ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Це завдання з практичним змістом перевіряє вміння знаходити значення кусково-заданої функції.

Формула обчислення вартості поїздки на таксі передбачає врахування декількох параметрів, а саме: довжини маршруту, вартості замовлення таксі та час, протягом якого таксі рухається (наприклад, очікує на пасажира) або рухається дуже повільно (затори на дорогах або аварійна ситуація). Під час розв’язування завдання потрібно з’ясувати, довжина маршруту \(S\) більше чи менше за \(6\) км. Якщо довжина маршруту менша за \(6\) км, то вартість поїздки є мінімальною. Якщо ж довжина маршруту більша за \(6\) км, то вартість поїздки потрібно визначати за першою формулою кусково-заданої функції.

За умовою, $$ S=10{,}5\gt 6, $$ тоді обчислюємо значення функції (вартість поїздки на таксі) за формулою $$ P=P_{min}+2{,}4\cdot(S-6)+0{,}5t. $$ Підставляємо дані, наведені в умові: \begin{gather*} P_{min}=28,\\[7pt] t=12,\\[7pt] S=10{,}5 \end{gather*} та отримуємо:

Відповідь: \(44{,}8.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Логарифмічні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

Область допустимих значень (ОДЗ) цього рівняння визначається системою

(враховуємо, що логарифмічна функція визначена лише для додатних значень аргументу). Задане рівняння на ОДЗ рівносильне рівнянню: \begin{gather*} 5x^2-8=-3x,\\[7pt] 5x^2+3x-8=0, \end{gather*} звідки \begin{gather*} x_1=1,\\[7pt] x_2=-1{,}6. \end{gather*}

Значення \(x_1=1\), що не задовольняє ОДЗ рівняння, не є коренем заданого рівняння; значення \(x_2=-1{,}6\) задовольняє ОДЗ, отже, є єдиним коренем заданого рівняння.

Відповідь: \(-1{,}6.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Нерівності мішаного типу. Методи інтервалів.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати нерівності мішаного типу.

Виконаємо рівносильні перетворення: \begin{gather*} \frac{10^x-16\cdot 5^x}{x+2}\ge 0,\\[6pt] \frac{5^x(2^x-16)}{x+2}\ge 0,\\[6pt] \frac{5^x(2^x-2^4)}{x+2}\ge 0. \end{gather*}

Оскільки для всіх \(x\in(-\infty; +\infty)\) \(5^x\gt 0\), то $$ \frac{2^x-2^4}{x+2}\ge 0. $$

Останню нерівність, яка рівносильна початковій, розв’яжемо методом інтервалів на заданому проміжку \([-3; 7].\) Знайдемо нулі функції $$ y=\frac{2^x-2^4}{x+2} $$ та точки, в яких вона не визначена. Функція дорівнює нулю, якщо $$ 2^x-2^4=0, $$ звідки \(x=4\). Функція не визначена в точці \(x=-2.\) Нанесемо ці точки на числову вісь, враховуючи, що задана нерівність є нестрогою (знак «\(\ge\)»), отже, точка \(x=4\) – зафарбована. Визначимо знаки виразу $$ \frac{2^x-2^4}{x+2} $$ на цьому проміжку (див. рисунок).

Отже, \([-3; -2)\cup [4; 7]\) – множина розв’язків заданої нерівності на проміжку \([-3; 7].\)

З рисунка видно, що цілими розв’язками нерівності $$ \frac{2^x-2^4}{x+2}\ge 0 $$ на проміжку \([-3; 7]\) є числа \(-3\), \(4\), \(5\), \(6\) та \(7.\) Їх сума дорівнює \(19.\)

Відповідь: \(19.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трапеція.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати площу трапеції.

Щоб розв’язати це завдання потрібно знати саме означення рівнобічної трапеції, її властивості, означення та властивості середньої лінії трапеції та трикутника, бісектриси кута трапеції, а також формули площі трапеції.

