Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 555

Математика. Всі запитання починаючи з 555

556557558559560561562563564565566567568569570 ▶

Завдання 556 з 2265

Розв’яжіть рівняння $2\sin x=1$.

А$\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi n, n\in Z$

Б$(-1)^{\textstyle n}\dfrac{\pi}{3}+\pi n, n\in Z$

В$(-1)^{\textstyle n}\dfrac{\pi}{6}+2\pi n, n\in Z$

Г$\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi n, n\in Z$

Д$(-1)^{\textstyle n}\dfrac{\pi}{6}+\pi n, n\in Z$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} 2\sin x = 1;\\[6pt] \sin x = \frac 12;\\[6pt] x = (-1)^{\textstyle n} \arcsin \frac 12 + \pi n,\ n \in Z;\\[6pt] x = (-1)^{\textstyle n} \frac{\pi}{6} + \pi n,\ n \in Z. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 151. Запитання: 7502

Завдання 557 з 2265

До складу української Прем’єр-ліги з футболу входять $16$ команд. Упродовж сезону кожні дві команди грають між собою $2$ матчі. Скільки всього матчів буде зіграно за сезон?

А$120$

Б$128$

В$200$

Г$240$

Д$256$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Завдання перевіряє вміння використовувати формулу розміщення для розв’язання комбінаторних задач.

1 спосіб.

Для розв'язання використаймо формулу розміщення $k$ варіантів з $n$ можливих:

\begin{gather*} A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}.\\[6pt] A_{16}^2=\frac{16!}{(16-2)!}=\frac{16!}{14!}=\frac{16\cdot 15\cdot 14!}{14!}=16\cdot 15=240. \end{gather*}

2 спосіб.

Кожна з $16$ команд зіграє $15$ матчів. Усього матчів зіграно

\begin{gather*} 16 \cdot 15 = 240. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 151. Запитання: 7523

Завдання 558 з 2265

Гострий кут паралелограма дорівнює $60^\circ$, а його сторони – $3$ см і $4$ см. Обчисліть довжину меншої діагоналі паралелограма.

А$\sqrt{37}$ см

Б$\sqrt{31}$ см

В$5$ см

Г$\sqrt{19}$ см

Д$\sqrt{13}$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми косинусів, властивостей паралелограма.

Менша діагональ паралелограма лежить напроти гострого кута.

Нехай $AB = 3$ см, $AD = 4$ см, $\angle A = 60^\circ.$

У $\Delta ABD$ за теоремою косинусів

\begin{gather*} BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2AB^2 \cdot AD \cdot \cos A=\\[6pt] = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4\cos 60^\circ = 9 + 16 - 2 \cdot 12 \cdot \frac 12 = 25 - 12 = 13;\\[6pt] BD = \sqrt{13}\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 151. Запитання: 7524

Завдання 559 з 2265

Свинцеву кулю радіуса $5$ см переплавили в кульки однакового розміру, радіус кожної з яких – $1$ см. Скільки таких кульок одержали? Втратами свинцю під час переплавлення знехтуйте.

А$125$

Б$50$

В$25$

Г$10$

Д$5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання формули об'єму кулі.

Об'єм кулі радіуса $5$ см

\begin{gather*} V = \frac 43\pi R^3 = \frac 43\pi \cdot 5^3 = \frac 43\pi \cdot 125\ \text{см}^3. \end{gather*}

Об'єм кулі радіуса $1$ см

\begin{gather*} V = \frac 43\pi \cdot 1^3 = \frac 43\pi\ \text{см}^3. \end{gather*}

Отже, об'єм великої кулі в $125$ разів більше об'єму маленької. Можна одержати $125$ куль.

