ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Ірраціональні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння.

Піднесемо обидві частини рівняння до кубу, отримаємо рівносильне рівняння: \begin{gather*} 2x=(-3)^3,\ \text{або}\\[7pt] 2x=-27,\\[6pt] x=-\frac{27}{2}=-13{,}5. \end{gather*} Отже, корінь рівняння належить проміжку \((-20; -10)\).

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Тригонометричні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Висота трикутника. Співвідношення між сторонами і кутами в прямокутному трикутнику.

Це завдання перевіряє знання означення висоти трикутника і вміння використовувати тригонометричні функції для знаходження елементів прямокутного трикутника.

Висота трикутника – це перпендикуляр, опущений з вершини трикутника на протилежну сторону. Оскільки \(BM\) – висота, то трикутник \(AMB\) є прямокутним (див. рисунок). У цьому трикутнику сторона \(AB\) є гіпотенузою.

Синусом гострого кута \(\alpha\) називається відношення протилежного до нього катета \(BM\) до гіпотенузи \(AB.\)

Отже, $$ \sin\alpha=\frac{BM}{AB}=\frac{12}{AB}, $$ звідки $$ AB=\frac{12}{\sin\alpha}. $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази.

Це завдання перевіряє вміння визначати координатну чверть, в якій тригонометричні функції набувають певних знаків, та можливе значення іншої тригонометричної функції для кута, що належить цій чверті.

Якщо \(\mathrm{ctg}\alpha\lt 0\), то кут \(\alpha\) належить першій або третій координатній чверті (див. рисунок); \(\cos\alpha\gt 0\) для кутів першої та четвертої чверті (див. рисунок). Отже, якщо одночасно \(\mathrm{ctg}\alpha\lt 0\) і \(\cos\alpha\gt 0\), то кут \(\alpha\) знаходиться у IV координатній чверті. Для кутів \(\alpha\) цієї чверті виконується нерівність \(\sin\alpha\lt 0\) (див. рисунок), причому \(\sin\alpha \ne -1.\) Якщо припустити, що \(\sin\alpha=-1\), то \(\mathrm{ctg}\alpha=\cos\alpha=0\), що суперечить умові завдання. Тому

\(\sin\alpha\) серед наведених значень може приймати лише значення \(-\frac{1}{2}.\)

Або можна міркувати наступним чином: оскільки $$ \mathrm{ctg}\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\lt 0 $$ і \(\cos\alpha\gt 0\), то \(\sin\alpha\lt 0\), причому \(\sin\alpha\ne -1\), тому що тоді \(\mathrm{ctg}\alpha=\cos\alpha=0\), що суперечить умові завдання.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Формули скороченого множення. Модуль числа.

Це завдання перевіряє вміння спрощувати вираз, що містить під знаком модуля раціональний дріб.

Для розв’язання цього завдання потрібно знати формули скороченого множення: $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$ та означення модуля. Модулем (абсолютною величиною) числа \(a\) називається саме число \(a\), якщо воно невід’ємне, та протилежне число \(-a\), якщо \(a\) – від’ємне, тобто

Спочатку спростимо заданий вираз:

За означенням,

Оскільки за умовою \(a\lt -7\), то

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Розгортки многогранників.

Це завдання перевіряє вміння за наданою розгорткою многогранника визначати вид цього многогранника та обчислювати площу його бічної поверхні.

Оскільки розгортка піраміди складається з квадрата та чотирьох правильних трикутників, то це піраміда є правильною. Бічна поверхня заданої чотирикутної піраміди складається з чотирьох рівних правильних трикутників. Отже, площа бічної поверхні \(S_\text{б}\) у чотири рази більше за площу рівностороннього трикутника, що є бічною гранню цієї піраміди.

Площа правильного трикутника зі стороною \(a\) обчислюється за формулою: $$ S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2. $$

Сторона трикутника \(a=10\) см, тоді

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Раціональні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні нерівності.

Застосуємо метод інтервалів. Для цього піднесемо ліву частину до квадрата, а праву – перенесемо у ліву частину, змінивши знак: $$ x^2+8x+16-16\le 0, $$ звідси $$ x^2+8x\le 0. $$

Винесемо за дужки спільний множник \(x{:}\) $$ x(x+8)\le 0. $$ Таку ж нерівність отримаємо, якщо скористаємося формулою різниці квадратів:

Визначимо нулі функції $$ y=x(x+8). $$ Прирівняємо \(y\) до нуля: $$ x(x+8)=0. $$ Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один з множників дорівнює нулю, отже \(x=-8\), \(x=0.\) Нанесемо їх на числову вісь \(x.\) Визначимо знаки виразу \(x(x+8)\) на кожному з отриманих проміжків (див. рисунок).

Отже, \(x\in[-8; 0]\) – множина розв’язків заданої нерівності.

