Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 480

Математика. Всі запитання починаючи з 480

481482483484485486487488489490491492493494495 ▶

Завдання 481 з 2199

Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $\left(\frac 38\right)^x=\frac 83.$

А$(-6; -4)$

Б$(-4; -2)$

В$(-2; 0)$

Г$(0; 2)$

Д$(2; 4)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Показникові рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові рівняння, знання властивостей степенів.

За властивістю степенів:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n},\\[6pt] \frac 83=\left(\frac 38\right)^{-1},\\[6pt] \left(\frac 38\right)^x=\left(\frac 38\right)^{-1},\\[6pt] x=-1. \end{gather*}

Корінь рівняння належить проміжку $(-2; 0).$

Відповідь: В.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35794

Завдання 482 з 2199

У кав’ярні пропонують $10$ видів десертів і $12$ видів кави. Відвідувач хоче замовити один десерт або одну чашку кави у цьому кафе. Скільки всього різних варіантів замовлення є у відвідувача?

А$120$

Б$12$

В$60$

Г$10$

Д$22$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, використовуючи комбінації, комбінаторні правила суми.

Кількість різних варіантів замовлення одного десерту – $10$, а однієї чашки кави – $12.$

За комбінаторним правилом суми кількість способів замовити або один десерт, або одну чашку кави дорівнює:

$$ 10+12=22\ \text{варіанти}. $$

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35793

Завдання 483 з 2199

На рисунку зображено трикутну піраміду $SABC.$ Скільки різних площин, паралельних площині основи піраміди, можна провести через точку $S$?

Ажодної

Блише одну

Влише дві

Глише три

Дбільше трьох

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання взаємного розміщення прямих і площин у просторі, властивостей піраміди.

За властивістю паралельних площин: через точку, яка не лежить у площині, можна провести площину, паралельну заданій, і до того ж тільки одну.

Через точку $S$ можна провести одну площину, паралельну основі піраміди.

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35792

Завдання 484 з 2199

На діаграмі відображено інформацію про кількісний розподіл за кольорами стрічок, із яких плетуть маскувальні сітки. Білі стовпці діаграми відповідають кількості стрічок зазначеного кольору, використаних для однієї сітки влітку, а сірі – восени. За діаграмою визначте різницю між зеленими стрічками влітку та восени.

А$15$

Б$20$

В$25$

Г$30$

Д$35$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній, текстовій формі.

За діаграмою влітку на плетіння однієї сітки використовують $50$ зелених стрічок, а восени – $20.$ Обчислімо різницю: $$ 50-20=30\ \text{стрічок}. $$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35791

Завдання 485 з 2199

Визначте всі значення $a$, за кожного з яких рівняння $$ \frac{x^2-4x+3}{3x-a}=\frac{42+3x-x^2}{3x-a} $$ має один корінь. Якщо таке значення $a$ одне, запишіть його у відповіді. Якщо таких значень $a$ кілька, то у відповіді запишіть їхню суму.

Впишіть відповідь:

10.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Раціональні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати раціональні рівняння з параметром.

Область допустимих значень:

\begin{gather*} 3x-a\ne 0,\\[7pt] 3x\ne a,\\[6pt] x\ne \frac a3. \end{gather*}

Прирівняймо чисельники рівних дробів:

\begin{gather*} x^2-4x+3=42+3x-x^2,\\[7pt] x^2-4x+3-42-3x+x^2=0,\\[7pt] 2x^2-7x-39=0,\\[7pt] D=b^2-4ac=(-7)^2-4\cdot 2\cdot (-39)=49+312=361,\\[6pt] x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{7+19}{2\cdot 2}=\frac{26}{4}=\frac{13}{2}=6\mathord{,}5\\[6pt] x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{7-19}{2\cdot 2}=\frac{-12}{4}=-3. \end{gather*}

$x_1=6\mathord{,}5$ не буде коренем рівняння за умови:

\begin{gather*} x_1=\frac a3=6\mathord{,}5\\[6pt] a=19\mathord{,}5. \end{gather*}

Рівняння має один корінь $x_2=-3.$

$x_2=-3$ не буде коренем рівняння за умови, що

\begin{gather*} x_2=\frac a3=-3,\\[7pt] a=-9. \end{gather*}

Рівняння має один корінь $x_1=6{,}5.$

Отже, рівняння має один корінь за $a=19\mathord{,}5$ або $a=-9.$

У відповіді запишімо їхню суму: $$ 19\mathord{,}5+(-9)=10\mathord{,}5. $$

Відповідь: $10\mathord{,}5.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35790

Завдання 486 з 2199

Задано конус із бічною поверхнею $260\pi.$ Відстань від центра основи конуса до середини твірної дорівнює $13.$ Визначте об’єм $V$ цього конуса. У відповіді запишіть значення $\frac{V}{\pi}.$

Впишіть відповідь:

800

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знання основних властивостей конуса, вміння розв’язувати задачі на обчислення площі поверхні конуса.

Задано конус із бічною поверхнею $260\pi.$

Площа бічної поверхні конуса $$ S_\text{б}=\pi RL, $$ де $R=OB$, $L=AB.$

У прямокутному $\Delta AOB\ (\angle O=90^\circ).$ $MO$ – медіана до гіпотенузи.

