ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Рівняння, що містять змінну під знаком модуля.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати рівняння з модулем.

Домножимо обидві частини рівняння \(\frac{|x|}{10} = 2\) на 10, отримаємо \(|x| = 20.\) Модуль числа – це відстань на координатній осі \(x\) від цього числа до початку координат, звідси \(x = \pm 20.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла і поверхні обертання. Площа бічної поверхні циліндра.

Це завдання є завданням з практичним змістом. Воно перевіряє знання формули площі бічної поверхні циліндра.

Площу бічної поверхні циліндра, отриманого після згортання листа заліза, обчислюємо за формулою \(S_\text{бічн} = 2\pi Rh.\) У нашому випадку діаметр \(d = 2R = 20\) см, висота циліндра дорівнює довжині відрізка \(AB\), тому \(h = 50\) см. Підставивши ці значення у формулу, маємо

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Логарифмічні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє вміння оцінювати значення логарифмічного виразу.

Оцінимо значення заданого логарифмічного виразу: $$ 0 = \log_{5} 1 \lt \log_{5} 4 \lt \log_{5} 5 =1. $$ Отже, значення виразу \(\log_{5} 4\) належить проміжку \((0; 1).\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Геометричний зміст похідної.

Це завдання перевіряє знання геометричного змісту похідної.

Якщо пряма \(y = kx + b\) є дотичною, проведеною до графіка функції \(y = f(x)\) у точці з абсцисою \(x_{0} = 2\), то, згідно з геометричним змістом похідної, \(f'(x_{0}) = k.\) Оскільки \(f'(2) = -3\), то кутовий коефіцієнт \(k\) дотичної дорівнює \(-3.\) Визначимо кутові коефіцієнти всіх наданих дотичних. \begin{gather*} \text{А:}\ k = -\frac{3}{2},\\[6pt] \text{Б:}\ k = 3,\\[7pt] \text{В:}\ k = 2,\\[6pt] \text{Г:}\ k = \frac{3}{2},\\[6pt] \text{Д:}\ k = -3. \end{gather*} Серед наведених прямих лише варіант Д задовольняє цю умову.

Слід зауважити, що для розв’язання цього завдання не потрібно знаходити рівняння дотичної, проведеної до графіка функції.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Метод інтервалів.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати нерівності методом інтервалів.

Розв’яжемо нерівність «методом інтервалів». Для цього визначимо нулі функції $$ y = \frac{(x - 6)(x + 2)^{2}}{x - 3} $$ та точки, де функція не існує. Прирівняємо \(y\) до нуля:

Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю. Тоді \begin{gather*} (x - 6)(x + 2)^{2} = 0,\\[7pt] x - 3 \ne 0. \end{gather*} Тоді \begin{gather*} x = 6,\\[7pt] x = -2,\\[7pt] x \ne 3. \end{gather*} Нанесемо точки на числову вісь \(x.\)

Визначимо знаки виразу $$ \frac{(x - 6)(x + 2)^{2}}{x - 3} $$ на кожному з отриманих проміжків (див. рисунок).

Отже, \(\{-2\} \cup (3; 6]\) – множина розв’язків заданої нерівності.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графіки функцій.

Це завдання перевіряє знання розташування графіків основних елементарних функцій та вміння виконувати геометричні перетворення графіків.

Побудуємо схематично графіки заданих функцій.

1. Графік функції \(y=-x^{2}-1\) отримаємо з графіка функції \(y=x^{2}\) віддзеркаленням відносно осі \(x\), після чого графік опускаємо на \(1\) одиницю вниз. Графік функції \(y=-x^{2}-1\) розташований у III та IV четвертях. Отже, 1 – Б.

2. Графік функції \(y=x+1\) розташований у I, II та III четвертях. Отже, 2 – В.

3. Графік функції \(y=-\frac{1}{x}\) отриманий з графіка функції \(y=\frac{1}{x}\) віддзеркаленням відносно осі \(x\) (осі \(y.\)) Графік функції \(y=-\frac{1}{x}\) розташований у II та IV чвертях. Отже, 3 – А.

4. Графік функції \(y=\cos x\) розташований у I, II, III та IV четвертях. Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – Б, 2 – В, 3 – А, 4 – Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії з ними.

Це завдання перевіряє знання означень оберненого дробу до даного, неправильного дробу, скороченого дробу.

Розглянемо кожен із дробів (А – Д).