Нехай \(ABCD\) – задана рівнобічна трапеція, \(LN\) – її середня лінія, \(LO=13\) см, \(NO=23\) см, \(\angle BAC=\angle CAD\) (див. рисунок). Оскільки \(LO\) і \(NO\) – середні лінії в трикутниках \(BAC\) і \(CAD\) відповідно, то $$ BC=13\cdot 2=26\ \text{см} $$ і $$ AD=23\cdot 2=46\ \text{см}. $$ Оскільки \(\angle BCA=\angle CAD\) як внутрішні різносторонні, то трикутник \(BAC\) рівнобедрений і $$ AB=BC=26\ \text{см}. $$

Опустимо з вершин \(B\) і \(C\) на сторону \(AD\) перпендикуляри \(BK\) і \(CM\) відповідно (див. рисунок). З прямокутного трикутника \(CMD\) за теоремою Піфагора знаходимо висоту:

Площа трапеції дорівнює добутку півсумі її основ на висоту, врахуємо, що за властивістю середньої лінії трапеції

Відповідь: \(864.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Визначений інтеграл. Площа криволінійної трапеції.

Це завдання перевіряє знання геометричного змісту визначеного інтеграла як площі криволінійної трапеції.

Площа криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції \(y=f(x)\), прямими \(x=0\), \(x=1\) і віссю \(x\) (пряма \(y=0\)) (див. рисунок) дорівнює визначеному інтегралу:

За умовою значення цього інтеграла дорівнює \(21\) кв. од. Тоді $$ \frac{a+b}{3}+5=21, $$ звідки \(a+b=48\).

Відповідь: \(48.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла і поверхні обертання. Циліндр. Площа бічної поверхні циліндра.

Це завдання перевіряє знання формули площі бічної поверхні циліндра, вміння будувати переріз циліндра та знаходити зазначені відстані.

На рисунку зображено циліндр, точки \(A\) і \(B\), що лежать відповідно на колах верхньої та нижньої його основи, вісь циліндра \(OO_1.\)

Перерізом циліндра площиною, паралельною осі циліндра \(OO_1\), є прямокутник \(ALBC.\)

Відстань від точки \(O\) – центра нижньої основи – до заданої площини дорівнює довжині відрізка \(OK\), \(OK\ \perp\ BL\), де точка \(K\) – середина відрізка \(BL\) (оскільки радіус, перпендикулярний до хорди, ділить її навпіл), за умовою \(OK=2\) см. Для зручності введемо позначення: \(R\) – радіус основи циліндра, \(H\) – висота циліндра, \(BK=\frac{1}{2}BL=a.\) Шуканий відрізок \(AB\) є гіпотенузою прямокутного трикутника \(BLA.\) За теоремою Піфагора: $$ AB^2=4a^2+H^2. $$

Отже, щоб знайти довжину відрізка \(AB\), потрібно визначити висоту \(H\) і довжину відрізка \(BK.\) За умовою, площа утвореного перерізу дорівнює \(60\sqrt{2}\). Врахувавши, що площа прямокутника дорівнює добутку двох його суміжних сторін, записуємо рівняння: $$ 2aH=60\sqrt{2}, $$ тобто $$ aH=30\sqrt{2}. $$ Площа бічної поверхні циліндра радіуса \(R\) і висоти \(H\) дорівнює $$ S=2\pi RH, $$ отже, записуємо рівняння: $$ 2\pi RH=20\sqrt{30}\pi, $$ звідки $$ RH=10\sqrt{30}. $$ Розглянемо прямокутний трикутник \(BKO\), в якому відрізок \(OK\) є катетом. За теоремою Піфагора запишемо співвідношення: $$ a^2+4=R^2. $$ Отже, маємо систему трьох рівнянь з трьома невідомими:

