Алгебра і початки аналізу – Числа і вирази

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні).

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами, використовувати ознаки подільності, знаходити найменше спільне кратне кількох чисел, розрізняти види чисел.

1. \(32+18=50\) є числом, що ділиться націло на \(10.\)

Отже, правильна відповідь – Б.

2. \(32\cdot 18=16\cdot 2\cdot 2\cdot 9=16\cdot 4\cdot 9\) є квадратом натурального числа.

Отже, правильна відповідь – A.

3. \(32:18=\frac{32}{18}=\frac{16}{9}\) є раціональним числом, яке не є цілим.

Отже, правильна відповідь – Г.

4. \(32-18=14\) є дільником числа \(84\ (84:14=6).\)

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – Б, 2 – А, 3 – Г, 4 – Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння знаходити числове значення тригонометричних виразів, порівнювати числові вирази.

\(a=\sin 120^\circ\gt 0\), \(b=\cos 120^\circ\lt 0\) тому, що кут \(120^\circ\) лежить у ІІ координатній чверті.

Враховуючи знаки тригонометричних функцій \(b\lt 0\lt a.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Логарифмічні вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів та знаходити числове значення при заданих значеннях змінних.

Якщо \(\log_43=a\), то за властивостями логарифма

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання формул скороченого множення.

Використали формулу "різниця квадратів":

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє знання означення степеня з натуральним показником, їхні властивості, властивості та означення кореня \(n\text{-го}\) степеня. $$ a^4\cdot \sqrt{a^6}=a^4\cdot \sqrt{(a^3)^2}=a^4\cdot |a^3|. $$

При \(a\ge 0\ |a^3|=a^3\), тому \(a^4\cdot a^3=a^7.\)

Використали властивість степеня з натуральним показником: $$ a^{mn}=(a^m)^n, $$ та властивість кореня \(n\text{-го}\) степеня:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Числа та вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє знання властивостей дій з дійсними числами, уміння округлювати десяткові дроби.

Для того, щоб округлити дріб до десятих, необхідно знати цифру, яка стоїть у розряді сотих.

Якщо ця цифра \(5\) або більше, то цифра, яка стоїть в розряді десятих, збільшується на один.

\(2\mathord{,}66\approx 2\mathord{,}7.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі, застосовувати рівняння до розв'язування текстових задач, знання методів розв'язування раціональних рівнянь.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом.

Човен проходить за течією \(24\) км за \(5\) годин, тому швидкість човна була:

\(24:5=4\mathord{,}8\) км/год.

Проти течії човен проходить \(12\) км за \(3\) години, тому швидкість човна проти течії:

\(12:3=4\) км/год.

Швидкість течії знаходимо таким чином:

\((4\mathord{,}8-4):2=0\mathord{,}8:2=0\mathord{,}4\) км/год.

Відповідь: \(0\mathord{,}4.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Відношення та пропорції. Відсотки. Основні задачі на відсотки.

Це завдання перевіряє вміння знаходити відношення чисел у вигляді відсотка, відсоток від числа, число за значенням його відсотка.

1. Індійський чай \(180\) г – це складає \(\frac{10}{23}\) від маси суміші.

Отже,

маса суміші.

2. Якщо індійський чай складає \(100\text{%}\), то цейлонський – \(130\text{%}\), тому що маса чаїв складається у відношенні \(10 : 13.\) Отже, цейлонського чаю на \(30\text{%}\) більше.

Відповідь: 1. \(414.\)
                   2. \(30.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з раціональними числами, виконувати тотожні перетворення раціональних виразів і знаходити їхнє числове значення при заданих значеннях змінної.

1. \(\frac 73a=\frac 73\cdot 15=\frac{7\cdot 15}{3}=35\)

ділиться націло на \(5.\) Отже, 1 – Д.

2. \(2a-1=2\cdot 15-1=29\)

є простим числом. Отже, 2 – Б.

3. \(a^2+12a+36=(a+6)^2=(15+6)^2=21^2\)

ділиться націло на \(3.\) Отже, 3 – Г.

4. \(a^2+13^2=15^2+13^2=225+169=394\)

є парним числом. Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Б, 3 – Г, 4 – В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє знання модуля дійсного числа та його властивостей.

