ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати рівняння.

\(\cos x = \pi\) не має коренів, бо рівняння \(\cos x = a\) має корені при \(|a| \le 1.\)

\(x = -x\) має один корінь \(x = 0.\)

\(|x| = x\) має безліч коренів при \(x \ge 0.\)

\(|-x| = 2\) має два корені \(x = \pm 2\).

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла та поверхні обертання.

Це завдання перевіряє знання формули площі поверхні циліндра.

\(H = 12\) см, \(R = 4\) см.

Площа поверхні циліндра на рис. 1.

Сума площ поверхонь утворених циліндрів відрізняється на суму площ двох кругів, які є основами циліндра.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє знання формул скороченого множення, вміння виконувати тотожні перетворення раціональних та ірраціональних виразів.

Використали формулу «сума кубів».

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості кола та його частин до розв’язування задач практичного змісту.

Радіус великого кола \(R = 2\) м. Тоді радіус малого кола (з якого зроблені півкола всередині) \(r = 1\) м.

Для виготовлення емблеми необхідно гнучкого матеріалу довжиною

Для придбання матеріалу вартістю \(100\) грн за \(1\) м необхідно

Найменша сума грошей з наведених \(2310\) грн.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл.

Це завдання перевіряє вміння знаходити первісну, застосовуючи її основні властивості.

Первісна для даної функції \((C = 0).\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функції, заданої формулою або графіком.

Виконаємо елементарні перетворення графіків функції на площині \(y = \sqrt{x} \Rightarrow y = \sqrt{-x}\) симетрія відносно осі \(Oy.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

1. \(1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha.\) Отже, 1 – Д.

2. \(2\sin\alpha \cdot \cos\alpha = \sin2\alpha.\) Отже, 2 – В.

3. \(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos2\alpha.\) Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – В, 3 – Б, 4 – А.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання ознаки паралельності прямої та площини у просторі.

Використаємо ознаку паралельності прямої та площини: якщо пряма, яка не лежить у площині, паралельна прямій, що лежить у площині, то ця пряма паралельна площині.

1. \(BC\!\parallel\!B_1C_1\) та \(B_1C_1 \in (AB_1C_1D)\), звідси \(BC\!\parallel\!(AB_1C_1D).\) Отже, 1 – A.

2. \(D_1C\!\parallel\!A_1B\) та \(D_1C \in (DCC_1D_1)\), звідси \(A_1B\!\parallel\!(DCC_1D_1).\) Отже, 2 – B.

3. \(DD_1\!\parallel\!AA_1\) та \(AA_1 \in (AA_1C_1C)\), звідси \(DD_1\!\parallel\!(AA_1C_1C).\) Отже, 3 – Д.

4. \(BD\!\parallel\!B_1D_1\) та \(B_1D_1 \in (AB_1D_1)\), звідси \(BD\!\parallel\!(AB_1D_1).\) Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – А, 2 – В, 3 – Д, 4 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні, показникові, логарифмічні, квадратні нерівності.

1. \(5^{x-2} \gt 1\), \(5^{x-2} \gt 5^0\), \(x - 2 \gt 0\), \(x \gt 2\) (\(y = 5^x\) зростаюча функція). \(x \in (2; +\infty)\).
Отже, 1 – Д.

2. \(-\dfrac{2}{x + 2} \gt 0\), \(x + 2 \lt 0\), \(x\lt -2\), \(x \in (-\infty; -2).\)

\(-\dfrac{2}{x + 2}\), дріб додатний, коли чисельник та знаменник одного знаку. Значить, \(x + 2 \lt 0.\) Отже, 2 – Г.

3. \(\log_2 x \lt 1\), \(\log_2 x \lt \log_2 2\) (\(y = \log_2 x\) зростаюча функція), область допустимих значень \(x \lt 2\), \(x\gt 0.\)

\begin{gather*} x \in (0; 2). \end{gather*}

Отже, 3 – B.

4. \(x^2\lt 4\), \(x^2 - 4\lt 0\), \((x - 2)(x + 2)\lt 0.\) Використовуємо метод інтервалів:

\begin{gather*} x \in (-2; 2). \end{gather*}

Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – В, 4 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функції, заданої графіком або формулою.

1.

Отже, 1 – A.

2.

Отже, 2 – Б.

3.

Отже, 3 – Г.

4.

Отже, 4 – B.

Відповідь: 1 – A, 2 – Б, 3 – Г, 4 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні).

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Якщо \(a = 1{,}1\); \(b = 0{,}8\), то

Відповідь: \(-9.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння.

Знайдемо ОДЗ:

\begin{gather*} \begin{cases} x - 2 \ge 0, \\ 2x + 1 \ge 0, \end{cases}\ \ \begin{cases} x \ge 2, \\ x \ge -0{,}5. \end{cases}\\[7pt] x \in [2; +\infty). \end{gather*}

Піднесемо до квадрату обидві частини рівняння:

\begin{gather*} (x - 2)(2x + 1) = 3;\\[7pt] 2x^2 + x - 4x - 2 - 3 = 0;\\[7pt] 2x^2 - 3x - 5 = 0;\\[7pt] D = 9 - 4 \cdot 2(-5) = 49;\\[6pt] x_1 = \frac{3 + 7}{4} = 2{,}5;\\[6pt] x_2 = \frac{3 - 7}{4} = -1 \notin\ \text{ОДЗ}. \end{gather*}

Відповідь: \(2{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Дослідження функції за допомогою похідної.

Це завдання перевіряє вміння знаходити найбільше значення функції за допомогою похідної:

\begin{gather*} y = 12x - x^3,\ x \in [0; 3]. \end{gather*}

Найбільше значення функції знаходимо за допомогою похідної:

\begin{gather*} y' = 12 - 3x^2. \end{gather*}

Знаходимо критичні точки: \(y' = 0{:}\)

\begin{gather*} 12 - 3x^2 = 0;\\[7pt] 3(4 - x^2) = 0;\\[7pt] 3(2 - x)(2 + x) = 0. \end{gather*}

\(x = 2\), \(x = -2\) – критичні точки.

Відрізку \([0; 3]\) належить лише \(x = 2.\) Знаходимо значення функції на кінцях відрізку та у критичній точці:

\begin{gather*} y(0) = 12 \cdot 0 - 0^3 = 0;\\[7pt] y(3) = 12 \cdot 3 - 3^3 = 36 - 27 = 9;\\[7pt] y(2) = 12 \cdot 2 - 2^3 = 24 - 8 = 16;\\[7pt] {\mathrm{max}_{[0;3]} f(x)}=f(2) = 16. \end{gather*}

Відповідь: \(16.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати нескладні комбінаторні задачі.

Всього \(10\) цифр: \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\), \(9\).

Для того, щоб перша цифра двоцифрового числа була парною, існує \(4\) способи (\(2\), \(4\), \(6\), \(8\)), а щоб друга цифра непарною – \(5\) способів (\(1\), \(3\), \(5\), \(7\), \(9\)).

Отже, використовуючи комбінаторне правило множення, отримаємо:

\begin{gather*} 4 \cdot 5 = 20\ \text{способів}. \end{gather*}

Відповідь: \(20.\)