ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Основи динаміки. Другий закон Ньютона.

Завдання скеровано на перевірку знання законів кінематики й законів динаміки Ньютона, а також уміння розв'язувати комбіновані задачі, використовуючи поняття і закономірності з кількох розділів механіки.

Ураховуючи загальний вид рівняння руху $$ x=x_0+V_{0x}t-\frac{a_xt^2}{2} $$ і розташуванням коефіцієнтів у рівнянні руху в умові, можна визначити, що $$ \frac{a_x}{2}=4, $$ тоді $$ a=a_x=8\ \text{м/с}^2. $$

За II законом Ньютона $$ R=ma= 800\ \text{кг} \cdot 8\ \text{м/с}^2=6\ 400\ \text{Н}. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Основи кінематики. Ріномірний рух по колу. Доцентрове прискорення.

Завдання скеровано на перевірку вміння розрізняти різні види руху за його параметрами й розв'язувати розрахункові задачі на рівномірний рух по колу.

Модуль доцентрового прискорення \(a\), що визначають за формулою \(a=\frac{v^2}{R}\), залежить від радіуса \(R\) криволінійної траєкторії обернено пропорційно за незмінного модуля швидкості \(v\). Оскільки радіуси в точках А, В і С співвідносяться як \(R_{\mathrm{А}}=R_{\mathrm{B}}\gt R_{\mathrm{C}}\) (див. рисунок), то \(a_{\mathrm{А}}=a_{\mathrm{B}}\lt a_{\mathrm{C}}\).

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Матеріальна точка.

Завдання скеровано на перевірку поняття «матеріальна точка» і вміння застосовувати основні поняття механіки.

Матеріальною точкою називають будь-яке тіло, розмірами якого за певних умов можна знехтувати, тому поняття «матеріальна точка» можна застосувати і до ведмедя, і до бджоли залежно від умов задачі.

Відповідь: В.

ТЕМА: Квантова фізика.

Завдання скеровано на перевірку розуміння зв’язку маси та енергії.

Дано:
\(E=200\ \text{кВт}\cdot \text{год}\)

1. Знайти:
\(m\ (\text{мкг})\ -\ ?\)

Енергію, спожиту родиною, необхідно перевести в Дж:

Енергія пов’язана з масою формулою $$ E=mc^2. $$

Тоді

Відповідь: 8.

ТЕМА: Оптика. Закони заломлення світла.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати розрахункові задачі із застосуванням законів заломлення світла.

Дано:
\(\mathbf{\beta}=20\ ^\circ\text{С}\)

Знайти:
\(\mathbf{\alpha}\ -\ ?\)

Рис. 1. Умова освітлення дна колодязя

Для того, щоби промінь міг освітити дно вузького колодязя, він має бути паралельним до його стінок, тобто перпендикулярним до горизонтальної поверхні (див. рисунок 1).

Рис. 2. Позначення кута \(\mathbf{\gamma}\)

Чорним пунктиром позначено горизонтальний напрямок. Горизонтальна поверхня паралельна до горизонту. Тож можна розглядати поверхню і чорний пунктир як дві паралельні прямі, а дзеркало як їхню січну. Тоді \(\mathbf{\alpha}=\mathbf{\gamma}\) (як відповідні кути при паралельних прямих і січній на рисунку 2).

Рис. 3. Позначення кута \(\mathbf{\delta}\)

Тоді кут між падним променем і поверхнею дзеркала \(\mathbf{\delta}\) (рис. 3) дорівнює різниці кутів \(\mathbf{\alpha}\) та \(\mathbf{\beta}\): $$ \mathbf{\delta}=\mathbf{\alpha}-\mathbf{\beta}. $$

За умовою відбивання кут падіння дорівнює куту відбивання. Тому кути між падним променем і поверхнею відбивання та відбитим променем і поверхнею відбивання також рівні.

Тож маємо прямокутний трикутник із гострими кутами \(\mathbf{\alpha}\) та \(\mathbf{\delta}\):

Відповідь: 55.

ТЕМА: Електродинаміка. Основи електростатики. Конденсатори.

Завдання скеровано на перевірку розуміння впливу зовнішніх чинників на електроємність конденсатора.