У формулі для знаходження довжини відрізка \(AB\) радіус \(R\) не фігурує. Тому спочатку виключимо із системи змінну \(R.\) Поділивши перше рівняння на друге, дістанемо $$ \frac{R}{a}=\frac{1}{3}\sqrt{15}, $$ звідки $$ R=\frac{a}{3}\sqrt{15}. $$ Підставимо це значення в останнє рівняння системи: $$ a^2+4=\left(\frac{a}{3}\sqrt{15}\right)^2, $$ звідки \begin{gather*} a^2+4=\frac{5}{3}a^2,\\[6pt] a^2=6. \end{gather*} Ураховуючи друге рівняння, дістаємо \begin{gather*} H=\frac{30\sqrt{2}}{a},\\[6pt] H^2=\frac{1800}{a^2}=\frac{1800}{6}=300. \end{gather*} Таким чином,

Відповідь: \(18.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Система рівнянь з параметром.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати системи рівнянь залежно від значень параметра \(a.\)

Перетворимо систему, виконавши рівносильні перетворення

Побудуємо геометричний образ кожного рівняння в прямокутній системі координат.

1. З рівняння \(2|y-2|+3|x|=11-y\) виразимо \(y\) через \(x\), розкривши модуль \(|y-2|.\)

Якщо \(y\in(-\infty; 2)\), то \(2(-y+2)+3|x|=11-y\), звідки \(y=3|x|-7.\)

Якщо \(y\in[2; +\infty)\), то \(2(y-2)+3|x|=11-y\), звідки \(y=-|x|+5.\)

Таким чином, графіком рівняння \(2|y-2|+3|x|=11-y\) є об’єднання частин графіків двох функцій: \(y=3|x|-7\), якщо \(y\in(-\infty; 2)\), і \(y=-|x|+5\), якщо \(y\in[2; +\infty)\) (див. рисунок).

2. Геометричним образом рівняння \(|5x-2a|=|y|\) є сукупність двох прямих: \(y=5x-2a\) і \(y=-5x+2a.\) На рисунку зображено геометричні образи цього рівняння для певних значень параметра \(a.\) Зазначимо, що графік цього рівняння при кожному фіксованому значенні параметра \(a\) симетричний відносно прямої \(x=\frac{2}{5}a.\)

Після геометричної інтерпретації рівнянь системи $$ \left\{\begin{array}{l} 2\sqrt{y^2-4y+4}+3|x|=11-y,\\ 25x^2-20ax=y^2-4a^2, \end{array}\right. $$ зрозуміло, що єдине від’ємне значення параметра \(a\), при якому ця система матиме єдиний розв’язок буде лише у випадку, зображеному на рисунку.

В цьому випадку пряма \(y=5x-2a\) має пройти через точку \((-3; 2).\) З цієї умови і знаходимо значення параметра \(a{:}\) \(2=5\cdot(-3)-2a\), звідки \(a=-8{,}5.\)

Відповідь: \(-8{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відсотки.

Це завдання перевіряє вміння записувати число у вигляді відсотка.

Щоб виразити число у відсотках, треба помножити його на \(100\ \%.\) Тоді $$ \frac{1}{5} \cdot 100\ \% = 20\ \%. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші фігури на площині. Довжина відрізка.

Це завдання перевіряє вміння знаходити довжини відрізків, використовуючи основну властивість вимірювання відрізків.

Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які відрізок ділиться будь-якою його точкою.

Розділимо відрізок \(AB\) точками \(K\), \(L\), \(M\) на рівні відрізки \(AK\), \(KL\), \(LM\) та \(MB\) (див. рисунок).

Тоді довжина кожного з цих відрізків дорівнює $$ \frac{1}{4} AB = \frac{1}{4} \cdot 60 = 15\ \text{см}. $$ Нехай точки \(C\) і \(D\) – середини крайніх відрізків \(AK\) і \(MB\) відповідно. Тоді

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Квадратні рівняння. Теорема Вієта.

Це завдання перевіряє вміння знаходити добуток коренів квадратного рівняння.