За властивістю медіани, проведеної до гіпотенузи: $MO=\frac 12AB.$ $MO=13$, тому $AB=26.$

\begin{gather*} \pi RL=\pi\cdot OB\cdot AB=26\pi\cdot OB=260\pi,\\[7pt] OB=10. \end{gather*}

Об'єм конуса $$ V=\frac 13\pi R^2H. $$ Висоту $AO=H$ визначаємо з $\Delta AOB$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AB^2=AO^2+OB^2,\\[7pt] AO^2=AB^2-OB^2=26^2-10^2=676-100=576,\\[7pt] AO=24,\\[6pt] V=\frac 13\cdot \pi\cdot OB^2\cdot OA=\frac 13\pi\cdot 10^2\cdot 24=800\pi. \end{gather*}

Відповідь: $800.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35789

Завдання 487 з 2199

Дарина бере участь у посткросингу, надсилаючи адресатам у різні країни листівки із зображеннями українських міст і краєвидів. Вона має $4$ різні листівки такої тематики й конверти жовтого й синього кольорів. Для кожного із чотирьох адресатів Дарина вибирає по одній листівці та конверт жовтого або синього кольору. Скільки всього в Дарини є варіантів такого вибору?

Впишіть відповідь:

384

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку знання означення перестановки, вміння розв’язувати комбінаторні задачі використовуючи правило добутку.

Дарина має $4$ різні листівки і $2$ кольори конвертів. Кожну листівку можна використати лише один раз (бо їх усього $4$ штуки).

Оскільки адресатів чотири і вибір для кожного є незалежним, кількість способів роздати $4$ листівки $4$ різним адресатам обчислюємо за формулою перестановок:

\begin{gather*} P(n)=n!,\\[7pt] P(4)=4!=24. \end{gather*}

Для кожного з $4$ адресатів є два варіанти конверту (жовтий/синій), незалежно, тобто маємо $2^4=16.$

Загальну кількість варіантів обчислюємо за комбінаторним правилом добутку:

\begin{gather*} 24\cdot 16=384. \end{gather*}

Відповідь: $384.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35788

Завдання 488 з 2199

Задано функцію

$$ f(x)=\left\{\begin{array}{l} 10,\ \text{якщо}\ x\lt-2,\\ 4x^2+3x,\ \text{якщо}\ x\ge-2. \end{array}\right. $$

Обчисліть $f(-4)-f'(2).$

Впишіть відповідь:

-9

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функціональна залежність. Похідна функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння обчислювати похідні функцій, похідну суми двох функцій, визначати способи задання функцій.

$f(-4)=10$, тому що $x=-4\lt-2.$

$$ f'(x)=(4x^2+3x)'=4\cdot 2x+3\cdot 1=8x+3. $$

При $x=2\mathord{:}$

\begin{gather*} f'(2)=8\cdot 2+3=16+3=19.\\[7pt] f(-4)-f'(2)=10-19=-9. \end{gather*}

Відповідь: $-9.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35787

Завдання 489 з 2199

На рисунку зображено ромб $ABCD$ й рівносторонній трикутник $DCK$ зі стороною $8.$ Точка $D$ належить відрізку $AK$, точка $M$ i $N$ є серединами сторін $AB$ i $CK$ відповідно. Доберіть до відрізка (1–3) його довжину (А – Д).

1висота ромба $ABCD$

2менша діагональ ромба $ABCD$

3$MN$

А$8\sqrt{3}$

Б$8$

В$12$

Г$4\sqrt{3}$

Д$4$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей ромба, середньої лінії трапеції, рівностороннього трикутника.

$ABCD$ – ромб, $\Delta DCK$ – рівносторонній, $CD=DK=CK=8.$ $MN$ – середня лінія.

1. Висота $CH$ трикутника $CDK$ – це висота ромба $ABCD.$

\begin{gather*} CK=8,\\[6pt] HK=\frac 12DK=4. \end{gather*}

У $\Delta CHK\ (\angle H=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} CH^2=CK^2-HK^2=8^2-4^2=64-16=48,\\[7pt] CH=\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}. \end{gather*}

Правильна відповідь – Г.

2. $\Delta DCK$ – рівносторонній, $CK=CD=DK=8$, $\angle C=\angle D=\angle K=60^\circ.$

$BC\ ||\ DK$, $CD$ – січна. $\angle KDC=\angle DCB=60^\circ$ як внутрішні різносторонні.

У ромбі $ABCD$ гострий кут $C$ дорівнює $60^\circ.$ $\Delta CBD$ – рівносторонній, тому $BC=CD=BD=8.$ Менша діагональ ромба $BD=8.$

Правильна відповідь – Б.

3.$BC=8$, $AK=AD+DK=8+8=16.$

Середнія лінія

\begin{gather*} MN=\frac{BC+AK}{2}=\frac{8+16}{2}=12. \end{gather*}

Правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – B.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35786

Завдання 490 з 2199

Поєднайте функцію (1–3) з її найменшим значенням (А – Д) на проміжку $[–2; 6].$

1$y=4x+7$

2$y=x^2+1$

3$y=2^{x+5}$

А$6$

Б$8$

В$3$

Г$1$

Д$-1$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. $y=4x+7$ – це лінійна функція, яка зростає на всій області визначення.