А. Дріб \(\frac{5}{7}\) є оберненим до дробу \(\frac{7}{5} = 1\frac{2}{5}\), оскільки \(\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5} = 1.\) Отже, 4 – А.

Б. Дріб \(\frac{13}{27}\) менший за \(0{,}5\), оскільки \(\frac{13}{27} = \frac{26}{54} \lt \frac{27}{54}=\frac{1}{2}.\) Отже, 3 – Б.

В. Дріб \(\frac{41}{10}\) більший за \(1\), тому цей дріб є неправильним. Отже, 2 – В.

Г. Дріб \(\frac{7}{10}\) не задовольняє жодне з тверджень (1–4).

Д. Чисельник і знаменник дробу \(\frac{34}{51}\) діляться на \(17\), тому цей дріб скоротний. Отже, 1 – Д.

Відповідь: 1 – Д, 2 – B, 3 – Б, 4 – A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Площа круга та його частин.

Це завдання перевіряє знання формул площі круга і сектора.

Обчислимо площі геометричних фігур (1 – 4).

1. Площу круга радіуса \(4\) см, зображеного на рисунку 1, обчислюємо за формулою \begin{gather*} S =\pi R^{2},\\[7pt] S = \pi\cdot 4^{2} = 16\pi\ \text{см}^{2}. \end{gather*} Отже, 1 – Б.

2. Площу півкруга радіуса \(6\) см, зображеного на рисунку 2, обчислюємо за формулою \begin{gather*} S = \frac{\pi R^{2}}{2} = \frac{\pi\cdot 6^{2}}{2} = 18\pi\ \text{см}^{2}. \end{gather*} Отже, 2 – В.

3. Площу сектора радіуса \(12\) см, зображеного на рисунку 3, обчислюємо за формулою \begin{gather*} S = \frac{R^{2}\alpha}{2}, \end{gather*} де \(\alpha\) – центральний кут сектора, $$ \alpha = 30^\circ = \frac{\pi}{6}. $$ Тоді $$ S = \frac{12^{2}\pi}{12} = 12\pi\ \text{см}^{2}. $$ Отже, 3 – А.

4. Площу кільця, обмеженого колами радіусів \(r = 4\) см і \(R = 6\) см, зображеного на рисунку 4, обчислюємо за формулою $$ S = \pi R^{2} - \pi r^{2} = \pi (R^{2} - r^{2}), $$ де \(R\) і \(r\) – відповідно радіуси більшого та меншого кіл. Тоді $$ S = \pi (6^{2} - 4^{2}) = 20\pi\ \text{см}^{2}. $$ Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – В, 3 – A, 4 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Це завдання перевіряє знання декартової системи координат у просторі, понять проєкції точки на вісь та на площину, формули координат вектора та середини відрізка.

Розглянемо початки речень (1–4) та знайдемо координати точок, для яких отримані твердження є правильними.

1. Знаходимо координати \((x_{0}; y_{0}; z_{0})\) середини відрізка \(AB\):

Отже, 1 – А.

2. Знаходимо координати вектора \(\overrightarrow{AB}(x_{0}; y_{0}; z_{0})\):

Отже, 2 – Г.

3. Проєкцію точки \(B(-4; 2; 6)\) на площину \(xz\) є точка, ордината якої дорівнює \(0\), а абсциса й апліката збігаються з абсцисою та аплікатою точки \(B.\) Отже, 3 – В. Зазначимо, що лише точка у варіанті В належить площині \(xz.\)

4. Проєкцією точки \(B(-4; 2; 6)\) на вісь \(y\) є точка, у якої абсциса та апліката дорівнюють \(0\), а ордината збігається з ординатою точки \(B.\) Отже, 4 – Б. Завуважимо, що лише точка у варіанті Б належить осі \(y.\)

Відповідь: 1 – А, 2 – Г, 3 – В, 4 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі за допомогою рівнянь та вміння знаходити відсоток від числа.