Знайти:
\(\frac{S_2}{S_1}\ -\ ?\)

Електроємність конденсатора залежить від його геометричних характеристик: $$ C=\frac{\mathbf{\varepsilon}\mathbf{\varepsilon}_0S}{d}, $$ де \(\mathbf{\varepsilon}\) – діелектрична проникність діелектрика між обкладинками, \(\mathbf{\varepsilon}_0\) – електрична стала, \(S\) – площа обкладинок, \(d\) – відстань між обкладинками.

Під час повороту обкладинок конденсатора змінюється площа їхнього перекриття. Нехай довжина пластини становить \(5\) клітинок, а ширина – \(3\) клітинки. Тоді можна обчислити початкову площу перекриття в умовних одиницях: $$ S_1=3\cdot 5=15\ (\text{у. о.}). $$

Після повороту область перекриття перетворилася на квадрат зі стороною 3 клітинки, площа якої дорівнює:

Відповідь: 0,6.

ТЕМА: Молекулярна фізика та термодинаміка. Основи термодинаміки. Рівняння стану ідеального газу.

Завдання скеровано на оцінювання вміння розв’язувати розрахункові задачі з використанням рівняння стану ідеального газу.

Дано:
\(T=7\ ^{\circ}\text{С}\)
\(p=166\ \text{кПа}\)
\(V=70\ \text{л}\)
\(R=8,3\ \frac{\text{Дж}}{\text{моль}\ \cdot\ \text{К}}\)

Знайти:
\(\mathbf{\nu}\ (\text{моль})\ -\ ?\)

Рівняння стану ідеального газу таке: $$ pV=\mathbf{\nu}RT, $$ де \(p\) – тиск газу, \(V\) – об’єм газу, \(T\) – температура газу, \(\mathbf{\nu}\) – кількість речовини, \(R\) – універсальна газова стала.

Тоді, після переведення всіх фізичних величин в одиниці СІ,

Відповідь: 5.

ТЕМА: Динаміка рідин і газів. Потужність.

Завдання скеровано на перевірку розуміння поняття потужності та динаміки потоку рідини в трубі.

Дано:
\(V=0,2\ \text{м}^3\)
\(A=26\ \text{кДж}\)
\(\mathbf{\rho}_{\text{якір}}=7500\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\)
\(\mathbf{\rho}_{\text{води}}=1000\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\)
\(g=10\ \frac{\text{м}}{\text{с}^2}\)

Знайти:
\(l\ (\text{м})\ -\ ?\)

Роботу сили можна визначити за формулою $$A=Fs\cos\mathbf{\alpha},$$ де \(F\) – сила, \(s\) – переміщення, спричинене силою, \(\mathbf{\alpha}\) – кут між напрямком сили й переміщення.

На якір у воді діє сила тяжіння, сила Архімеда й зовнішня сила, що піднімає якір (рис. 1).

Рис. 1. Сили, що діють на якір

Формула, якою описують другий закон термодинаміки, така: \begin{gather*} \overrightarrow{F_\text{рівн}}=\overrightarrow{F}+\overrightarrow{F_T}+\overrightarrow{F_A}. \end{gather*}

Оскільки якір піднімають повільно, можна вважати, що прискорення дорівнює нулю, тоді в проєкції на вісь OY другий закон Ньютона можна записати так: \begin{gather*} 0=F-F_T+F_A;\\[7pt] F=F_T-F_A. \end{gather*}

Силу тяжіння визначають за формулою \begin{gather*} F_T=mg, \end{gather*} а силу Архімеда – за формулою $$F_A=\mathbf{\rho}_{\text{води}}gV.$$

Маса тіла, його густина й об’єм пов’язані формулою \begin{gather*} m=\mathbf{\rho}_{\text{якір}}V. \end{gather*}

Тож

Тоді, зважаючи на те, що напрямок сили та переміщення однакові,

\begin{gather*} A=Fl;\\[6pt] l=\frac AF=\frac{26\ \text{кДж}}{13000\ \text{Н}}=\frac{26000\ \text{Дж}}{13000\ \text{Н}}=2\ \text{м}. \end{gather*}

Відповідь: 2.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Умови рівноваги.

Завдання скерованo на перевірку вміння розв’язувати задачі з використанням умов рівноваги.

