізом піраміди є трикутник \(SAC\), де \(AC\) – діагональ основи.

Оскільки піраміда правильна, бічні ребра рівні: \(SA=SC=6\sqrt{2}\) см. За умовою, \(\Delta SAC\) є прямокутним. Оскільки \(SA=SC\), то цей трикутник – рівнобедрений прямокутний із прямим кутом при вершині \((\angle ASC=90^\circ).\)

За теоремою Піфагора для \(\Delta SAC{:}\)

Висота піраміди \(SO\) є медіаною та висотою, проведеною до гіпотенузи \(AC\) у прямокутному трикутнику \(\Delta SAC.\) Вона дорівнює половині гіпотенузи:

\begin{gather*} H=SO=\frac{AC}{2}=\frac{12}{2}=6\ \text{см}. \end{gather*}

Основою піраміди є квадрат \(ABCD.\) Площу квадрата через його діагональ \(AC\) обчислімо за формулою:

Відповідь: \(144.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання перевіряє вміння використовувати розміщення й комбінаторні правила добутку для розв’язання комбінаторних задач.

Для розв'язання використаймо формулу розміщення \(k\) варіантів з \(n\) можливих:

\begin{gather*} A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}. \end{gather*}

1. Вибір листівок із гербами для Європи.

Для \(2\) адресатів у Європі потрібно вибрати по одній листівці із \(6\) наявних із гербами.

Першому адресату можна вибрати будь-яку із \(6\) листівок.

Другому адресату – будь-яку з \(5\) листівок, що залишилися.

Кількість способів (кількість розміщень \(A_6^2\)):

2. Вибір листівок із краєвидами для Австралії.

Для \(3\) адресатів в Австралії потрібно вибрати по одній листівці із \(6\) наявних із краєвидами.

Першому адресату – \(6\) варіантів.

Другому адресату – \(5\) варіантів.

Третьому адресату – \(4\) варіанти.

Кількість способів (кількість розміщень \(A_6^3\)):

3. Загальна кількість варіантів вибору.

Оскільки Aліна має водночас виконати обидві дії (вибрати листівки і в Європу, і в Австралію), за правилом добутку перемножмо отримані результати:

\begin{gather*} 30\cdot 120=3600. \end{gather*}

Відповідь: \(3600.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна.

Завдання перевіряє вміння знаходити похідну функції, знання фізичного змісту похідної.

Швидкість руху точки \(v(t)\) в заданий момент часу \(t\) дорівнює першій похідній від функції координати по часу \(x(t){:}\)

\begin{gather*} v(t)=x'(t). \end{gather*}

Обчислімо похідну від заданої функції координати \(x(t)=t^2+t+3{:}\)

\begin{gather*} v(t)=(t^2+t+3)'=2t+1. \end{gather*}

Отже, закон зміни швидкості має вигляд: \(v(t)=2t+1.\)

За умовою задачі швидкість точки дорівнює \(9\) м/с. Складімо та розв'яжімо рівняння:

\begin{gather*} 2t+1=9;\\[7pt] 2t=9-1;\\[7pt] 2t=8;\\[7pt] t=4. \end{gather*}

Відповідь: \(4.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба.

1. Діаметр заданого кола \(BD.\)

Точка \(O\) – точка перетину діагоналей ромба \(ABCD.\) За властивістю ромба, діагоналі \(AC\) і \(BD\) перпендикулярні \((AC\!⊥\!BD)\), а точка \(O\) є їхньою серединою \((AO=OC\), \(BO=OD).\) Оскільки коло побудоване на \(BD\) як на діаметрі, його центром є саме точка \(O\), а радіус кола дорівнює \(R=BO=OD.\) Точка \(K\) лежить на колі та на діагоналі \(AC.\) Оскільки \(O\) – центр кола, то відрізок \(OK\) – це також радіус кола \((OK=R).\)

\begin{gather*} AC=AK+KC=5+35=40\ \text{см}. \end{gather*}

Оскільки \(O\) – середина \(AC{:}\)

\begin{gather*} AO=OC=\frac{AC}{2}=\frac{40}{2}=20\ \text{см}. \end{gather*}

Знайдемо радіус кола \((R = OK)\). З малюнка видно, що точка \(K\) лежить між \(A\) та \(O.\) Тому:

\begin{gather*} OK=AO-OK=20-5=15\ \text{см}. \end{gather*}

Тобто радіус кола \(R=15\) см, звідки:

\begin{gather*} BD=2R=2\cdot 15=30\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Д.

