Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 390

Математика. Всі запитання починаючи з 390

391392393394395396397398399400401402403404405 ▶

Завдання 391 з 2265

Розв’яжіть нерівність \(\log_{\textstyle \frac15}x\gt2\).

А\((-\infty;\frac1{25})\)

Б\((\frac1{25};+\infty)\)

В\((0;\frac1{25})\)

Г\((10;+\infty)\)

Д\((-\infty;\frac1{10})\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні нерівності.

\begin{gather*} \log_{\textstyle \frac 15} x\gt 2;\\[7pt] \log_{\textstyle \frac 15} x\gt \log_{\textstyle \frac 15} \frac{1}{25}. \end{gather*}

Функція \(\log_{\textstyle \frac{1}{5}} x\) – спадна, отже ОДЗ:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x\lt \dfrac{1}{25}, \\ x\gt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

\begin{gather*} x \in \left(0; \frac{1}{25}\right). \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6402

Завдання 392 з 2265

Об’єм циліндра дорівнює \(48\) см\(^3\). Знайдіть об’єм конуса, радіус основи якого дорівнює радіусу основи циліндра, а висота вдвічі менша за висоту циліндра.

А\(6\) см\(^3\)

Б\(8\) см\(^3\)

В\(16\) см\(^3\)

Г\(24\) см\(^3\)

Д\(36\) см\(^3\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей циліндра та конуса, формули об’ємів тіл обертання.

\begin{gather*} V_\text{циліндра} = S_\text{осн} \cdot H = \pi R^{2}H = 48\ \text{см}^3. \end{gather*}

\(R\) – радіус основи циліндра.
\(H\) – висота циліндра.

\begin{gather*} V_\text{конуса} = \frac 13 S_\text{осн} \cdot h = \frac 13\pi r^2h. \end{gather*}

\(r = R\) – радіус конуса.
\(h = \dfrac 12H\) – висота конуса.

\begin{gather*} V_\text{конуса} = \frac 13\pi R^2 \cdot \frac 12H = \frac 16\pi R^2H = \frac 16 \cdot 48 = 8\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6403

Завдання 393 з 2265

У кіоску є \(10\) видів вітальних листівок з Новим роком. Скільки всього можна утворити різних наборів листівок, кожен із яких складається з трьох листівок різних видів?

А\(30\)

Б\(90\)

В\(120\)

Г\(240\)

Д\(720\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати нескладні комбінаторні задачі.

Кількість способів вибрати з \(10\) листівок \(3\) знайдемо за формулою сполук.

\begin{gather*} C_{n}^{m} = \frac{n!}{(n - m)!\cdot m!}.\\[6pt] C_{10}^{3} = \frac{10!}{(10 - 3)!\cdot 3!} = \frac{10!}{7!\cdot 3!} = \frac{8 \cdot 9 \cdot 10}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 4 \cdot 3 \cdot 10 = 120. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6404

Завдання 394 з 2265

Прямі, що містять сторони правильного п’ятикутника \(ABCDF\), перетинаються у точках \(K\), \(L\), \(M\), \(N\), \(P\). Знайдіть градусну міру кута \(AKB\).

А\(18^\circ\)

Б\(26^\circ\)

В\(30^\circ\)

Г\(36^\circ\)

Д\(60^\circ\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Многокутники.

Це завдання перевіряє знання формули суми внутрішніх кутів многокутника, суми кутів трикутника.

Сума внутрішніх кутів \(n\)-кутника знаходимо за формулою: \(180^\circ (n - 2).\)

Кожний кут правильного п’ятикутника дорівнює:

\begin{gather*} \frac{180^\circ (5 - 2)}{5} = 108^\circ. \end{gather*}

\(\angle FAB = 108^\circ.\)

\(\angle KAB = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ\) (суміжний з \(\angle FAB\)).

\(\Delta AKB\) – рівнобедрений, \(\angle A = \angle B = 72^\circ.\)

\begin{gather*} \angle K = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (72^\circ + 72^\circ) = 36^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6405

Завдання 395 з 2265

Установіть відповідність між числовими виразами (1–4) та їхніми значеннями (А – Д).

