ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Логарифмічні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє знання формули суми логарифмів та вміння її застосовувати до розв'язування задач.

Оскільки

при

то

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Подібність фігур.

Це завдання перевіряє вміння знаходити подібні фігури та використовувати пропорційність їх відповідних лінійних елементів для знаходження відношення площ цих фігур.

Подібними називаються фігури однакової форми. Коефіцієнтом подібності називається відношення відповідних лінійних елементів цих фігур. Оскільки у зображених на рисунку телевізорів екрани мають форму прямокутників, відповідні сторони яких пропорційні, то ці прямокутники подібні.

Коефіцієнт подібності дорівнює відношенню діагоналей цих прямокутників, тобто діагоналей екранів телевізорів: $$ k=\frac{48}{32}=1\mathord{,}5. $$ Якщо фігури подібні з коефіцієнтом подібності \(k\), то відношення їх площ дорівнює \(k^2.\) Тому площа екрану більшого телевізора перевищує площу екрана меншого телевізора у $$ 1\mathord{,}5^2=2\mathord{,}25\ \text{раза}. $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і почати аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє знання основної тригонометричної тотожності та вміння її застосовувати до перетворення тригонометричних виразів.

Для будь-якого кута \(\alpha\) виконується рівність: $$ \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1. $$

I спосіб. Домножимо обідві частини цієї рівності на \(4\mathord{:}\)

звідси

Оскільки за умовою

то отримаємо:

II спосіб. Виразимо з основної тригонометричної тотожності \(\sin^2 \alpha\mathord{:}\) $$ \sin^2 \alpha=1-\cos^2 \alpha. $$ Оскільки за умовою $$ 4\cos^2 \alpha=1, $$ то $$ \cos^2 \alpha=\frac 14, $$ тоді $$ \sin^2 \alpha=1-\cos^2 \alpha=1-\frac 14=\frac 34. $$ Звідки $$ 4\sin^2 \alpha=4\cdot\frac 34=3. $$

Зауваження. Правильну відповідь до завдання можна отримати, якщо навіть не знати (чи не пам'ятати) основної тригонометричної тотожності. Якщо знати, що $$ \cos 60^\circ=\frac 12, $$ тобто \(\alpha=60^\circ\) задовольняє умову $$ 4\cos^2 \alpha=1, $$ а $$ \sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, $$ тоді $$ 4\sin^2 \alpha=4\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=3. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл. Формула Ньютона - Лейбніца.

Це завдання перевіряє знання таблиці первісних основних елементарних функцій та вміння застосовувати формулу Ньютона - Лейбніца для знаходження визначеного інтеграла.

За формулою Ньютона - Лейбніца:

де \(F(x)\) – будь-яка первісна функції \(f(x)\) на відрізку \([a; b].\)

Нагадаємо, що функція \(F(x)\) називається первісною для функції \(f(x)\) на проміжку \((a; b)\), якщо для будь-якого \(x\in (a; b)\) виконується рівність \(F'(x)=f(x).\)

Визначимо одну з первісних функції \(y=6x^2.\)

Правило знаходження первісних. Якщо \(F_1(x)\) – первісна функції \(f_1(x)\), а \(\mathrm{C}\) – довільна стала, то $$ F(x)=\mathrm{C}F_1(x) $$ є первісною функції $$ f(x)=\mathrm{C}f_1(x). $$

Отже, $$ F(x)=6F_1(x) $$ є первісною функції $$ f(x)=6x^2, $$ де \(F_1(x)\) – первісна функції \(f_1(x)=x^2.\)

Однією з первісних степеневої функції \(x^n\), причому \(n\ne -1\), є $$ \frac{x^{n+1}}{n+1}. $$ Тому $$ F_1(x)=\frac{x^{2+1}}{2+1}=\frac{x^3}{3}. $$ Отже, $$ F(x)=6\cdot \frac{x^3}{3}=2x^3. $$ Тоді

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Пряма трикутна призма. Об'єм призми.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати об'єм призми. Для виконання завдання потрібно знати формули об'єму призми, площі рівностороннього трикутника, означення квадрата та периметра рівностороннього трикутника.

Нехай \(ABCA_1B_1C_1\) – задана правильна трикутна призма, основою якої є рівносторонній трикутник \(ABC\), \(AB=BC=AC=a.\)

Оскільки периметр правильного трикутника зі стороною \(a\) дрівнює \(3a\), то \(3a=12\) (за умовою), звідки \(a=4.\)

Оскільки бічні грані призми за умовою є квадратами, то \(AA_1=AB=4.\)

Об'єм призми визначається за формулою $$ V=S_\text{осн}\cdot h, $$ де \(S_\text{осн}\) – площа основи призми, \(h\) – висота призми.