$y=kx+b$, якщо $k\gt 0$ функція зростає, а якщо $k\lt 0$ – спадає.

На проміжку $[-2; 6]$ найменше значення функції за $x=-2.$

$$ y(-2)=4\cdot (-2)+7=-8+7=-1. $$

Отже, правильна відповідь – Д.

2. $y=x^2+1$ – квадратична функція. Найменшого значення функція набуває за $x=0.$ $$ y(0)=0^2+1=1. $$

Отже, правильна відповідь – Г.

3. $y=2^{x+5}$ – показникова функція. Вона зростає на всій області визначення.

На проміжку $[-2; 6]$ найменшого значення функція набуває за $x=-2.$ $$ y(-2)=2^{-2+5}=2^3=8. $$

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35785

Завдання 491 з 2199

Узгодьте вираз (1–3) із твердженням про його значення (А – Д), що є правильним для цього виразу.

1$\sqrt[3]{-27}$

2$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{300}}$

3$(\sqrt{3}-1)^2+2\sqrt{3}$

Ає цілим від’ємним числом

Бє ірраціональним додатним числом

Вє ірраціональним від’ємним числом

Гє натуральним числом

Дє раціональним нецілим числом

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Ірраціональні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів, знання формул скороченого множення.

1. $\sqrt[3]{-27}=-3.$
$-3$ – є цілим від'ємним числом. Отже, правильна відповідь – A.

2. $ \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{300}}=\frac{\sqrt{4\cdot 3}}{\sqrt{100\cdot 3}}=\frac{\sqrt{4}\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{100}\cdot \sqrt{3}}=\frac{2}{10}=\frac 15. $
$\frac 15$ є раціональним нецілим числом. Отже, правильна відповідь – Д.

3. $ (\sqrt{3}-1)^2+2\sqrt{3}=(\sqrt{3})^2-2\sqrt{3}+1+2\sqrt{3}=3+1=4. $
$4$ є натуральним числом. Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – А, 2 – Д, 3 – Г.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35784

Завдання 492 з 2199

$\mathrm{tg}^2\ \alpha\cos^2 \alpha+\cos^2 \alpha=$

А$\sin^2 \alpha$

Б$\cos 2\alpha$

В$\cos^2 \alpha$

Г$1$

Д$\mathrm{tg}^2\ \alpha$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тригонометричні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Спростімо за формулами:

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\\[6pt] \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1,\\[6pt] \mathrm{tg}^2\ \alpha\cdot \cos^2 \alpha+\cos^2 \alpha=\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\cdot \cos^2 \alpha+\cos^2 \alpha=\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35783

Завдання 493 з 2199

Обчисліть $0\mathord{,}25^{\log_{0\mathord{,}5}4}.$

А$16$

Б$0\mathord{,}5$

В$0\mathord{,}25$

Г$4$

Д$2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Логарифмічні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів, знання властивостей логарифмів.

\begin{gather*} 0\mathord{,}25^{\log_{0\mathord{,}5}4}=0\mathord{,}5^{2\log_{0\mathord{,}5}4}=0\mathord{,}5^{\log_{0\mathord{,}5}4^2}=0\mathord{,}5^{\log_{0\mathord{,}5}16}=16. \end{gather*}

За властивістю логарифмів:

\begin{gather*} a^{\log_a b}=b,\\[7pt] \log_a b^n=n\cdot \log_a b. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35782

Завдання 494 з 2199

У геометричній прогресії $(b_n)$ $b_1=5$, $b_3=\frac{b_4}{10}.$ Визначте $b_3.$

А$50$

Б$2$

В$0\mathord{,}05$

Г$500$

Д$0\mathord{,}5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання означення геометричної прогресії, формули $n\text{-го}$ члена.

За формулою $n\text{-го}$ члена:

\begin{gather*} b_n=b_kq^{n-k},\ n\gt k,\\[7pt] b_4=b_3\cdot q^{4-3}=b_3q,\\[6pt] b_3=\frac{b_4}{q},\ \text{за умовою}\ b_3=\frac{b_4}{10}.\\[6pt] \text{Отже},\ q=10. \end{gather*}

За формулою $n\text{-го}$ члена:

\begin{gather*} b_n=b_1q^{n-1},\\[7pt] b_3=b_1\cdot q^{3-1}=b_1\cdot q^2=5\cdot 10^2=500. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35781

Завдання 495 з 2199

Розв’яжіть рівняння $\sqrt{x-2}=4.$

А$10$

Б$18$

В$4$

Г$14$

Д$6$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Ірраціональні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати ірраціональні рівняння.

\begin{gather*} \sqrt{x-2}=4. \end{gather*}

Піднесімо обидві частини рівняння до квадрату:

\begin{gather*} (\sqrt{x-2})^2=4^2,\\[7pt] x-2=16,\\[7pt] x=16+2,\\[7pt] x=18. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35780