1\(2003^2-1997^2\)

2\(186^2-186\cdot132+66^2\)

3\(98^2+98\cdot104+52^2\)

4\(47^3-47^2\cdot51+17^2\cdot141-17^3\)

А\(64\,000\)

Б\(27\,000\)

В\(24\,000\)

Г\(22\,500\)

Д\(14\,400\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні).

Це завдання перевіряє знання формул скороченого множення, вміння виконувати арифметичні дії з натуральними числами.

1. \(2003^2-1997^2=(2003-1997)(2003+1997)=6\cdot 4000=24000.\) Отже, 1 – B.

2. \(186^2-186\cdot 132+66^2=186^2-2\cdot 186\cdot 66+66^2=(186-66)^2=\)
\(=120^2=14400.\) Отже, 2 – Д.

3. \(98^2+98\cdot 104+52^2=98^2+2\cdot 98\cdot 52+52^2=(98+52)^2=150^2=22500.\) Отже, 3 – Г.

4. \(47^3-47^2\cdot 51+17^2\cdot 141-17^3=47^3-3\cdot 47^2\cdot 17+3\cdot 47\cdot 17^2-17^3=\)
\(=(47-17)^3=30^3=27000.\) Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – B, 2 – Д, 3 – Г, 4 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6406

Завдання 396 з 2265

Установіть відповідність між функціями, заданими формулами (1–4), та їхніми областями значень (А – Д).

1\(y=\log_2x\)

2\(y=2^x\)

3\(y=2\sqrt x\)

4\(y=2-x^2\)

А\([2;+\infty)\)

Б\([0;+\infty)\)

В\((-\infty;2]\)

Г\((0;+\infty)\)

Д\((-\infty;+\infty)\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє знання властивостей елементарних функцій.

1. \(y = \log_2 x\), \(E(y) = (-\infty; +\infty).\)

Отже, 1 – Д.

2. \(y = 2^x\), \(E(y) = (0; +\infty).\)

Отже, 2 – Г.

3. \(y = 2\sqrt{x}\), \(E(y) = [0; +\infty).\)

Отже, 3 – Б.

4. \(y = 2 - x^2\), \(E(y) = (-\infty; 2].\)

Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – Б, 4 – B.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6407

Завдання 397 з 2265

На рисунках (1–4) зображено куб і три точки, що розміщені у вершинах куба або є серединами його ребер. Установіть відповідність між кожним рисунком (1–4) та назвою фігури (А – Д), яка є перерізом куба площиною, що проходить через три задані точки.

Атрикутник

Бпрямокутник

Втрапеція

Гп’ятикутник

Дромб

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4
5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання властивостей многогранників, уміння будувати перерізи, встановлювати їх вид.

трапеція. Січна площина перетинає паралельні площини по паралельних прямих \(BC\!\parallel\!AD.\) Отже, 1 – В.

трикутник. Отже, 2 – А.

ромб. Отже, 3 – Д.

прямокутник. Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – B, 2 – А, 3 – Д, 4 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6409

Завдання 398 з 2265

Знайдіть значення похідної функції \(f(x)=\sqrt{10-3x}\) у точці \(x_0=-2\).

Впишіть відповідь:

-0.375

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідні елементарних функцій.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідні елементарних функцій, значення похідної функції в точці.

Знаходимо похідну функції як складної:

\begin{gather*} f'(x) = (\sqrt{10 - 3x})' = \frac{1}{2\sqrt{10 - 3x}} \cdot (10 - 3x)' = \frac{-3}{2\sqrt{10 - 3x}};\\[6pt] f'(x_{0}) = f'(-2) = \frac{-3}{2\sqrt{10 + 6}} = -\frac 38 = -0{,}375. \end{gather*}

Відповідь: \(-0{,}375.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6410

Завдання 399 з 2265

\(4\) кг огірків і \(5\) кг помідорів коштували \(44\) гривні. Після того як огірки подорожчали на \(50\ \%\), а помідори подешевшали на \(40\ \%\), за \(4\) кг огірків і \(5\) кг помідорів заплатили \(39\) гривень. Знайдіть початкову вартість \(x\) одного кілограма огірків і початкову вартість \(y\) одного кілограма помідорів. У відповідь запишіть суму \(x+y\) (у грн).

