ТЕМА: Похідна функції. Таблиця похідних і правила диференціювання.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати похідні функцій і похідну суми двох функцій.

За правилом визначення похідної суми:

і похідної степеневої функції:

визначаємо похідну функції \(y=x^3-5.\)

Похідна сталої функції \(\mathrm{c}'=0.\) Отже, \(5'=0.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Лінійні нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати найпростіші лінійні нерівності.

$$ x\in [0\mathord{,}5; +\infty). $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Координати і вектори в просторі. Геометричні переміщення.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати координати середини відрізка, знання основних видів геометричних переміщень, зокрема симетрії відносно точки.

Точка \(C\) симетрична точці \(A\) відносно точки \(B\), якщо точки лежать на одній прямій і \(AB=BC.\)

Скористаймося формулою визначення координат середини відрізка:

де кінці відрізка мають координати: \((x_1; y_1; z_1)\), \((x_2; y_2; z_2).\)

\(A(5; -4; 0)\), \(B(7; 2; -2)\), \(C(x_2; y_2; z_2).\)

Отже, правильна відповідь – \(C(9; 8; -4).\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати статистичні дані в графічній і текстовій формі.

М'яч перебував на висоті не менше ніж \(3\) м з \(1\) с до \(5\) с. Тобто протягом \(4\) с.

Відповідь: В.

ТЕМА: Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, зокрема практичного змісту, знання видів тіл обертання, як-от конуса.

На рисунку зображено частину поверхні конуса.

Відповідь: В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє знання властивостей функцій, уміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

Доберемо до кожного із запитань 1 – 4 правильну відповідь.

1. Функція є непарною, тому що графік симетричний відносно початку координат, і неперервна. Отже, 1 – A.

2. Функція має дві точки локального екстремуму: максимум та мінімум. Отже, 2 – Д.

3. Функція має три нулі – точки перетину з віссю абсцис. Отже, 3 – Г.

4. Функція є парною, тому що графік симметричний відносно осі \(Oy\), та є неперервною. Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – A, 2 – Д, 3 – Г, 4 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє вміння виконувати перетворення графіків функцій.

1. Для побудови графіка функції \(y=-f(x)\) потрібно графік функції \(y=f(x)\) відобразити симетрично відносно осі \(Ox.\)

2. Для побудови графіка функції \(y=f(x)+c\) необхідно графік функції \(y=f(x)\) перенести вздовж осі \(Oy\) на \(c\) одиниць угору, якщо \(c\) – додатне число або на \(c\) одиниць вниз, якщо \(c\) – від’ємне число.

\(y=-x^2+1\) отримаємо, якщо \(y=x^2\) відобразимо симетрично відносно осі \(Ox\) та перенесенням на \(1\) одиницю вгору вздовж осі \(Oy.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми подання статистичної інформації.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати інформацію, яка подана в графічній, табличній та текстовій формі.

За таблицею найбільша кількість глядачів була в четвер, а найменша – у понеділок. Ця умова виконується лише на діаграмах Г та Д. У вівторок кількість глядачів була більшою за кількість глядачів у середу, тому на діаграмі Г правильно відображено дані, наведені в таблиці.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати за розгорткою поверхні вид геометричного тіла.

1. Квадрат обертається навколо сторони – отримаємо циліндр. Отже, 1 – А.

2. Квадрат обертається навколо діагоналі – отримаємо два конуси зі спільною основою. Отже, 2 – Г.

3. Прямокутна трапеція обертається навколо бічної сторони – отримаємо зрізаний конус. Отже, 3 – В.

4. Прямокутна трапеція обертається навколо більшої основи трапеції – отримаємо циліндр і конус зі спільною основою. Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – А, 2 – Г, 3 – В, 4 – Б.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції.

Це завдання перевіряє знання основних властивостей і графіків функцій, уміння будувати графіки елементарних функцій, встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1. Правильна відповідь – А.

2. Правильна відповідь – В.

3. Правильна відповідь – Г.

4. Правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – A, 2 – B, 3 – Г, 4 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики. Початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати графічну, табличну, текстову та інші форми подання статистичної інформації.

У таблиці наведено шкали температури повітря. З неї зрозуміло, що найнижча температура була о \(6\text{-й}\) год, а найвища – о \(15\text{-й}\) год. Цій умові відповідають лише графіки A та Д.

Порівнюючи ці графіки, знаходимо, що даним таблиці задовольняє графік Д.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє знання формул для обчислення об'ємів многогранників і тіл обертання.

1. Об'єм циліндра знаходимо за формулою $$ V_\text{ц}=\mathbf{\pi}R^2H, $$ де \(R=\frac a2\) – радіус основи, \(H=a.\)

Отже, 1 – B.

2. Об'єм конуса знаходимо за формулою $$ V_\text{к}=\frac 13\mathbf{\pi}R^2H, $$ де\(R=\frac a2\) – радіус основи, \(H=a.\)

Отже, 2 – Б.

3. Об'єм кулі знаходимо за формулою $$ V_\text{кулі}=\frac 43\cdot \mathbf{\pi}R^3, $$ де \(R=\frac a2.\)

Отже, 3 – A.

4. Об'єм призми знаходимо за формулою $$ V_\text{пр}=S_\text{осн}\cdot H, $$ де $$ S_\text{осн}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} $$ (основа – правильний трикутник зі стороною \(a\)), \(H=\frac{\mathbf{\pi}a}{2}.\)

Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – А, 4 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком, використовувати перетворення графіків функцій.

Є два види перетворення:

1. Паралельне перенесення вздовж осі ординат: $$y=f(x)\rightarrow y=f(x)+c.$$

Для побудови графіка функції \(y=f(x)+c\) необхідно графік функції \(y=f(x)\) перенести вздовж осі \(Oy\) на \(c\) одиниць угору, якщо \(c\) – додатне число або на \(c\) одиниць вниз, якщо \(c\) – від’ємне число.

2. Паралельне перенесення вздовж осі абсцис: $$y=f(x)\rightarrow y=f(x-a).$$

Для побудови графіка функції \(y=f(x-a)\) необхідно графік функції \(y=f(x)\) перенести вздовж осі \(Ox\) на \(a\) одиниць вправо, якщо \(a\) – додатне число і на \(a\) одиниць вліво, якщо \(a\) – від’ємне число.

Застосувавши властивості паралельного перенесення до функції \(y=f(x)\), при перенесенні вліво на \(1\) одиницю отримаємо графік функції \(y=f(x+1).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє вміння знаходити область визначення, область значень функції, встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

1. Функція спадає на проміжку \([-2; 2].\) Отже, 1 – Г.

2. Графік функції є фрагментом графіка функції \(y=x^2-1.\) Отже, 2 – Б.

3. Множиною значень функції є проміжок \([-1; 2].\) Отже, 3 – В.

4. Функція зростає на проміжку \([-2; 2].\) Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – В, 4 – Д.