ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Щоб спростити вираз, застосуймо формули скороченого множення:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати в просторі.

Це завдання перевіряє вміння визначати координати точки, зображеної на рисунку.

Точка \(N\) належить осі \(Oz\) прямокутної системи координат у просторі й розташована вище (див. рисунок) за початок координат – точку \(O(0; 0; 0).\) Тобто координати точки \(N\ x\) та \(y\) дорівнюють нулю, а координата \(z\) є додатною: \(N(0; 0; z_N).\)

З-поміж наведених цю умову задовольняє лише варіант відповіді А.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі, зокрема на відношення.

Пляшку об'ємом \(750\) мл заповнили на \(\frac 23.\) Щоб обчислити цей об'єм, помножмо загальний об'єм на дріб:

Отже, спочатку в пляшці було \(500\) мл соку.

За умовою, з пляшки відлили \(150\) мл соку:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

За умовою, точка \((x_0; -2)\) належить графіку функції \(y=f(x)\), отже, за заданого значення аргумента \(x\) значення функції \(f(x_0)=-2.\) На осі ординат \((Oy)\) вибираємо значення \(-2.\) Проводимо пряму, паралельну осі абсцис, від точки із координатою \((0; -2)\) до перетину з графіком. Абсциса точки перетину дорівнює \(-3\), отже, \(x_0=-3.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності.

Завдання спрямоване на перевірку навичок розв’язання лінійних нерівностей і застосування властивостей числових нерівностей.

\begin{gather*} x\in (-\infty; -3]. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Логарифмічні вирази.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей логарифмів, уміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

Застосуймо властивості логарифмів:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші фігури на площині. Вертикальні кути. Суміжні кути.

Завдання спрямовано на перевірку знань про суміжні та вертикальні кути як основні геометричні фігури на площині.

Суміжними називають два кути, у яких одна сторона спільна, а інші є доповняльними променями. На рис. 1 кути \(AOC\) та \(COB\) суміжні.

Рис. 1

Сума суміжних кутів дорівнює \(180^\circ.\) Оскільки в умові міру кута наведено в радіанах, скористаймось еквівалентом: \begin{gather*} \alpha+\beta=\pi. \end{gather*}

Відомо, що кут \begin{gather*} \alpha=\frac{\pi}{5}. \end{gather*}

Щоб визначити міру кута \(\beta\), віднімімо від \(\pi\) відомий кут: \begin{gather*} \beta=\pi-\frac{\pi}{5}. \end{gather*}

Зведімо до спільного знаменника:

Відповідь: B.

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній, текстовій формі.

Необхідно знайти залу, кількість глядачів у якій відповідає подвійній нерівності: \begin{gather*} 35\lt\ \text{кількість глядачів}\lt 43. \end{gather*}

Це означає, що стовпчик на діаграмі має бути вищим за позначку \(35\), але нижчим за позначку \(43.\)

Розгляньмо кількість глядачів у залах:

Біла зала: стовпчик сягає позначки \(55.\) (\(55 \gt 43\) – не підходить).

Блакитна зала: стовпчик точно на рівні \(40.\) Число \(40\) більше за \(35\) і менше за \(43\) \((35 \lt 40 \lt 43).\) Цей варіант відповідає умові завдання.

Жовта зала: стовпчик на позначці \(35.\) (А глядачів має бути більше, тому не підходить).

Зелена зала: стовпчик на позначці \(20.\) (\(20 \lt 35\) – не підходить).

\(Фіолетова зала\): стовпчик на позначці \(45.\) (\(45 \gt 43\) – не підходить).

Єдина зала, кількість глядачів у якій перебуває в межах від \(35\) до \(43\), – блакитна.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Показникові рівняння та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати системи показникових рівнянь та їх систем, рівнянь із параметром.

Помножмо перше рівняння системи на \((-3)\) і додаймо почленно обидва рівняння:

Щоб система мала хоча б один розв'язок, рівняння \(y^2=3-4a\) повинно мати розв'язок, а це буде за умови

Помножмо перше рівняння системи на \((-2)\) і додаймо почленно рівняння:

рівняння буде мати корені за умови \begin{gather*} 5a\gt 0,\\[7pt] a\gt 0. \end{gather*}

Отже, система матиме розв'язок, якщо \(a\in (0; 0\mathord{,}75].\) Найбільше значення \(a=0\mathord{,}75.\)

Відповідь: \(0\mathord{,}75.\)

ТЕМА: Тіла обертання. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей призми й циліндра, формул для обчислення площі поверхні циліндра й об’єму призми.