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 151. Запитання: 7525

Завдання 560 з 2265

Обчисліть $\dfrac{2^{-1,6}\cdot 4^{4,8}}{8^{\textstyle \frac 23}}$.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення степеневих виразів.

\begin{gather*} \frac{2^{-1{,}6}\cdot 4^{4{,}8}}{8^{\textstyle \frac 23}}=\frac{2^{-1{,}6}\cdot (2^2)^{4{,}8}}{(2^3)^{\textstyle \frac 23}}=\\[6pt] =\frac{2^{-1{,}6}\cdot 2^{9{,}6}}{2^2}= \frac{2^{-1{,}6+9{,}6}}{2^2}= \frac{2^8}{2^2}=2^6=64. \end{gather*}

Відповідь: $64.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 151. Запитання: 7526

Завдання 561 з 2265

У трапеції $ABCD$: $\angle A=90^\circ$, $AB=12$ см (див. рисунок). Діагональ $BD$ ділить середню лінію $KL$ трапеції на відрізки $KM$ і $ML$, причому $KM=5{,}5$ см і $ML=3$ см. Обчисліть периметр трапеції $ABCD$ (у см).

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей середньої лінії трикутника, теорем Піфагора, властивості трапеції.

У $\Delta ABD\ KM$ – середня лінія. За властивістю середньої лінії $KM = \dfrac 12AD$, $AD = 11$ см.

У $\Delta BCD\ ML$ – середня лінія. $ML = \dfrac 12BC$, $BC = 6$ см.

Проведемо $CE\!\perp\!AD.$

$ABCE$ – прямокутник, $BC = AE = 6$ см.

\begin{gather*} AD = AE + ED.\\[7pt] ED = AD - AE = 11 - 6 = 5\ \text{см}.\\[7pt] AB = CE = 12\ \text{см}. \end{gather*}

У $\Delta CED\ (\angle E = 90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} CD^2 = CE^2 + ED^2 = 144 + 25 = 169;\\[7pt] CD = \sqrt{169} = 13\ \text{см};\\[7pt] P_{ABCD} = AB + BC + CD + DA = 12 + 6 + 13 + 11 = 42\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: $42.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 151. Запитання: 7527

Завдання 562 з 2265

Обчисліть $\cos \alpha$, якщо $\sin \alpha=0{,}8$ i $\dfrac{\pi}{2}\lt \alpha \lt \pi$.

Впишіть відповідь:

-0.6

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів, знаходити значення тригонометричних виразів.

Використаємо основну тригонометричну тотожність $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.$

\begin{gather*} \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - 0{,}8^2 = 1 - 0{,}64 = 0{,}36;\\[7pt] \cos \alpha = \pm 0{,}6. \end{gather*}

Якщо $\dfrac{\pi}{2} \lt \alpha \lt \pi$, то $\cos \alpha \lt 0.$

Отже, $\cos \alpha = -0{,}6.$

Відповідь: $-0{,}6.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 151. Запитання: 7528

Завдання 563 з 2265

Об'єм куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ дорівнює $216$ см$^3$ (див. рисунок). Обчисліть об'єм піраміди $D_1ACD$ (у см$^3$).

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формул об'ємів куба та піраміди.

Об'єм куба

\begin{gather*} V_\text{куба}=a^3=216;\\[6pt] a=6\ \text{см}. \end{gather*}

Об'єм піраміди

\begin{gather*} V_\text{піраміди}=\frac 13S_{ADC}\cdot DD_1=\frac 13\cdot \frac 12 AD\cdot DC\cdot DD_1=\frac 16 a^3=\frac 16\cdot 216=36\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $36.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 151. Запитання: 7529

Завдання 564 з 2265

Розв’яжіть рівняння $\log_6(x-3)+\log_6(x-8)=2$.

Якщо рівняння має один корінь, то запишіть його у відповідь; якщо воно має два корені, то у відповідь запишіть їх суму.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

$\log_6(x - 3) + \log_6(x - 8) = 2.$ ОДЗ: $x\gt 8.$

\begin{gather*} \log_6((x - 3)(x - 8)) = 2;\\[7pt] x^2 - 11x + 24 = 36;\\[7pt] x^2 - 11x - 12 = 0\\[7pt] D = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 121 + 48 = 169;\\[6pt] x_1 = \frac{11 + 13}{2} = 12;\\[6pt] x_2 = \frac{11 - 13}{2} = -1. \end{gather*}

$x_2 \notin$ ОДЗ.

