ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності та системи нерівностей.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи лінійних нерівностей.

Розв'яжімо систему нерівностей:

За властивістю нерівностей, під час ділення нерівності на від'ємне число знак нерівності треба замінити на протилежний.

Зобразімо розв'язок на числовій прямій:

Спільний розв'язок \(x\in (-3; 8).\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей паралелограма.

І. Діагональ паралелограма ділить його на два рівні трикутники.

Це одна з основних властивостей паралелограма. У довільному паралелограмі \(ABCD\) проведімо діагональ \(AC.\) За ознакою рівності трикутників за трьома сторонами: \(AB=CD\), \(BC=AD\) як протилежні сторони паралелограма, \(AC\) – спільна, \(\Delta ABC=\Delta CDA.\) Твердження правильне.

II. Діагоналі паралелограма є бісектрисами його кутів.

Ця властивість притаманна лише ромбу (а також квадрату як окремому виду ромба). У довільному паралелограмі діагоналі не ділять кути навпіл. Твердження неправильне.

III. Менша діагональ паралелограма ділить його на два гострокутні трикутники.

Трикутники можуть бути прямокутними або тупокутними. Ця властивість не є загальною для паралелограмів. Твердження неправильне.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики. Графічні, табличні, текстові та інші форми подання статистичної інформації.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, відображену на діаграмі.

На круговій діаграмі показано розподіл занять. Сектор Zoom (найсвітліший на діаграмі) займає половину круга. Тобто кількість відвіданих занять у Zoom становить половину від загальної кількості: \(600:2=300\). Сектор Google Meet (світло-сірий) і сектор Teams (темно-сірий) разом становлять іншу половину – \(300\) занять.

З діаграми видно, що сектор Google Meet (світло-сірий) більший за сектор Teams, але він обов'язково менший за половину круга \((300)\) і більший за чверть круга \((150).\)

Запишімо це у вигляді нерівності для кількості занять у Google Meet \((x){:}\)

\begin{gather*} 150\lt x\lt 300. \end{gather*}

Отже, лише число \(200\) задовольняє умову, оскільки \(150\lt 200\lt 300.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє розуміння означення конуса як тіла обертання.

Конус – тіло обертання, утворене внаслідок обертання прямокутного трикутника навколо його катета.

Катет, навколо якого обертається прямокутний трикутник, – висота конуса.

Катет, перпендикулярний до осі обертання, – радіус основи конуса. Гіпотенуза трикутника – твірна конуса.

Отже, утвориться конус із радіусом основи 10 см.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності.

Завдання перевіряє знання властивостей нерівностей і вміння розв’язувати лінійні нерівності.

\begin{gather*} 3-3x\lt -1;\\[7pt] -3x\lt -1-3;\\[7pt] -3x\lt -4. \end{gather*}

Помножмо обидві частини нерівності на \(-1{:}\)

\begin{gather*} 3x\gt 4. \end{gather*}

Важливо: унаслідок множення на від'ємне число знак нерівності змінюється на протилежний!

\begin{gather*} x\gt \frac 43. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in \left(\frac 43; +\infty\right). \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами, знання властивостей модуля числа.

За властивістю модуля числа:

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right.\\[7pt] |2-5\cdot 3|=|2-15|=|-13|=13. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння з параметром.

Розв'яжімо лінійне рівняння:

\begin{gather*} 3x-4a=\frac{2ax+3}{5}. \end{gather*}

Позбудьмося знаменника, помноживши обидві частини на \(5{:}\)

\begin{gather*} 5(3x-4a)=2ax+3;\\[7pt] 15x-20a=2ax+3;\\[7pt] 15x-2ax=3+20a;\\[7pt] x(15-2a)=3+20a;\\[6pt] x=\frac{3+20a}{15-2a}. \end{gather*}

Корінь рівняння додатний, якщо

\begin{gather*} \frac{3+20a}{15-2a}\gt 0. \end{gather*}

Розв'яжімо нерівність методом інтервалів:

\begin{gather*} 3+20a=0;\\[7pt] 20a=-3;\\[6pt] a=-\frac{3}{20}=-0{,}15;\\[6pt] 15-2a\ne 0;\\[7pt] -2a\ne -15;\\[7pt] a\ne 7{,}5. \end{gather*}

Отже, \(a\in (-0{,}15; 7{,}5).\)

Цілі значення \(a\) в цьому проміжку:

\begin{gather*} \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7\}. \end{gather*}

Найбільше ціле значення: \(7.\)

Відповідь: \(7.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Піраміда.