Зауваження. Можна спочатку зробити заміну \(x+4=t\) і розв’язати нерівність $$ t^2\le 16, $$ звідки $$ -4\le t\le 4, $$ тоді \begin{gather*} -4\le x+4\le 4,\\[7pt] -8\le x\le 0. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Проєкція похилої на площину.

Це завдання перевіряє вміння знаходити проекцію відрізка на площину, використовуючи подібність трикутників для знаходження їх невідомих елементів.

Нехай \(C\) і \(D\) – проекції точок \(A\) і \(B\) на площину \(\alpha\) відповідно (див. рисунок), тоді відрізки \(CO\) і \(OD\) – проекції відрізків \(AO\) і \(BO\) на площину \(\alpha.\) За умовою \(CO=5\) см, \(BO=20\) см.

Розглянемо прямокутні трикутники \(ACO\) та \(ODB\), які лежать в одній площині. Ці трикутники подібні за двома кутами: \(\angle ACO=\angle BDO=90^\circ\), \(\angle AOC=\angle BOD\) як вертикальні.

З подібності цих трикутників випливає, що \begin{gather*} \frac{BO}{AO}=\frac{DO}{CO},\\[6pt] \frac{BO}{8}=\frac{20}{5}, \end{gather*} звідки $$ BO=8\cdot 4=32\ \text{см}. $$

Тоді

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Об’єм прямокутного паралелепіпеда.

Це завдання практичного змісту перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі з використанням формули об’єму прямокутного паралелепіпеда.

Зображена на рисунку ємність для квітів є прямокутним паралелепіпедом, з якого вирізаний менший паралелепіпед. Отже, об’єм цієї ємності шукатимемо як різницю об’ємів двох паралелепіпедів. Об’єм паралелепіпеда знаходиться за формулою $$ V=abc, $$ де \(a\), \(b\) і \(c\)   виміри паралелепіпеда. Виміри першого паралелепіпеда задані: \(40\) см, \(40\) см, \(50\) см, а виміри другого паралелепіпеда (порожня частина) знаходимо:

Об’єм однієї ємності:

Тоді об’єм \(10\) таких ємностей дорівнює \(440000\) см\(^3\) або \(0{,}44\) м\(^3.\)

Тут враховано, що \(1\) м\(=100\) см, \(1\) м\(^3=1000000\) см\(^3.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Геометричний зміст похідної.

Це завдання перевіряє знання формули дотичної, проведеної до графіка функції, та вміння використовувати геометричний зміст похідної до розв’язування задач.

Похідна функції \(y=f(x)\) в точці \(x_0\) дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної \(y=kx+b\), проведеної до графіка функції \(y=f(x)\) у точці з абсцисою \(x_0{:}\) \(f'(x_0)=k.\)

Рівняння дотичної, проведеної до графіка функції \(y=f(x)\) у точці з абсцисою \(x_0\), має вигляд $$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0). $$ Підставляємо дані з умови та отримуємо $$ y=2(x-1)+5. $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, тригонометричні, логарифмічні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє знання формул скороченого множення, основних тригонометричних та логарифмічних співвідношень.

Перетворимо кожен з наведених виразів:

3. \(100^{\lg m}=10^{2\lg m}=10^{\lg m^2}=m^2.\) Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – Г, 4 – Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції.

Це завдання перевіряє вміння будувати графіки елементарних функцій та аналізувати їх взаємне розташування.

Побудуємо в одній системі координат графіки всіх заданих функцій. Графіком функції \(y=\frac{x}{5}\) є пряма. Щоб побудувати цю пряму, достатньо задати дві точки, що їй належать, наприклад, \((0; 0)\), \((5; 1).\)

1. Графіком функції \(y=x+5\) є пряма, яка перетинає осі координат у точках \((-5; 0)\) та \((0; 5)\). З рисунка видно, що графіки функцій \(y=\frac{x}{5}\) і \(y=x+5\) перетинаються в одній точці. Можна міркувати по- іншому: кутові коефіцієнти двох прямих \(y=\frac{x}{5}\) і \(y=x+5\) не рівні \(\left(\frac{1}{5}\ne 1\right)\), тому ці прямі не є паралельними, тобто перетинаються. Отже, 1 – Б.

2. З рисунка видно, що графіки функцій \(y=\frac{x}{5}\) і \(y=5^x\) не перетинаються. Отже, 2 – А.

3. Спочатку зазначимо, що графік функції \(y=\sqrt{x}\) симетричний графіку квадратичної функції \(y=x^2\), де \(x\in[0; +\infty)\), відносно прямої \(y=x.\) Графіком функції \(y=\frac{x}{5}\) є пряма, що проходить через початок координат. Пряма і парабола можуть мати дві, одну або жодної спільної точки. З рисунка видно, що \((0; 0)\) – спільна точка графіків функцій \(y=\frac{x}{5}\) і \(y=\sqrt{x}.\) Окрім цієї точки, графіки мають ще одну спільну точку.