Площа правильного трикутника зі стороною \(a\) визначається за формулою $$ S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}. $$ Тоді

Оскільки \(ABCA_1B_1C_1\) – пряма призма, то її висота дорівнює бічному ребру: $$ h=AA_1=4. $$ Тоді $$ V=4\sqrt{3}\cdot 4=16\sqrt{3}. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Тригонометричні рівняння.

Це завдання перевіряє знання співвідношень між тригонометричними функціями одного аргумента та вміння розв'язувати тригонометричні рівняння.

Оскільки $$ \frac{\sin x}{\cos x}=\mathrm{tg}\ x, $$ то вихідне рівняння запишемо у вигляді: $$ 3\mathrm{tg}\ x=\sqrt{3}, $$ звідки $$ \mathrm{tg}\ x=\frac{\sqrt{3}}{3}. $$

Розв'язком такого рівняння є

Оскільки $$ \mathrm{arctg}\ \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\pi}{6}, $$ то остаточно отримаємо

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Логарифмічні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати логарифмічні нерівності.

Запишемо ОДЗ цєї нерівності: \(x\gt 0\), оскільки логарифмічна функція визначена лише для додатного аргумента.

Запишемо \(-1\) у вигляді логарифма з основою \(3\mathord{:}\) $$ -1=\log_3 3^{-1}=\log_3 \frac 13. $$ Тоді вихідна нерівність матиме вигляд: $$ \log_3 x\lt \log_3 \frac 13. $$ Оскільки функція $$ y=\log_3 x $$ є зростаючою ще раз підкреслимо, що вона існує лише для \(x\gt 0,\) то отримана нерівність рівносильна нерівності $$ 0\lt x\lt \frac 13. $$

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні числа та дії з ними. Означення степеня з раціональним показником. Модуль дійсного числа.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з раціональними числами, записаними у вигляді звичайних дробів, знаходити значення степеневого виразу, виразу, що містить знак модуля.

Для розв'язання завдання потрібно знати правила дій із звичайними дробами, означення степеня з раціональним показником та правила дій зі степенями, а саме:

то значення модуля дійсного числа.

Нагадаємо, що за означенням модулем числа \(x\) називають саме це число, якщо воно є невід'ємним, і протилежне до \(x\) число, якщо воно є від'ємним, тобто

Обчислимо значення виразів (1 – 4).

1.

Отже, 1 – Д.

2. $$ \frac 1a=\frac{1}{\frac{25}{4}}=\frac{4}{25}. $$ Отже, 2 – A.

3.

Отже, 3 – Г.

4.

Або

Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – А, 3 – Г, 4 – Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Описане коло, дотична до кола та її властивості. Трикутники (рівносторонній та прямокутний трикутники). Тригонометричні співвідношення в прямокутному трикутнику.

Це завдання перевіряє вміння визначати довжини відрізків, використовуючи властивості дотичної до кола, елементів кола, вписаних у коло кутів та співвідношень у прямокутному трикутнику.

Обчислимо довжини відрізків (1 – 4).

1. Оскільки діаметр кола вдвічі більший за його радіус, то згідно умови $$ BK=2\cdot 6=12. $$ Отже, 1 – B.

2. Розглянемо трикутник \(ABO.\) Оскільки пряма \(AB\) є дотичною до кола, то \(\angle ABO=90^\circ.\) У прямокутному трикутнику \(ABO\) катет \(BO=6\), а гіпотенуза \(AO=2AB.\) За теоремою Піфагора отримаємо

Такий же результат отримаємо, якщо скористаємось тим фактом, що у прямокутному трикутнику \(ABO\ \angle AOB=30^\circ\) (оскільки вказано, що гіпотенуза вдвічі більша за протилежний до цього кута катет). Тоді

Отже, 2 – Б.

Отже, 3 – A.

4. Розглянмо вписаний у коло трикутник \(BCK.\) Оскільки вписаний кут \(BCK\) спирається на діаметр кола, то \(\angle BCK=90^\circ\), тобто трикутник \(BCK\) є прямокутним. У цьому трикутнику \(BK=12\), \(\angle CBK=60^\circ\), тоді

Або за теоремою Піфагора отримуємо:

Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – A, 4 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання (куб, куля, циліндр, конус). Формули для обчислень площ поверхонь многогранників і тіл обертання.

Це завдання перевіряє вміння визначати площу повної поверхні куба, кулі, циліндра та конуса.

Обчислимо площу повної поверхні кожного геометричного тіла (1 – 4).

1. Площа повної поверхні циліндра, радіус основи якого дорівнює \(R\), а висота – \(H\), обчислюється за формулою

За умовою \(R=3\), \(H=4\), тоді

Отже, 1 – Г.