За властивістю модуля дійсного числа

Спрощуємо вираз:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів та знаходити їхнє числове значення при заданих значеннях змінних.

\(2\sin \mathbf{\alpha}=\cos \mathbf{\alpha}.\) Поділимо обидві частини рівності на вираз \(\cos \mathbf{\alpha}\ne 0.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Розкриємо дужки та спростимо отриманий вираз:

A \((x+2)(x-2)=x^2-4.\)

Б \(x(x+4)=x^2+4x.\)

B \((x+2)^2+4x=x^2+4x+4+4x=x^2+8x+4.\)

Г \((x+2)^2=x^2+4x+4.\)

Д \((x-2)^2+4x=x^2-4x+4+4x=x^2+4.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа, порівняння чисел.

Це завдання перевіряє вміння порівнювати дійсні числа.

З двох дробів з однаковими чисельниками більший той, у якого менший знаменник.

Отже, \(\frac{5}{18}\lt \frac{5}{17}.\)

З двох дробів з однаковими знаменниками більший той, у якого більший чисельник.

Отже, \(\frac{5}{17}\lt \frac{6}{17}.\)

Маємо \(\frac{5}{18}\lt \frac{5}{17}\lt \frac{6}{17}.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Використали властивості

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції. Відсотки. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння знаходити число за значенням його відсотка, розв'язувати задачі на відсоткові розрахунки.

1. Оскільки \(2\) грн \(40\) коп це \(3\text{%}\), то Андрій вніс $$ 2\mathord{,}4 : 0\mathord{,}03 = 240 : 3 = 80\ \textit{грн}. $$

2. Оскільки Андрій вніс до терміналу \(80\) грн, то на телефон була внесена сума $$ 80 - 2\mathord{,}4 = 77\mathord{,}6\ \textit{грн} $$ з урахуванням комісії. $$ 77\mathord{,}6 : 5 = 15\mathord{,}52. $$ Таким чином, бонусів нарахують $$ 15\cdot 8=120. $$

Відповідь: 1. \(80.\)
                   2. \(120.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа, порівняння чисел та дії над ними.

Це завдання перевіряє знання означення кореня n-го степеня та його властивостей; означення степеня з натуральним, цілим та раціональним показниками, їхні властивості.

Доберемо до кожного із запитань 1 – 4 правильну відповідь.

1. \((a^m)^n=a^4\), то \(a^{mn}=a^4\), \(mn=4.\) Отже, 1 – B.

2. \(a^m\cdot a^n=a^4\), то \(a^{m+n}=a^4\), \(m+n=4.\) Отже, 2 – A.

3. \(\sqrt[8]{a^m}=\sqrt{a^n}\), то \(a^{\frac m8}=a^{\frac n2}\), \(\frac m8=\frac n2\), \(2m=8n\), \(m=4n.\) Отже, 3 – Г.

4. \(\frac{a^n}{a^m}=\frac{1}{a^4}\), то \(a^{n-m}=a^{-4}\), \(n-m=-4\), \(m-n=4.\) Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – B, 2 – А, 3 – Г, 4 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа, порівняння чисел та дії з ними. Числові множини та співвідношення між ними.

Це завдання перевіряє знання властивостей модуля дійсного числа.

За властивістю модуля:

\(a-2\lt 0\) при \(a\lt 2\), тому розкривши модуль, отримаємо

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа та вирази. Логарифмічні вирази та їх перетворення. Функції. Основні властивості логарифмічної функції.

Це завдання перевіряє вміння виконувати перетворення логарифмічних виразів, знання властивостей логарифмічної функції.

Функція \(y=\log_2x\) зростаюча, тому

Тому \(x\in (3; 4).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє знання основних тригонометричних тотожностей та вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання формул скороченого множення.

Оскільки обидва дроби мають однаковий знаменник, перетворимо заданий вираз у такій послідовності:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати рівняння першого степеня, застосовувати загальні методи та прийоми в процесі розв’язання рівнянь.

Розв’яжемо рівняння першого степеня відносно \(y:\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі. Основні задачі на відсотки.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом, знаходити відсоток від числа.