Пряма призма, в основі – ромб. \(AC=16\) см, \(BD=12\) см.

Радіус основи ціліндра \(OK=AD\), \(S_\text{бічн.}=400\pi\) см\(^2.\)

У ромбі діагоналі \(AC\ \perp\ BP\) й діляться точкою перетину \(P\) навпіл: \begin{gather*} AP=PC=\frac 12AC=8\ \text{см},\\[6pt] BP=PD=\frac 12BD=6\ \text{см}. \end{gather*}

У \(\Delta APD\ (\angle P=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Площа бічної поверхні циліндра \(S_\text{бічн.}=2\pi RH\), де \(R=OK=AD=10\) см, \(H=OO_1=AA_1\) (за умовою задачі).

Об'єм призми визначмо за формулою: $$ V=S_\text{осн.}\cdot H, $$ де \begin{gather*} S_\text{осн.}=S_{ABCD}=96\ \text{см}^2,\\[7pt] H=AA_1=20\ \text{см},\\[7pt] V=96\cdot 20=1920\ (\text{см}^3). \end{gather*}

Відповідь: \(1920.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати комбінаторні задачі, задачі на перестановки, комбінаторні правила добутку.

Є \(6\) рядів для \(6\) різних типів саджанців. Оскільки \(4\) ряди кісточкових мають бути поруч, їх можна розглядати як один елемент.

Разом із плодовими маємо \(3\) елементи, які можна переставляти між собою.

За формулою перестановок: \(P_n=n!\) отримаємо $$ 3!=1\cdot 2\cdot 3=6 $$ варіантів розташування цих елементів.

Усередині блоку із \(4\) кісточкових саджанців також можливі перестановки, їх буде $$ 4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24\ \text{варіанти}. $$

За комбінаторним правилом добутку загальна кількість варіантів висадити саджанці: $$ 6\cdot 24=144\ \text{варіанти}. $$

Відповідь: \(144.\)

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання означення арифметичної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена, суми \(n\text{-перших}\) членів послідовностей.

Розгляньмо математичну модель задачі.

Сума, яку позичальник має повернути першого місяця, – це \(a_1=1300\) в арифметичній прогресії \((a_n).\)

Кожного наступного місяця сума зменшується на \(50\) грн – це знаменник арифметичної прогресії \(d=-50\), а загальна сума, яку має повернути позичальник за \(12\) місяців – це \(S_{12}.\)

За формулою суми \(n\text{-перших}\) членів прогресії маємо:

Загальна сума, яку повинен повернути позичальник – \(12300\) грн.

Відповідь: \(12300.\)

ТЕМА: Трикутники. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, рівнобедреного трикутника.

\(AN=8\), \(\Delta ABC=\Delta CMN\), \(AC=CN=\frac 12AN=4\) см, \(AB=BC=CM=MN=2\sqrt{17}\) см.

1. Відстань від \(B\) до \(BC\) – це довжина висоти \(BK\ \Delta ABC.\) За властивістю рівнобедреного трикутника: \(BK\) – висота та медіана. \(KC=\frac 12 AC=2\) см.

За теоремою Піфагора в \(\Delta BKC\ (\angle K=90^\circ)\mathord{:}\)

Правильна відповідь – Г.

2. Побудуємо \(MP\ \perp\ CN\) у \(\Delta CMN.\)

\(KBMP\) – прямокутник.

\(KC=CP\) в рівних трикутниках. Правильна відповідь – А.

3. \(ABMN\) – рівнобічна трапеція, а \(DE\) – її серденя лінія. За властивістю середньої лінії:

Правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – А, 3 – Б.

ТЕМА: Ірраціональні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів, знання властивостей числових проміжків і властивостей логарифмів.

1. \(2e\cdot \frac 1e=2\), \(P(2).\) Отже, правильна відповідь – Д.

2. \(\ln 1=0\), \(M(0).\) За властивістю логарифма: \(\log_a 1=0.\) Отже, правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – Д, 2 – B, 3 – Б.