Відповідь: $12.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 151. Запитання: 7530

Завдання 565 з 2265

У фермерському господарстві «Надія» кожен рік озимою пшеницею засівають $600$ га полів. Середня врожайність цієї культури в $2007$ році становила $24$ центнери з одного гектара. Завдяки сприятливим погодним умовам у $2008$ році озимої пшениці було зібрано на $19\,200$ центнерів більше, ніж у $2007$. Обчисліть середню врожайність озимої пшениці, вирощеної у господарстві «Надія» в $2008$ році (у ц/га). (Середня врожайність сільськогосподарської культури – це відношення маси зібраного врожаю цієї культури до загальної площі полів, на яких вона була вирощена).

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі.

$24 \cdot 600 = 14400$ ц – зібрали пшениці в $2007$ році.

$14400 + 19200 = 33600$ ц – зібрали пшениці в $2008$ році.

$33600 : 600 = 336 : 6 = 56$ ц – з $1$ га в середньому зібрали в $2008$ році.

Відповідь: $56.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 151. Запитання: 7531

Завдання 566 з 2265

Знайдіть кількість усіх цілих розв’язків нерівності $\dfrac{x^2-x-12}{(x+1)^2}\le0$.

Якщо нерівність має безліч цілих розв’язків, то у відповідь запишіть число $100$.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Раціональні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні нерівності методом інтервалів.

Розкладаємо чисельник дробу на множники:

\begin{gather*} x^2 - x - 12 = 0;\\[7pt] D = 1 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 49;\\[6pt] x_1 = \frac{1 + 7}{2} = 4;\\[6pt] x_2 = \frac{1 - 7}{2} = -3;\\[6pt] x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3).\\[6pt] \frac{(x - 4)(x + 3)}{(x + 1)^2} \le 0. \end{gather*}

Розв'яжемо методом інтервалів:

\begin{gather*} x = 4;\\[7pt] x = -3;\\[7pt] x \ne -1. \end{gather*}

$x = -1$ – кратний корінь, отже, при переході функції через дану точку, функція не міняє знак.

\begin{gather*} x \in [-3; -1) \cup (-1; 4]. \end{gather*}

Цілі розв'язки: $-3$; $-2$; $0$; $1$; $2$; $3$; $4$ – сім розв'язків.

Відповідь: $7.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 151. Запитання: 7532

Завдання 567 з 2265

Кімната має форму прямокутного паралелепіпеда (ширина кімнати – $4$ м, довжина – $5$ м, висота – $2{,}5$ м). Площа стін кімнати дорівнює $0{,}8$ площі бічної поверхні цього паралелепіпеда. Скільки фарби (у кг) потрібно для того, щоб повністю пофарбувати стіни і стелю цієї кімнати, якщо на $1$ м$^2$ витрачається $0{,}25$ кг фарби?

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формул площі поверхні паралелепіпеда, вміння розв'язувати текстові задачі.

Площа бічної поверхні

\begin{gather*} S_\text{біч}=P_\text{осн}\cdot H=P_{ABCD}\cdot CC_1=(5+4)\cdot 2\cdot 2{,}5=45\ \text{м}^2. \end{gather*}

Площа стін становить $0{,}8$ від площі бічної поверхні:

\begin{gather*} S_\text{стін}=45\cdot 0{,}8=36\ \text{м}^2. \end{gather*}

Площі стелі:

\begin{gather*} S_\text{стелі}=4\cdot 5=20\ \text{м}^2. \end{gather*}

Площа, яку треба пофарбувати:

\begin{gather*} S=36+20=56\ \text{м}^2. \end{gather*}

На $1$ м$^2$ витрачається $0{,}25$ кг фарби, отже,

\begin{gather*} 56\cdot 0{,}25=14\ \text{кг} \end{gather*}

потрібно для того, щоб повністю пофарбувати стіни та стелю.