Зошит у клітинку або в лінійку коштує \(3\) грн. Кожному учневі потрібно \(9\) зошитів у клітинку та \(3\) зошити в лінійку.

1. Кількість зошитів, яку треба закупити:

2. При купівлі зошитів по \(10\) штук надається знижка \(5\text{%}.\) Кількість зошитів кожного виду кратна \(10\), тому знижка буде на всі зошити.

Отже, вартість усіх зошитів зі знижкою \(5\text{%}\) становить

Відповідь: 1. \(960.\)
                   2. \(2736.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логаримфічні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних, степеневих, логарифмічних виразів, використовувати властивості модуля до розв'язування задач.

1. Щоб розв'язати це завдання, достатньо скористатися формулою: \begin{gather*} \sqrt{a^2}=|a|,\\[6pt] \sqrt{\left(-\frac 12\right)^2}=\left|-\frac 12\right|=\frac 12=0\mathord{,}5\\[6pt] 0\mathord{,}5\in [0; 1). \end{gather*} Отже, 1 – B.

2. Щоб розв'язати це завдання, достатньо скористатися формулою: \begin{gather*} (a^x)^y=a^{x\cdot y},\\[6pt] 8^{\frac 23}=(2^3)^{\frac 23}=2^2=4,\\[6pt] 4\in [3; +\infty). \end{gather*} Отже, 2 – Д.

3. Щоб розв'язати це завдання, достатньо скористатися формулами: \begin{gather*} \log_a b^n=n\cdot \log_a b,\\[7pt] \log_{a^k} b=\frac 1k\cdot \log_a b. \end{gather*}

\(\log_{\frac 12} 10\lt \log_{\frac 12} 8\)
\(\log_{\frac 12} x\) – спадна функція, тому більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції. $$ \log_{\frac 12} 8=-3, $$ тому $$ \log_{\frac 12}10\lt -3\ \ (-\infty; -3). $$ Отже, 3 – A.

4.За означенням модуля числа: \begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right.\\[6pt] \left|\frac 12-2\right|=\left|-1\frac 12\right|=1\frac 12=1\mathord{,}5\\[6pt] 1\mathord{,}5\in [1; 3). \end{gather*} Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – Д, 3 – A, 4 – Г.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів і знаходити їхне числове значення при заданих значеннях виразу.

Використаємо тотожність:

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Отже, правильна відповідь – А.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання формул скороченого множення.

Застосуємо формулу різниці квадратів:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Логарифмічні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

Використаємо властивості логарифмів:

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння порівнювати дійсні числа, знаходити відношення чисел.

Число \(a\) в \(5\) разів більше, ніж додатне число \(b.\) Тоді $$ a=5b. $$ Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі на відношення, пропорції та відсотки.

1. За діаграмою визначаємо, що підручники становлять $$ 100-75-8-5=12\ \text{%} $$ від загальної кількості книг, що є в бібліотеці. За умовою, кількість підручників дорівнює \(84.\) Знайдемо загальну кількість книг \((n)\) у бібліотеці. Складемо пропорцію: \begin{gather*} n - 100\ \text{%}\\[7pt] 84 - 12\ \text{%}. \end{gather*} Тоді

2. Визначаємо кількість довідників \((m)\) з пропорції: \begin{gather*} 700 - 100\ \text{%}\\[7pt] m - 8\ \text{%}. \end{gather*} Тоді $$ m=\frac{8\cdot 700}{100}=56. $$

Нехай додатково придбано \(k\) підручників. Згідно умови повинна виконуватися рівність $$ (84+k):m=4:1. $$ Отже, $$ (84+k):56=4, $$ звідки отримуємо:

Відповідь: 1. \(700.\)
                   2. \(140.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні числа та дії з ними. Означення степеня з раціональним показником. Модуль дійсного числа.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з раціональними числами, записаними у вигляді звичайних дробів, знаходити значення степеневого виразу, виразу, що містить знак модуля.

Для розв'язання завдання потрібно знати правила дій із звичайними дробами, означення степеня з раціональним показником та правила дій зі степенями, а саме:

то значення модуля дійсного числа.

