ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіками, використовувати елементарні перетворення графіків функцій.

Перенесення графіка функції паралельно вздовж осі \(Ox\) – це перетворення виду: \begin{gather*} f(x)\Rightarrow f(x+A), \end{gather*} де \(A\) – кількість одиниць, на яку перенесли графік.

Якщо \(A\gt 0\) – переносимо графік уліво, якщо \(A\lt 0\) – переносимо вправо.

Отже, графік функції \(y=x^2\) перенесли на \(3\) одиниці ліворуч й отримали графік функції \(y=(x+3)^2.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції. Відсотки.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі, працювати із частинами цілого та вивляти взаємозв’язок між звичайними дробами й відсотками.

Увесь ігровий час вважатимемо за \(1\) (ціле). Команда господарів володіла шайбою \(\dfrac 35\) часу, тому на частку гостей припадає решта:

Отже, команда гостей володіла шайбою \(\dfrac 25\) ігрового часу.

Переведімо цей дріб у відсотки:

\begin{gather*} \frac 25\cdot 100\ \%=40\ \%. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання властивостей призми та вміння розв’язувати стереометричні задачі.

Площу бічної поверхні призми визначмо за формулою: \begin{gather*} S_\text{біч}=P_\text{осн}\cdot H. \end{gather*}

В основі правильної чотирикутної призми лежить квадрат зі стороною \(a\), тож його периметр: \begin{gather*} P=4a. \end{gather*}

За умовою задачі висота \(H=2a.\)

Отже,

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені у графічній і текстовій формах.

Отже, кількість опадів перевищувала \(60\) мм у \(5\), \(6\) та \(7\text{-му}\) місяцях.

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання перевіряє знання аксіом планіметрії, уміння застосовувати властивості найпростіших геометричних фігур у розв'язуванні планіметричних задач.

За умовою \(MB=2AM\), отже \(MB=2\cdot 12=24\) см.

Нехай точка \(K\) – середина \(AM\), а точка \(C\) – середина \(MB.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності.

Завдання перевіряє знання властивостей нерівностей і вміння розв’язувати лінійні нерівності.

\begin{gather*} x\in (-\infty; -3]. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Форми наведення статистичної інформації: графічна, таблична та текстова.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, відображену на діаграмі.

На круговій діаграмі показано розподіл занять. Сектор Zoom (найсвітліший відтінок сірого) – половина круга. Сектор Google Meet (світло-сірий) і сектор Teams (темно-сірий) разом – друга половина круга.

Оскільки сектор Zoom – половина круга, то він відображає \(50\ \%\) від усієї кількості занять.

Щоб обчислити кількість занять у Zoom, треба загальну кількість занять поділити на \(2{:}\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння підносити до квадрата вираз з ірраціональним числом.

Для розв’язання завдання треба знати правила дій зі степенями.

Застосуймо властивості:

• степеня

\begin{gather*} (ab)^x=a^x\cdot b^x; \end{gather*}  

• арифметичного квадратного кореня

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання спрямовано на перевірку навичок розв’язання квадратних рівнянь, їхнього аналізу та дослідження рівнянь із параметрами.

Для зведеного квадратного рівняння \(x^2+px+q=0\) за теоремою Вієта сума коренів дорівнює \(x_1+x_2=-p\), а добуток \(x_1\cdot x_2=q.\)

У заданому рівнянні:

Підставимо \(x_2=x_1+4\) у рiвняння добутку:

Розв’яжімо, це рівняння

Для кожного варіанта \(x_1\) знайдімо \(x_2\) та параметр \(m\), використовуючи суму коренів \(x_1+x_2=2m-2.\)

1. Для \(x_1=-7.\)

\(-4\lt 0\) підходить.

2. Для \(x_1=3.\)

\(6\gt 0\) не підходить.