Нехай \(x\) – кількість музичних дисків в магазині. Тоді \(5x\) – кількість дисків із науково–популярними фільмами, а \(10x\) – кількість дисків із художніми фільмами в магазині. За умовою, загальна кількість дисків дорівнює \(192\), отже \(x + 5x + 10x = 192\), звідки \(x = 12.\)

1. Позначимо загальну кількість дисків у магазині \((192)\) за \(100\text{%}\), а кількість музичних дисків \((12)\) за \(y\text{%}.\) Тоді $$ \frac{192}{12} = \frac{100}{y}, $$ звідки \(y = 6{,}25\text{%}.\)

2. Кількість дисків із науково–популярними фільмами дорівнює \(5x\), тобто \(5 \cdot 12 = 60.\)

Зауваження. Першу частину цієї задачі можна розв’язувати без знаходження кількості музичних дисків у магазині. Після введення змінної \(x\) складаємо пропорцію:

Тоді $$ y=\frac{100x}{16x}=6{,}25\text{%}. $$

Відповідь: 1. \(6{,}25.\)
                   2. \(60.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Паралелограм та його властивості.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограма, означення периметра паралелограма та ознаки рівності прямокутних трикутників.

Нехай \(ABCD\) – заданий паралелограм, \(BO\) – перпендикуляр, \(AK = 6\) см, \(KD = 4\) см, \(AO = 5\) см (див. рисунок).

1. \(AD = AK + KD = 6 + 4 = 10\) см. Оскільки \(AB\) і \(AK\) – радіуси кола з центром у точці \(A\), то \(AB = AK = 6\) см. Тоді периметр паралелограма \(ABCD\) дорівнює сумі довжин усіх сторін паралелограма, тобто

2. Проведемо діагональ \(BD\) (див. рисунок).

Прямокутні трикутники \(AOB\) та \(BOD\) рівні \((BO\) – спільний катет, \(AO = OD\), оскільки \(AO = 5\) см, \(AD = 10\) см\().\) Тому \(BD = AB = 6\) см.

Відповідь: 1. \(32.\)
                   2. \(6.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Формули суми \(n\) перших членів арифметичної прогресії.

Це завдання перевіряє знання формули суми арифметичної прогресії.

Всі дистанції, що долав плавець кожного тренування, поки не досягнув результату \(1000\) м, утворюють арифметичну прогресію. За умовою \(a_{1} = 450\) м, \(d = 50\) м, \(a_{n} = 1000\) м.

Визначимо \(n\) за формулою загального члена $$ a_{n} = a_{1} + d(n - 1). $$ Підставимо в цю формулу \(a_{1} = 450\), \(d = 50\) і \(a_{n} = 1000.\) Отримаємо $$ 1000 = 450 + 50(n - 1), $$ звідки \(n = 12.\)

За ці \(12\) тренувань плавець проплив всього

Оскільки плавець тренувався тричі на тиждень, то за \(10\) тижнів він провів \(30\) тренувань. Під час кожного з останніх \(18\) тренувань плавець пропливав \(1000\) м, тому за ці \(18\) тренувань плавець проплив всього $$ 18 \cdot 1000 = 18000\ \text{м}. $$ Отже, за перші \(10\) тижнів тренувань плавець проплив всього

Відповідь: \(26{,}7.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Логарифмічні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння за допомогою заміни, після чого рівняння зводиться до квадратного.

Зробимо заміну \(\log_{5} x = t\). Тоді рівняння у нових змінних набуває вигляду $$ t^{2} + t - 2 = 0, $$ за теоремою Вієта корені цього рівняння мають задовольняти рівності \begin{gather*} t_{1} \cdot t_{2} = -2,\\[7pt] t_{1} + t_{2} = -1. \end{gather*} Отже, \begin{gather*} t_{1} = -2,\\[7pt] t_{2} = 1. \end{gather*}

Повертаємось до заміни: $$ \left[\begin{array}{l} \log_{5} x = -2,\\ \log_{5} x = 1. \end{array}\right. $$

Звідки $$ \left[\begin{array}{l} x_{1} = 5^{-2} = 0{,}04\\ x_{2} = 5^{1} = 5. \end{array}\right. $$ Отже, задане рівняння має два корені, їх сума дорівнює $$ 0{,}04 + 5 = 5{,}04. $$

Відповідь: \(5{,}04.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Формули скороченого множення.

Це завдання перевіряє вміння спрощувати буквений вираз, використовуючи формули скороченого множення, винесення спільного множника за дужки, зведення дробів до спільного знаменника і скорочення дробів.

Щоб спростити вираз, застосуймо формули скороченого множення:

Підставляємо значення \(a = 0{,}25\), \(b = 4{,}5\) в отриманий вираз: $$ \frac{3}{4{,}5 - 2 \cdot 0{,}25} = 0{,}75. $$

Відповідь: \(0{,}75.\)