Впишіть відповідь:

9.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі за допомогою рівнянь та їхніх систем.

Нехай \(x\) грн коштували \(1\) кг огірків, \(y\) грн – \(1\) кг помідорів.

За \(4\) кг огірків і \(5\) кг помідорів заплатили \(44\) гривні, отже, \(4x + 5y = 44.\)

Після подорожчання огірків їхня ціна за \(1\) кг стала \(1{,}5x\) грн, а помідорів після подешевшання – \(0{,}6y\) грн за \(1\) кг.

За \(4\) кг огірків та \(5\) кг помідорів заплатили \(39\) грн.

\begin{gather*} 4 \cdot 1{,}5x + 5 \cdot 0{,}6y = 39. \end{gather*}

Складемо систему:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 4x + 5y = 44, \\ 6x + 3y = 39\ \ |:3, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} 4x + 5y = 44, \\ 2x + y = 13, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} 4x+5(13-2x)=44,\\ y=13-2x, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} -6x=-21,\\ y=13-2x, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x=3{,}5,\\ y=13-2\cdot 3{,}5, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x=3{,}5,\\ y=6. \end{array}\right.\\[7pt] x + y = 3{,}5 + 6 = 9{,}5. \end{gather*}

Відповідь: \(9{,}5.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6411

Завдання 400 з 2265

Обчисліть \(\log_{32}8-3^{\textstyle \frac2{\log_73}}\).

Впишіть відповідь:

-48.4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні), їх порівняння та дії з ними.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів, знання властивостей логарифма.

\begin{gather*} \log_{32} 8 - 3^{\textstyle \frac{2}{\log_7 3}} = \log_{32} 8 - 3^{\textstyle 2\log_3 7} =\\[6pt] =\log_{\textstyle 2^5} 2^3 - 3^{\textstyle \log_3 49} = \frac 35 - 49 = 0{,}6 - 49 = -48{,}4. \end{gather*}

Відповідь: \(-48{,}4.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6412

Завдання 401 з 2265

Функцію \(y=x^4+2x-3\), визначену на множині всіх дійсних чисел, подайте у вигляді \(y=f(x)+g(x)\), де \(f(x)\) – парна функція, \(g(x)\) – непарна функція. У відповідь запишіть значення виразу \(f(-1)-4\cdot g(3)\).

Впишіть відповідь:

-26

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою.

\(y = x^{4} + 2x - 3\), \(D(y) = R.\)

Подамо функцію у вигляді

\begin{gather*} y = f(x) + g(x), \end{gather*}

де \(f(x)\) – парна функція, \(g(x)\) – непарна функція.

\begin{gather*} f(x) = x^4 - 3\left(f(-x) = (-x)^4 - 3 = x^4 - 3 = f(x)\right).\\[7pt] g(x) = 2x\left(g(-x) = -2x = -g(x)\right);\\[7pt] f(-1) = (-1)^4 - 3 = 1 - 3 = -2;\\[7pt] g(3) = 2 \cdot 3 = 6. \end{gather*}

Значення виразу

\begin{gather*} f(-1) - 4g(3) = -2 - 4 \cdot 6 = -2 - 24 = -26. \end{gather*}

Відповідь: \(-26.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6413

Завдання 402 з 2265

Розв’яжіть рівняння \(\dfrac{2\cos x+1}{\sqrt{27+6x-x^2}}=0\).

У відповідь запишіть кількість усіх його коренів. Якщо рівняння має безліч коренів, то у відповідь запишіть число \(100\).

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати тригонометричні та квадратні рівняння, нерівності та їхні системи.