Завдання перевіряє знання властивостей піраміди та її елементів, розв’язування задач на трикутники.

Маємо правильну трикутну піраміду, тому основа – правильний трикутник, основа висоти – центр трикутника.

За умовою, бічна грань (наприклад, \(\Delta DBC\)) – рівносторонній трикутник зі стороною \(a=4\sqrt{6}\) см. Це означає, що всі ребра піраміди рівні. Сторона основи \(AB=BC=AC=a=4\sqrt{6}\) см. Бічне ребро \(DA=DB=DC=4\sqrt{6}\) см.

Оскільки піраміда правильна, її висота \(DO\) падає в центр основи – точку перетину медіан, бісектрис і висот трикутника \(ABC.\) Відрізок \(OB\) – радіус описаного кола \((R)\) навколо основи.

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta DOB\ (\angle DOB=90^\circ)\), \(DO\) – висота \((H)\) піраміди. За теоремою Піфагора:

Відповідь: \(8.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання перевіряє вміння використовувати перестановки та комбінаторні правила добутку для розв’язання комбінаторних задач.

Для розв'язання використаймо формулу переміщення \(n\) елементів:

\begin{gather*} P_n=n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \text{...}\cdot n. \end{gather*}

Розмістімо седани. Маємо \(2\) седани на \(2\) фіксовані місця (попереду і позаду). Кількість способів їх розставити – це кількість перестановок із \(2\) елементів, обчислімо за формулою:

\begin{gather*} P_2=2!=1\cdot 2=2. \end{gather*}

Розмістімо джипи. Маємо \(3\) джипи на \(3\) місця в центрі колони. Кількість способів їх розставити – це кількість перестановок із \(3\) елементів:

\begin{gather*} P_3=3!=1\cdot 2\cdot 3=6. \end{gather*}

Оскільки вибір седанів і вибір джипів – це незалежні події, які мають відбутися одночасно, використаймо правило добутку:

\begin{gather*} N=P_2\cdot P_3=2\cdot 6=12. \end{gather*}

Існує \(12\) варіантів сформувати таку колону.

Правило добутку: якщо об’єкт \(A\) можна вибрати \(n\) способами, а об’єкт \(B\) – \(m\) способами, то пару \(A\) і \(B\) можна вибрати \(n\cdot m\) способами.

Відповідь: \(12.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання перевіряє вміння обчислювати похідну суми, значення похідної функції в точці для заданого значення аргумента, кутового коефіцієнта дотичної.

За геометричним змістом похідної \(f'(x_0)=k.\)

Похідна функції в точці – це кутовий коефіцієнт дотичної до графіка в точці \(x_0.\)

\begin{gather*} f(x)=20-3x-x^2. \end{gather*}

Визначмо похідну \(f'(x)\), застосувавши основні правила диференціювання й табличні значення:

\begin{gather*} C,\ \alpha - \text{сталі};\\[7pt] (C)'=0;\\[7pt] (x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}.\\[7pt] f'(x)=(20)'-(3x)'-(x^2)';\\[7pt] f'(x)=0-3-2x=-3-2x;\\[7pt] k=f'(-6)=-3-2\cdot (-6);\\[7pt] k=-3+12=9. \end{gather*}

Відповідь: \(9.\)

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей прямокутників, паралелограмів, трапеції, прямокутних трикутників.

1. Довжина діагоналі прямокутника \(ABCD.\)

Діагональ \(BD\) розбиває прямокутник \(ABCD\) на два рівні прямокутні трикутники. За теоремою Піфагора для \(\Delta ABD\ (\angle A=90^\circ){:}\)

Отже, 1 – B.

2. Відстань від точки \(K\) до прямої \(AN.\) Це довжина перпендикуляра, опущеного з точки на пряму.