Відповідь: $14.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 151. Запитання: 7533

Завдання 568 з 2265

Розв’яжіть систему рівнянь

$\begin{cases}3^{x-2y}=\dfrac{1}{3}, \\ 3^x+3^{2y}=4\sqrt 3.\end{cases}$

Для одержаного розв’язку $(x_0;y_0)$ системи обчисліть добуток $x_0 \cdot y_0$.

Впишіть відповідь:

0.375

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння та їх системи.

\begin{gather*} \begin{cases} 3^{x-2y} = \dfrac 13,\\ 3^x + 3^{2y} = 4\sqrt{3}, \end{cases}\ \ \begin{cases} 3^{x-2y} = 3^{-1},\\ 3^x + 3^{2y} = 4\sqrt{3}, \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} x - 2y = -1,\\ 3^x + 3^{2y} = 4\sqrt{3}, \end{cases}\ \ \begin{cases} 2y = x + 1,\\ 3^x + 3^{x+1} = 4\sqrt{3}, \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} 2y = x + 1,\\ 3^x + 3\cdot 3^{x} = 4\sqrt{3}, \end{cases}\ \ \begin{cases} y = \dfrac{x + 1}{2},\\ 4 \cdot 3^x = 4 \cdot 3^{\textstyle \frac 12}, \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} y = \dfrac{0{,}5 + 1}{2},\\ x = \dfrac 12, \end{cases}\ \ \begin{cases} y = 0{,}75,\ \ x_0 = 0{,}5,\\ x = 0{,}5,\ \ y_0 = 0{,}75. \end{cases} \end{gather*}

У відповідь запишемо добуток

\begin{gather*} x_0 \cdot y_0 = 0{,}5 \cdot 0{,}75 = 0{,}375. \end{gather*}

Відповідь: $0{,}375.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 151. Запитання: 7534

Завдання 569 з 2265

Знайдіть найбільше значення функції $y=\dfrac{1}{3\sin x+5}$.

Якщо функція не має найбільшого значення, то у відповідь запишіть число $100$.

Впишіть відповідь:

0.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Це завдання перевіряє знання властивостей функції, вміння знаходити область значень функції, вміння знаходити найбільше та найменше значення функції за допомогою похідної.

Оцінимо значення виразу $\dfrac{1}{3\sin x + 5}.$

\begin{gather*} -1 \le \sin x \le 1;\\[7pt] -3 \le 3\sin x \le 3;\\[7pt] 2 \le 3\sin x + 5 \le 8;\\[6pt] \frac 18 \le \frac{1}{3\sin x + 5} \le \frac 12. \end{gather*}

Отже, даний вираз набуває значення $\left[\dfrac 18; \dfrac 12\right].$

Найбільше значення функції $0{,}5.$

Відповідь: $0{,}5.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 151. Запитання: 7535

Завдання 570 з 2265

Довжина маршруту велосипедиста дорівнює $81$ км. Першу частину цього маршруту він проїхав зі сталою швидкістю за $3$ години. Другу частину маршруту довжиною $36$ км велосипедист проїхав зі сталою швидкістю $18$ км/год.

1. Скільки часу (у год) витратив велосипедист на другу частину маршруту?

2. Якою була середня швидкість велосипедиста (у км/год) протягом усього маршруту?

Впишіть відповіді:

1.			2.
	2			16.2

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом.

1. Другу частину маршруту, довжиною $36$ км, велосипедист проїхав зі сталою швидкістю $18$ км/год.

$$ t_2 = \frac{S_2}{V_2} = \frac{36}{18} = 2\ \text{год}. $$

2. Для знаходження середньої швидкості необхідно знайти частку від ділення довжини всього маршруту та всього часу руху.

Весь маршрут склав $81$ км. Весь час, який витратив велосипедист, становить $2 + 3 = 5$ год.

Отже,

$$ V_{\text{сер}} = \frac{81}{5} = 16 \dfrac{1}{5} = 16{,}2\ \text{км/год}. $$

Відповідь: 1. $2.$
2. $16{,}2.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 125. Запитання: 7578