Знайдемо область допустимих значень \(x{:}\)

\begin{gather*} 27 + 6x - x^2\gt 0;\\[7pt] x^2 - 6x - 27\lt 0;\\[7pt] x^2 - 6x - 27 = 0;\\[7pt] D = 36 + 4 \cdot 27 = 144;\\[6pt] x_1=\frac{6 + 12}{2} = 9;\\[6pt] x_2 = \frac{6 - 12}{2} = -3. \end{gather*}

\begin{gather*} x \in (-3; 9). \end{gather*}

\begin{gather*} 2\cos x + 1 = 0;\\[6pt] \cos x = -\frac 12;\\[6pt] x = \pm \arccos\left(-\frac 12\right) + 2\pi n,\ n \in Z;\\[6pt] x = \pm \left(\pi - \arccos \frac 12\right) + 2\pi n,\ n \in Z;\\[6pt] x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n,\ n \in Z. \end{gather*}

Знайдемо корені, які належать ОДЗ.

\begin{gather*} n = 0\ x = \frac{2\pi}{3} \in \text{ОДЗ};\\[6pt] x = -\frac{2\pi}{3} \in \text{ОДЗ};\\[6pt] n = 1\ x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3} \in \text{ОДЗ};\\[6pt] x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3} \in \text{ОДЗ};\\[6pt] n = 2\ x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{14\pi}{3} \notin \text{ОДЗ};\\[6pt] x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3} \notin \text{ОДЗ};\\[6pt] n = -1\ x = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3} \notin \text{ОДЗ};\\[6pt] x = -\frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{8\pi}{3} \notin \text{ОДЗ}. \end{gather*}

Отже, кількість коренів – \(4.\)

Відповідь: \(4.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6414

Завдання 403 з 2265

Точки \(K\) і \(L\) – середини сторін \(AB\) і \(AD\) паралелограма \(ABCD\) (див. рисунок). Знайдіть площу п’ятикутника \(KBCDL\) (у см\(^2\)), якщо площа паралелограма \(ABCD\) дорівнює \(24\) см\(^2\).

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограма, властивостей та ознак подібних трикутників.

Площа паралелограма \(S_{ABCD} = 24\ \text{см}^2.\)

У \(\Delta ABD\) \(KL\) середня лінія, \(KL = \dfrac 12BD.\)

\(\Delta AKL\) подібний \(\Delta ABD.\)

\begin{gather*} \frac{KL}{BD} = \frac 12 = k;\\[6pt] \frac{S_{AKL}}{S_{ABD}} = \frac 14 = k^{2};\\[6pt] S_{AKL} = \frac 14S_{ABD} = \frac 14 \cdot 12 = 3\ \text{см}^2;\\[6pt] S_{KBCDL} = S_{ABCD} - S_{AKL} = 24 - 3 = 21\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: \(21.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6415

Завдання 404 з 2265

Знайдіть найбільше значення параметра \(a\), при якому рівняння \(\left|x^2-3|x|-4\right|=a\) має тільки чотири корені. Якщо такого значення \(a\) не існує, то у відповідь запишіть число \(100\).

Впишіть відповідь:

6.25

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє знання властивостей функцій, уміння розв'язувати рівняння графічним методом, рівнянь з параметром.

Розв'яжемо рівняння графічно.

Побудуємо графік \(y=\left|x^2-3|x|-4\right|.\)

Використаємо елементарні перетворення графіка \(y=x^2-3x-4\Rightarrow y=x^2-3|x|-4\) симетрія відносно осі \(Oy\Rightarrow y=\left|x^2-3|x|-4\right|\) симетрія відносно осі \(Ox.\)

\begin{gather*} x_0=\frac 32=1{,}5;\\[6pt] y_0=1{,}5^2-3\cdot 1{,}5-4=-6{,}25. \end{gather*}

\((1{,}5; -6{,}25)\) – вершина параболи.

Точки перетину з осями:

– з \(Ox{:}\)

\begin{gather*} y=0;\\[7pt] x^2-3x-4=0;\\[7pt] D=9+16=25;\\[6pt] x_1=\frac{3+5}{2}=4;\\[6pt] x_2=\frac{3-5}{2}=-1. \end{gather*}

– з \(Oy{:}\)

\begin{gather*} x=0;\\[7pt] y=-4. \end{gather*}

\(a=1\) гілки напрямлені вгору.