Відповідь: \(-4.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

Діагональний переріз прямої призми — це прямокутник. Його сторони — це діагональ ромба \((d)\) та висота призми \((H).\) Периметр цього прямокутника розраховується за формулою:

Підставмо відомі значення:

\begin{gather*} 58=2(d+5);\\[7pt] 29=d+5;\\[7pt] d_1=24. \end{gather*}

Діагоналі ромба перетинаються під кутом \(90^\circ\) і діляться навпіл. Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta COD\), де: \(CD=20\) (сторона ромба), \(OD=24:2 = 12\) (половина відомої діагоналі \((d_1)\) ромба).

За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} CD^2=OD^2+OC^2;\\[7pt] 20^2=12^2+OC^2;\\[7pt] 400=144+OC^2;\\[7pt] OC^2=400-144=256;\\[7pt] OC=\sqrt{256}=16. \end{gather*}

Отже друга діагональ ромба

\begin{gather*} d_2=AC=2\cdot OC=2\cdot 16=32. \end{gather*}

Формула об’єму призми:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H. \end{gather*}

Площа основи (ромба):

Відповідь: \(1920.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку знання означення комбінації, вміння розв’язувати комбінаторні задачі використовуючи правило добутку.

Оскільки Микола купує «різні» флешки і нам не важливо, яку він покладе в кошик першою, а яку другою, скористаймося формулою комбінацій вибору \(k\) варіантів з \(n\) можливих:

Обираємо \(2\) флешки по \(32\) ГБ.

Миколі потрібно вибрати \(2\) з \(12\) наявних варіантів.

Обираємо \(1\) флешку по \(64\) ГБ.

Миколі потрібно вибрати \(1\) варіант із \(10.\) Це можна зробити \(10\) способами.

Оскільки Микола має купити і першу групу, і другу одночасно, застосуймо правило добутку:

Правило добутку: Якщо об’єкт \(A\) можна вибрати \(n\) способами, а об’єкт \(B\) — \(m\) способами, то пару \(A\) і \(B\) можна вибрати \(n\cdot m\) способами.

Відповідь: \(660.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл.

Завдання перевіряє вміння обчислювати первісну, використовуючи її основні властивості, застосовувати формулу Ньютона – Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла.

Використали властивості логарифма:

Відповідь: \(2{,}5.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутників.

1. Периметр — це сума всіх сторін. Трикутник рівнобедрений, бічні сторони \(AB=BC=10\) см.

Отже, правильна відповідь — Г.

2.

Проведемо висоту \(BH\) до основи \(AC.\) У рівнобедреному трикутнику висота є також медіаною, тому вона ділить основу навпіл:

Розглянемо прямокутний трикутник \(ABH\ (\angle H=90^\circ){:}\)

За теоремою Піфагора:

Отже, правильна відповідь — В.

3. Знайдімо радіус описаного кола для довільного трикутника за формулою через сторони та площу:

Площа трикутника \(S{:}\)

Отже, правильна відповідь — А.

Відповідь: 1 – Г, 2 – В, 3 – А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння установлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Побудуймо задані графіки функцій.

1. \(y=x^2+4\) квадратична функція, графіком якої є парабола.

Функція спочатку спадає, а потім зростає. Має лише одну точку локального екстремуму при \(x=0\), \(f_{min}(0)=4.\) Отже, правильна відповідь — A.

2. \(y=\log_4 x\) логарифмічна функція з основою \(a=4.\)

Оскільки основа \(4\gt 1\), функція є зростаючою на всій своїй області визначення \((x\gt 0).\) Отже, правильна відповідь — Б.

3. \(y=4-2x\) лінійна функція вигляду \(y=kx+b\), де \(k=-2.\)

Оскільки коефіцієнт \(k\) від'ємний \((k\lt 0)\), пряма нахилена вниз, тобто функція спадає на всій області визначення. Отже, правильна відповідь — Г.

Відповідь: 1 – А, 2 – Б, 3 – Г.