Обчислимо значення цих функцій, наприклад, у точках \(x=16\); \(25\); \(36{:}\) \begin{gather*} \sqrt{16}=4\gt \frac{16}{5}=3\frac{1}{5},\\[6pt] \sqrt{25}=5=\frac{25}{5},\\[6pt] \sqrt{36}=6\lt \frac{36}{5}=7\frac{1}{5}. \end{gather*} Точка \((25; 5)\) є другою спільною точкою графіків функцій \(y=\frac{x}{5}\) і \(y=\sqrt{x}.\) Інших спільних точок немає. Можна ще міркувати так: оскільки кількість спільних точок графіків функцій \(y=f(x)\) та \(y=g(x)\) дорівнює кількості коренів рівняння \(f(x)=g(x)\), то, розв’язуючи рівняння $$ \frac{x}{5}=\sqrt{x}, $$ дістанемо: \begin{gather*} \frac{x}{5}=\sqrt{x},\\[6pt] \frac{x^2}{25}=x,\\[6pt] x^2=25x,\\[7pt] x(x-25)=0, \end{gather*} звідки \(x_1=0\), \(x_2=25\) – корені. Отже, 3 – В.

4. З рисунка видно, що графіки функцій \(y=\frac{x}{5}\) і \(y=\sin x\), кожна з яких є непарною, перетинаються тричі – у точці \((0; 0)\) та ще у двох точках, які симетричні відносно початку координат. Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – B, 4 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Квадрат. Теорема Піфагора.

Це завдання перевіряє вміння знаходити невідомі елементи прямокутного трикутника, відстань від точки до прямої.

Знайдемо довжини елементів (1 – 4).

1. У прямокутному трикутнику \(CDF\) (\(\angle D=90^\circ\)) відомі катет та гіпотенуза: \(CD=1\) см, \(CF=\sqrt{5}\) см. Довжину катета \(FD\) обчислимо за теоремою Піфагора:

Отже, 1 – Г.

2. Довжина радіуса кола, описаного навколо квадрата \(ABCD\), дорівнює половині довжини діагоналі цього квадрата. Оскільки діагональ квадрата зі стороною \(1\) дорівнює \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\), то радіус описаного кола дорівнює $$ \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}. $$ Отже, 2 – Б.

3. Відстань від точки \(F\) до прямої \(BC\) дорівнює довжині перпендикуляра \(h\), опущеного з точки \(F\) на пряму \(BC\) (див. рисунок). Оскільки прямі \(AF\) і \(BC\) паралельні, то відстань від точки \(F\) та від будь-якої іншої точки прямої \(AF\) до прямої \(BC\) рівні. Оскільки \(CD\ \perp\ BC\), то \(h=CD=1.\) Отже, 3 – А.

4. Відстань від точки \(F\) до прямої \(BD\) дорівнює довжині перпендикуляра \(FL\), опущеного з точки \(F\) на пряму \(BD\) (див. рисунок). \(\angle ABD=\angle ADB=45^\circ\) як кути між діагоналлю квадрата і його стороною. \(\angle FDL=\angle ADB=45^\circ\) як вертикальні. Оскільки \(\angle DLF=90^\circ\), то \(\angle DFL=45^\circ.\) Таким чином прямокутний трикутник \(DLF\) рівнобедрений з гіпотенузою \(FD=2.\) Катет такого трикутника дорівнює $$ \frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}. $$ Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – A, 4 – В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Мода, медіана, розмах ряду даних.

Це завдання перевіряє вміння визначати характеристики ряду даних (моду, медіану і розмах) за полігоном частот, зображеним на рисунку.

Визначимо характеристики ряду даних:

1. З діаграми видно, що елемент \(6\) зустрічається у ряді даних тричі, \(12\) – \(5\) разів, \(18\) – \(1\) раз, \(24\) – тричі, \(30\) – двічі і \(36\) – \(4\) рази. Тому кількість елементів цього ряду даних:

Отже, 1 – Б.

2. Розмахом \((R)\) ряду даних називається різниця між найбільшим та найменшим елементами ряду даних: $$ R=36-6=30. $$ Отже, 2 – Г.

3. Модою \((Mo)\) називається значення ряду даних, яке має найбільшу частоту, тобто зустрічається найчастіше. Найбільшу частоту, що дорівнює \(5\), має елемент \(12\), тому мода \(Mo=12.\) Отже, 3 – А.

4. Медіаною \((Me)\) впорядкованого ряду даних, що має парну кількість елементів, називається середнє арифметичне двох чисел, що стоять посередині цього ряду. У нашому випадку медіана – це середнє арифметичне \(9\text{-го}\) і \(10\text{-го}\) елементів ряду даних: $$ Me=\frac{18+24}{2}=21. $$ Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Г, 3 – A, 4 – B.