Оскільки точки \(K\), \(C\) та \(D\) лежать на одній прямій (за умовою), а пряма \(CD\) перпендикулярна до \(AN\) (бо це сторона прямокутника), то шукана відстань – довжина відрізка \(KD.\)

\begin{gather*} KD=KC+CD. \end{gather*}

У прямокутнику \(ABCD\):
\(AB=CD=5\) см і \(AD=BC=12\) см.

Оскільки \(ABCD\) – прямокутник, кут \(\angle BCD=90^\circ\), а отже і суміжний із ним \(\angle BCK=90^\circ.\) За теоремою Піфагора для трикутника \(\Delta CBK{:}\)

Отже, 2 – Б.

3. Висота трапеції – це відстань між її основами \(DC\) та \(MN.\)

\(DCMN\) – трапеція \(\Rightarrow\ CD\!\parallel\!MN.\) За умовою \(K\), \(C\), \(D\) лежать на одній прямій, яка перпендикулярна до прямої \(AN.\) Оскільки \(DC\) лежить на цій прямій, то основи трапеції перпендикулярні до прямої \(AN\ (DC\!\perp\!DN\), \(MN\!\perp\!DN).\)

\(ABCD\) – прямокутник \(\Rightarrow\ BC\!\parallel\!AD\), \(AB\!\parallel\!CD\), \(AB=CD=5\) см, \(BC=AD=12\) см. Усі кути \(90^\circ.\)

\(BKMC\) – паралелограм \(\Rightarrow BK\!\parallel\!MC\), \(BC\!\parallel\!KM\), \(BK=MC=15\) см, \(BC=KM=12\) см.

Розгляньмо чотирикутник \(DKMN{:}\) \(CK\!\parallel\!MN\), \(KM\!\parallel\!DN\), \(KC\!\perp\!DN.\)

Чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні, а один кут прямий, – прямокутник. Тобто \(DKMN\) – прямокутник.

\begin{gather*} DN=KM=12\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

1. Функція \(y=x\) і пряма \(y=x+3.\)

Обидві функції лінійні. Їхні кутові коефіцієнти (число перед \(x\)) однакові: \(k_1=1\) та \(k_2=1.\) Якщо кутові коефіцієнти рівні, а вільні члени різні \((0\ne 3)\), то прямі паралельні. Паралельні прямі не мають спільних точок.

Отже, правильна відповідь – A.

2. Функція \(y=2^{-x}\) або \(y=\dfrac{1}{2^x}\) – це спадна показникова функція, яка набуває лише додатних значень. Пряма \(y=x+3\) є функцією, що зростає.

Оскільки одна функція монотонно зростає, а інша монотонно спадає на всій області визначення, вони можуть мати не більш як одну спільну точку.

Отже, правильна відповідь – Б.

3. Графік функції \(y=\dfrac 1x\) – гіпербола, гілки якої розташовані в I та III чвертях. Вона нескінченно наближається до осей \(Ox\) та \(Oy\), але ніколи їх не перетинає.

Пряма \(y=x+3\) перетинає обидві гілки гіперболи.

Отже, правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – A, 2 – Б, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних, ірраціональних виразів, знання модуля числа та його властивостей.

1. Оскільки \(1\lt \sqrt{5}\), то \(1-\sqrt{5}\lt 0.\)

За означенням модуля:

Отже, правильна відповідь – Б.

2. Оскільки \(10=2\cdot 5=2\cdot (\sqrt{5})^2.\) Винесімо спільний множник у чисельнику:

Отже, правильна відповідь – B.

3. Оскільки \(\sqrt{5}=5^{\textstyle \frac 12}.\)

Скористаймося властивостями логарифма:

\begin{gather*} \log_a b^n=n\cdot\log_a b;\\[7pt] \log_a a=1;\\[7pt] \log_{\textstyle \sqrt{5}} 5=\log_{\textstyle 5^{\frac 12}} 5=\frac{1}{\frac 12}\cdot \log_5 5=2. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – B, 3 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ \frac x2=-1.\\[6pt] \frac x2=\mathrm{arctg}\ (-1)+\pi n,\ n\in Z;\\[6pt] \frac x2=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in Z;\\[6pt] x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n, n\in Z. \end{gather*}

Якщо \(n=0\), то \(x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi\cdot 0=-\dfrac{\pi}{2}.\)

Відповідь: Д.