\(y=a\) – пряма, паралельна осі \(Ox.\) Кількість розв'язків рівняння \(\left|x^2-3|x|-4\right|=a\) – кількість точок перетину графіків.

Найбільше значення \(a\), при якому рівняння має чотири корені: \(a=6{,}25.\)

Відповідь: \(6{,}25.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6416

Завдання 405 з 2265

У правильну чотирикутну піраміду вписано сферу, площа якої дорівнює \(36\pi\) см\(^2\). Бічна грань піраміди нахилена до площини її основи під кутом \(60^\circ\). Знайдіть об’єм піраміди (у см\(^3\)).

Впишіть відповідь:

324

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання формули для об’єму піраміди, уміння знаходити зазначені відстані та величини кутів у просторі.

\(EABCD\) – правильна піраміда, \(ABCD\) – квадрат, \(EO\) – висота піраміди, центр квадрата.

Побудуємо апофеми \(EK\!\perp\!DC\), \(EL\!\perp\!AD\), \(EM\!\perp\!AB\), \(EN\!\perp\!BC.\) \(DK = KC = AL = LD = AM = MB = BN = NC.\)

За теоремою про три перпендикуляри \(OK\!\perp\!DC\), \(OL\!\perp\!AD\), \(OM\!\perp\!AB\), \(ON\!\perp\!BC.\)

\((EOK)\!\perp\!DC\), \(\angle EKO\) – лінійний кут відповідного двогранного, \(\angle EKO = 60^\circ.\) Аналогічно \(\angle ELO = \angle EMO = \angle ENO = 60^\circ.\)

Центр сфери, вписаної у піраміду, належить висоті \(EO\) (точка \(O_1\)). У \(\Delta EOK\) на катеті \(EO\) виберемо точку \(O_1\) так, щоб \(OO_1=O_1H\), \(O_1H\!\perp\! EK.\) \((EOK)\!\perp\!(EDC)\) за ознакою перпендикулярності площин. Отже, відстань від точки \(O_1\) до \((EDC)\) – відрізок \(O_1H.\)

Аналогічно доводиться, що \((EON)\!\perp\!(BEC)\), \((EOM)\!\perp\!(AEB)\), \((EOL)\!\perp\!(AED).\) \(\Delta EOK = \Delta EON = \Delta EOM = \Delta EOL\), відстані від точки \(O_1\) до апофем \(EL\), \(EM\), \(EN\), \(EK\) – рівні. Отже, точка \(O_1\) – рівновіддалена від бічних граней та основи. Точка \(O_1\) – центр вписаної сфери. \(O_1H=O_1O\) – радіус сфери.

\begin{gather*} S_\text{сфери}=4\pi R^2 = 36\pi;\\[7pt] R^2 = 9;\\[7pt] R = 3\ \text{см радіус сфери.} \end{gather*}

Точка \(O_1\) – рівновіддалена від сторін кута \(HKO\), \(KO_1\) – бісектриса кута. \(\angle O_1KO = 30^\circ.\)

\(\Delta OO_1K\ (\angle O = 90^\circ)\), \(OK = OO_1\mathrm{ctg}\ 30^\circ = 3\sqrt{3}\) см.

\(AD = 2OK = 6\sqrt{3}\ \text{см}.\)

\(\Delta EOK\ (\angle O = 90^\circ)\), \(EO = OK\mathrm{tg}\ 60^\circ = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 9\) см.

\begin{gather*} V_\text{піраміди} = \frac 13S_\text{осн} \cdot H,\ \text{де}\\[6pt] S_\text{осн} = S_{ABCD} = AD^{2} = (6\sqrt{3})^2 = 108\ \text{см}^2.\\[6pt] H = EO = 9\ \text{см}.\\[6pt] V_\text{піраміди} = \frac 13 \cdot 108 \cdot 9 = 324\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: \(324.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6418