Дано:
\(l=40\ \text{см}\)
\(F_A=4\ \text{Н}\)
\(F_B=1\ \text{Н}\)

Знайти:
\(A\ (\text{Дж})\ -\ ?\)

Рис. 1. Умова задачі

На рисунку зображено важіль. Умова рівноваги для важеля – це рівність моментів сил: $$ M_A=M_B, $$ де \(M_A\) і \(M_B\) – відповідні моменти сил.

Момент сил можна визначити за формулою $$ M=Fd, $$ де \(F\) – сила, що діє на плече, \(d\) – плече сили.

Рис. 2. Визначення плеча сили

Нехай плече сили, що прикладена в точці \(A-d_A=x\ (\text{м})\), а плече сили дорівнює \(d_B\). Оскільки довжина всього стержня дорівнює \(40\ \text{см}=0,4\ \text{м}\), то \(d_A+d_B=0,4\ \text{м}\), тож \(d_B=0,4-x\ (\text{м})\).

Тоді умову рівності моментів можна записати так:

Відповідь: 8.

ТЕМА: Електромагнітні коливання і хвилі. Формула Томсона.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати розрахункові задачі з використанням формули Томсона.

Дано:
\(L=10\ \text{мГн}\)
\(C=40\ \text{мФ}\)
\(\mathbf{\pi}=3,14\)

1. Знайти:
\(\mathbf{\omega}\ -\ ?\)

Знаючи ємність конденсатора й індуктивність котушки коливального контуру можна визначити період коливань T, які виникають під час його роботи: $$ T=2\mathbf{\pi}\sqrt{LC}, $$ де \(L\) – індуктивність котушки, \(C\) – електрємність конденсатора.

Циклічна частота пов’язана з періодом коливань формулою $$ \mathbf{\omega}=\frac{2\mathbf{\pi}}{T}. $$

Тоді

2. Знайти:
\(t (\text{мс})\ -\ ?\)

Енергію конденсатора в коливальному контурі можна визначити за формулою $$ W_{\text{кон}}=\frac{CU^2}{2}, $$ де \(U\) – напруга, а \(C\) – електроємність.

Енергію котушки обчислюють за формулою \begin{gather*} W_{\text{кот}}=\frac{LI^2}{2}, \end{gather*} де \(L\) – індуктивність, \(I\) – сила струму.

Енергія в коливальному контурі змінюється періодично. За один період у коливальному контурі заряд з одної обкладинки конденсатора протікає через котушку на іншу обкладинку, а потім назад. Тож за один період сила струму в котушці (а отже й енергія) дорівнює нулю двічі: на початку періоду та в момент \(T/2\). Нульова енергія на котушці відповідає максимальній енергії на конденсаторі.

Тоді в момент \(T/4\) енергія на котушці буде максимальною, а на конденсаторі дорівнюватиме нулю.

Перший раз енергія котушки й конденсатора зрівняється між моментами максимуму енергії конденсатора \((t=0)\) і котушки \((t=T/4)\), тобто в момент \(t=T/8\).

Цей час можна обчислити:

Відповідь: 1. 50. 2. 16.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Рівняння теплового балансу. Робота. Потужність. Коефіцієнт корисної дії (ККД).

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати комбіновані задачі, пов’язані з електричною потужністю і рівнянням теплового балансу.

Дано:
\(R=20\ \text{Ом}\)
\(U=200\ \text{В}\)
\(m=1\ \text{кг}\)
\(t_1=20\ ^\circ\text{С}\)
\(t_2=100\ ^\circ\text{С}\)
\(t=200\ \text{с}\)
\(c=4200\ \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\ \cdot\ \text{К}}\)

1. Знайти:
\(A\ (\text{кДж})\ -\ ?\)

Потужність пов’язана з роботою формулою $$ P=\frac At, $$ де \(A\) – виконувана робота, а \(t\) – час виконання роботи.

Потужність електричного нагрівача можна визначити за формулою $$ P=UI=\frac{U^2}{R}, $$ де \(U\) – напруга, \(I\) – сила струму.

Тож

2. Знайти:
\(\text{ККД}\ (\text{%})\ -\ ?\)

ККД нагрівача визначають як відношення корисної роботи, виконаної ним, до повної роботи: \begin{gather*} \text{ККД}=\frac{Q}{A_\text{пов}}\cdot 100\ \text{%}, \end{gather*} де \(Q\) – це енергія, що необхідна для нагрівання води.