Перший спосіб. За теоремою Вієта, якщо зведене квадратне рівняння $$ x^{2} + px + q = 0 $$ має корені \(x_{1}, x_{2}\), то \begin{gather*} x_{1} + x_{2} = -p,\\[7pt] x_{1} \cdot x_{2} = q. \end{gather*} Задане рівняння $$ x^{2} + 6x - 55 = 0 $$ має два корені, оскільки його дискримінант

Тоді за теоремою Вієта їх добуток дорівнює \(-55.\)

Другий спосіб. Можна розв’язувати це завдання, не використовуючи теорему Вієта. Знайдемо корені заданого квадратного рівняння:

Тоді \(x_{1}\cdot x_{2} = (-11)\cdot 5 = -55.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні дроби.

Це завдання перевіряє вміння спрощувати раціональні дроби, використовуючи основну властивість дробу: якщо чисельник і знаменник дробу домножити або розділити на одне і те ж саме відмінне від нуля число, то значення дробу не зміниться.

Дріб можна скоротити, якщо його чисельник і знаменник мають спільні множники. Оскільки \begin{gather*} 3x^{2}y = 3xy \cdot x,\\[7pt] 9xy^{3} = 3\cdot 3xy \cdot y^{2}=3xy\cdot 3y^2, \end{gather*} то спільним множником чисельника і знаменника є вираз \(3xy.\) Тоді

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати належність точки графіку функції.

Точка \((x_{0}; y_{0})\) належить графіку функції \(y = f(x)\), якщо її координати задовольняють умову \(f(x_{0}) = y_{0}\).

Перевіримо кожну з наведених точок:

А. Точка \((2; 7)\) не може належати графіку функції \(y = \frac{5 + x}{x - 2}\), оскільки абсциса цієї точки \(x = 2\) не входить до області визначення функції. При \(x=2\) знаменник дробу перетворюється на нуль, тому вираз не має змісту.

Б. \(\frac{5 + 1}{1 - 2} = -6 \ne 6\), точка \((1; 6)\) не належить графіку функції.

В. \(\frac{5 + (-3)}{-3 - 2} = -0{,}4 \ne 0{,}4\), точка \((-3; 0{,}4)\) не належить графіку функції.

Г. \(\frac{5 + 0}{0 - 2} = -2{,}5 \ne 2{,}5\), точка \((0; 2{,}5)\) не належить графіку функції.

Д. \(\frac{5 + 4}{4 - 2} = 4{,}5\), точка \((4; 4{,}5)\) належить графіку функції.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Паралелограм та його властивості.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограма. Розглянемо окремо кожне твердження.

I. \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ\) – твердження є правильним, оскільки сума внутрішніх кутів будь-якого опуклого чотирикутника дорівнює \(360^\circ.\)

II. \(\angle B + \angle D = 180^\circ\) – це твердження неправильне. Протилежні кути паралелограма рівні, їх сума може дорівнювати \(180^\circ\) лише тоді, коли ці кути прямі. Але з рисунка видно, що кути \(B\) і \(D\) – тупі (їх градусна міра перевищує \(90^\circ\), отже, їх сума більша за \(180^\circ\)).

III. \(\angle B - \angle A \gt 0^\circ\) – ця нерівність рівносильна нерівності \(\angle B \gt \angle A.\) З рисунка видно, що це твердження є правильним. Отже, правильні твердження I і III.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Логарифмічні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші логарифмічні рівняння.

За означенням логарифмом числа \(b\) за основою \(a\) (позначають \(\log_a b\)) називають показник степеня, до якого треба піднести основу \(a\), щоб одержати число \(b.\) Отже, якщо \(\log_a b = t\), то \(b = a^t.\) Зазначимо, що \(a \gt 0\), \(a \ne 1\), \(b \gt 0.\)

Звідси випливає, що коренем рівняння \(\log_3 x = -1\) є число \(x = 3^{-1} = \frac{1}{3}.\)

Відповідь: A.