2. Щоб визначити площу повної поверхні конуса, потрібно знати радіус його основи \(R\) та твірну \(L\mathord{:}\)

Оскільки \(R=3\), \(L=5\), то

Отже, 2 – Б.

3. Площу повної поверхні куба із ребром \(a=\sqrt{3\pi}\) обчислюємо за формулою

Отже, 3 – А.

4. Площа поверхні кулі радіуса \(R\) визначається за формулою $$ S_\text{повн.}=4\pi R^2. $$ За умовою \(R=2\sqrt{3}\), тому

Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – А, 4 – Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі на відношення, пропорції та відсотки.

1. За діаграмою визначаємо, що підручники становлять $$ 100-75-8-5=12\ \text{%} $$ від загальної кількості книг, що є в бібліотеці. За умовою, кількість підручників дорівнює \(84.\) Знайдемо загальну кількість книг \((n)\) у бібліотеці. Складемо пропорцію: \begin{gather*} n - 100\ \text{%}\\[7pt] 84 - 12\ \text{%}. \end{gather*} Тоді

2. Визначаємо кількість довідників \((m)\) з пропорції: \begin{gather*} 700 - 100\ \text{%}\\[7pt] m - 8\ \text{%}. \end{gather*} Тоді $$ m=\frac{8\cdot 700}{100}=56. $$

Нехай додатково придбано \(k\) підручників. Згідно умови повинна виконуватися рівність $$ (84+k):m=4:1. $$ Отже, $$ (84+k):56=4, $$ звідки отримуємо:

Відповідь: 1. \(700.\)
                   2. \(140.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Квадрат та його властивості. Трапеція та її властивості. Прямокутний трикутник. Теорема Піфагора.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати довжини відрізків як елементи відповідних геометричних фігур, використовуючи властивості середньої лінії трапеції та означення квадрата.

1. Оскільки чотирикутник \(ABMK\) є трапецією \((AK\ ||\ BM)\), то відрізок \(NP\) (див. рисунок), що сполучає середини сторін \(AB\) i \(KM\) є її середньою лінією, довжина якої дорівнює півсумі цих сторін. За умовою

тоді

2. Опустимо з точки \(M\) на сторону \(AD\) перпендикуляр \(MO\) і розглянемо прямокутний трикутник \(KOM.\) У цьому трикутнику відомі катети:

За теоремою Піфагора отримуємо:

Відповідь: 1. \(6\mathord{,}5.\)
                   2. \(13.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції. Правило знаходження похідної складеної функції.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати значення похідної складеної функції у заданій точці.

Нехай \(y=f(u(x))\) – складена функція, тобто \(y=f(u)\), де \(u=u(x).\)

Якщо функція \(u(x)\) має в точці \(x\) похідну \(u'(x)\), а функція \(y=f(u)\) – похідну у відповідній точці \(u=u(x)\), то складена функція \(y=f(u(x))\) також має похідну в точці \(x\), причому $$ y'=f_u'(u)\cdot u_x'(x). $$

Функцію \(y=\sqrt{13-3x}\) запишемо у вигляді \(y=\sqrt{u}\), де \(u=13-3x.\) Тоді

Обчислюємо значення похідної в точці \(x_0=3\mathord{:}\)

Відповідь: \(-0\mathord{,}75.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Застосування рівнянь та їхніх систем до розв'язування текстових задач.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі за допомогою рівнянь та їх систем.

І спосіб. Позначимо кількість тримісних номерів через \(n.\) Оскільки за умовою кількість одномісних номерів дорівнює кількості двомісних, то їх кількість становить $$ \frac{124-n}{2} $$ номерів.

В одномісних номерах при повному заповненні проживає $$ \frac{124-n}{2} $$ туристів, в двомісних – $$ 2\cdot \frac{124-n}{2}=124-n $$ туристів, в тримісних – \(3n\) туристів.

Складаємо рівняння

звідки отримуємо

Отже, у готелі було всього \(46\) тримісних номерів.

ІІ спосіб. Якщо ввести позначення: \(n\) – кількість тримісних номерів, \(k\) – кількість одномісних номерів, \(k\) – кількість двомісних номерів, то отримаємо систему рівнянь $$ \left\{\begin{array}{l} 2k+n=124,\\ k+2k+3n=255, \end{array}\right. $$ тобто $$ \left\{\begin{array}{l} 2k+n=124,\\ k+n=85. \end{array}\right. $$ Віднявши від першого рівняння друге, отримаємо \(k=39\), тоді $$ n=85-39=46. $$

Відповідь: \(46.\)