2. Довжина сторони ромба \(ABCD\ (AB).\)

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta AOB\ (\angle AOB=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:

Отже, правильна відповідь – Г.

3. Висота ромба \(ABCD\ (BH).\)

Площу ромба можна обчислити двома способами: через діагоналі та через сторону і висоту.

\begin{gather*} S=\frac 12d_1d_2\ \text{та}\ S=ah.\\[6pt] S=\frac 12AC\cdot BD=AB\cdot BH;\\[6pt] \frac 12\cdot 40\cdot 30=25\cdot BH;\\[6pt] 600=25\cdot BH;\\[6pt] BH=\frac{600}{25}=24\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – B.

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. Функція \(y=x^2-2x.\) Графіком цієї квадратичної функції є парабола, гілки якої напрямлені вгору \((a=1\gt 0).\) Найменшого значення вона набуває у вершині, а найбільше значення функції на відрізку треба шукати на його кінцях.

Обчислімо значення функції на кінцях відрізка \([-1; 3]{:}\)

Оскільки в обох кінцях значення однакові, найбільшим значенням на цьому проміжку є \(3.\)

Отже, 1 – Г.

2. Функція \(y=-x.\) лінійна. Оскільки коефіцієнт перед \(x\) від'ємний \((k=-1)\), функція є спадною на всій своїй області визначення.

Спадна функція набуває свого найбільшого значення на лівому кінці відрізка, тобто за найменшого \(x{:}\)

\begin{gather*} y(-1)=-(-1)=1. \end{gather*}

Отже, 2 – A.

3. Функція \(y=5^{-x}.\) Перепишімо функцію в зручнішому вигляді: \(y=\dfrac{1}{5^x}.\) Оскільки основа степеня \(0\lt \dfrac 15\lt 1,\) задана показникова функція також спадна.

Отже найбільше значення буде на лівому кінці відрізка (за \(x=-1\)):

\begin{gather*} y=5^{-(-1)}=5^1=5. \end{gather*}

Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – A, 3 – Б.

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами, тотожні перетворення логарифмічних, ірраціональних і степеневих виразів.

1. \(\ln e.\)

Натуральний логарифм \(\ln e\) – це логарифм за основою \(e\) від числа \(e.\) Застосуймо формулу:

\begin{gather*} \log_a a=1;\\[7pt] \ln e=1. \end{gather*}

Число \(1\) належить проміжку \((0; 2].\) Отже, правильна відповідь – B.

2. \(e-4.\)

Підставмо наближене значення \(e\approx 2{,}7\)

\begin{gather*} 2{,}7-4=-1{,}3. \end{gather*}

Число \(-1{,}3\) міститься між \(-2\) та \(0\), тобто належить проміжку \((-2; 0].\) Отже, правильна відповідь – Б.

3. \(e^2.\)

Оскільки \(27^2=729\), то

\begin{gather*} e^2\approx 2{,}7^2=7{,}29. \end{gather*}

Число \(7{,}29\) більше за \(6\), тому належить проміжку \((6; +\infty).\) Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Вектори і координати в просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати координати вектора в просторі.

Якщо \(A(x_1; y_1; z_1)\), \(B(x_2; y_2; z_2)\), координати вектора

\begin{gather*} \overrightarrow{BA}(x_1-x_2; y_1-y_2; z_1-z_2).\\[7pt] A(0; 2; 0);\\[7pt] B(0; 0; 2);\\[7pt] \overrightarrow{BA}(0-0; 2-0; 0-2);\\[7pt] \overrightarrow{BA}(0; 2; -2). \end{gather*}

Відповідь: B.