Нагадаємо, що за означенням модулем числа \(x\) називають саме це число, якщо воно є невід'ємним, і протилежне до \(x\) число, якщо воно є від'ємним, тобто

Обчислимо значення виразів (1 – 4).

1.

Отже, 1 – Д.

2. $$ \frac 1a=\frac{1}{\frac{25}{4}}=\frac{4}{25}. $$ Отже, 2 – A.

3.

Отже, 3 – Г.

4.

Або

Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – А, 3 – Г, 4 – Б.

ТЕМА: Алгебра і почати аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє знання основної тригонометричної тотожності та вміння її застосовувати до перетворення тригонометричних виразів.

Для будь-якого кута \(\alpha\) виконується рівність: $$ \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1. $$

I спосіб. Домножимо обідві частини цієї рівності на \(4\mathord{:}\)

звідси

Оскільки за умовою

то отримаємо:

II спосіб. Виразимо з основної тригонометричної тотожності \(\sin^2 \alpha\mathord{:}\) $$ \sin^2 \alpha=1-\cos^2 \alpha. $$ Оскільки за умовою $$ 4\cos^2 \alpha=1, $$ то $$ \cos^2 \alpha=\frac 14, $$ тоді $$ \sin^2 \alpha=1-\cos^2 \alpha=1-\frac 14=\frac 34. $$ Звідки $$ 4\sin^2 \alpha=4\cdot\frac 34=3. $$

Зауваження. Правильну відповідь до завдання можна отримати, якщо навіть не знати (чи не пам'ятати) основної тригонометричної тотожності. Якщо знати, що $$ \cos 60^\circ=\frac 12, $$ тобто \(\alpha=60^\circ\) задовольняє умову $$ 4\cos^2 \alpha=1, $$ а $$ \sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, $$ тоді $$ 4\sin^2 \alpha=4\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=3. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Логарифмічні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє знання формули суми логарифмів та вміння її застосовувати до розв'язування задач.

Оскільки

при

то

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Ірраціональні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє вміння оцінювати значення ірраціонального виразу, використовуючи властивості функції.

Оскільки виконується нерівність $$ 8\lt 18\lt 27 $$ і функція $$ y=\sqrt[3]{x} $$ є зростаючою, тобто більшому значенню аргумента \(x\) відпвідає більше значення функції \(y\), то $$ \sqrt[3]{8}\lt \sqrt[3]{18}\lt \sqrt[3]{27}. $$

Оскільки

то $$ 2\lt \sqrt[3]{18}\lt 3. $$ Отже, число \(\sqrt[3]{18}\) належить проміжку \([2; 3).\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Вирази з коренями. Формули скороченого множення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати арифметичні дії з дробовими виразами.

Щоб спростити вираз, зведемо дроби до спільного знаменника. На практиці дроби з різними знаменниками зводять до найпростішого (найменшого) спільного знаменника. Найпростішим спільним знаменником дробів є вираз \(ab(a-b)\), який ділиться і на \(b(a-b)\), і на \(a(a-b).\) Зазначимо, що, наприклад, вираз

також є спільним знаменником, проте він ділиться на спільний знаменник \(ab(a-b)\), тому не є найпростішим.

Скористаємось основною властивістю дробів: дріб не зміниться, якщо його чисельник і знаменник домножити на один і той самий ненульовий вираз. Тоді чисельник і знаменник першого дробу домножимо на \(a\), а другого – на \(b\mathord{:}\)

Тоді

Розкладемо чисельник на множники, скориставшись формулою різниці квадратів, і скоротимо отриманий дріб:

Запропонований спосіб розв'язання не є єдиноможливим. Вираз можна спростити, виконавши ще такі перетворення:

Тоді

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Перетворення виразів із степенями.

Це завдання перевіряє вміння зводити одночлен до стандартного вигляду. Для цього треба знайти добуток коефіцієнтів: $$ 0\mathord{,}4\cdot 5=2 $$ та добуток степенів з однаковою основою, використовуючи формулу

Тоді $$ 0\mathord{,}4x^2\cdot 5x^3=2x^5. $$

Відповідь: B.