Необхідну для нагрівання води кількість енергії можна визначити за формулою $$ Q=cm(t_2-t_1), $$ де \(c\) – питома теплоємність тіла, \(m\) – маса тіла, \(t_1\) – початкова температура тіла, \(t_2\) – кінцева температура тіла.

Повна робота – це робота струму в електричному нагрівачі, тож

Відповідь: 1. 400. 2. 84.

ТЕМА: Теплота згоряння палива. Рівняння теплового балансу палива. Рівняння теплового балансу для найпростіших теплових процесів.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати розрахункові задачі, пов’язані з рівняннями теплового балансу.

Дано:
\(m=3\ \text{кг}\)
\(t_1=40\ ^\circ\text{С}\)
\(c_{\text{води}}=4200\ \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\ \cdot\ \text{К}}\)
\(r=2300\ \frac{\text{кДж}}{\text{кг}}\)
\(q=45\ \frac{\text{МДж}}{\text{кг}}\)
\(\mathbf{\rho}=0,8\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\)
\(t_2=100\ ^\circ\text{С}\)

1. Знайти:
\(V\ (\text{м}^3)\ -\ ?\)

Необхідну для нагрівання води до температури кипіння \((100\ ^\circ\text{С})\) кількість енергії можна визначити за формулою \begin{gather*} Q_{\text{нагр}}=cm(t_2-t_1), \end{gather*} де \(c\) – питома теплоємність тіла, \(m\) – маса тіла, \(t_1\) – початкова температура тіла, \(t_2\) – кінцева температура тіла.

Енергію, що виділиться під час спалювання газу, можна визначити за формулою $$ Q_{\text{спал}}=qm, $$ де \(q\) – питома теплота згоряння палива, \(m\) – маса тіла.

Маса палива пов’язана з його густиною та об’ємом формулою $$ m_{\text{пал}}=\mathbf{\rho}_{\text{пал}}V_{\text{пал}}, $$ де \(\mathbf{\rho}\) – густина палива, \(V\) – об’єм палива.

Тоді рівняння теплового балансу таке:

2. Знайти:
\(Q\ (\text{кДж})\ -\ ?\)

Для того, щоби випарувати воду, її необхідно нагріти до температури кипіння \((100\ ^\circ\text{С})\). Необхідну для нагрівання кількість енергії можна визначити за формулою \begin{gather*} Q_{\text{нагр}}=cm(t_2-t_1), \end{gather*} де \(c\) – питома теплоємність тіла, \(m\) – маса тіла, \(t_1\) – початкова температура тіла, \(t_2\) – кінцева температура тіла.

Енергію, необхідну для випаровування води, можна визначити за формулою $$ Q_{\text{вип}}=rm, $$ де \(r\) – питома теплота пароутворення, \(m\) – маса тіла.

Тоді можна обчислити загальну необхідну кількість теплоти:

Відповідь: 1. 0,021. 2. 7656.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівноприскорений рух.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати розрахункові задачі на рівноприскорений рух.

Дано:
\(t=5\ \text{с}\)
\(v_0=0\ \frac{\text{м}}{\text{с}}\)
\(v=10\ \frac{\text{м}}{\text{с}}\)
\(t_1=4\ \text{с}\)

1. Знайти:
\(a\ \left(\frac{\text{м}}{\text{с}^2}\right)\ -\ ?\)

Швидкість за рівноприскореного руху можна визначити за формулою $$ v=v_0+at, $$ де \(v_0\) – початкова швидкість, \(a\) – прискорення, \(t\) – час руху тіла.

Оскільки тіло рухається зі стану спокою, то початкова швидкість тіла дорівнює нулю, тоді $$ v=at. $$

Тож з формули можна виразити прискорення: \begin{gather*} a=\frac vt=\frac{10\ \frac{\text{м}}{\text{с}}}{5\ \text{с}}=2\ \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \end{gather*}

2. Знайти:
\(l\ (\text{м})\ -\ ?\)

Шлях, пройденим тілом, під час рівноприскореного руху можна визначити за формулою $$ l=v_0t+\frac{at^2}{2}, $$ де \(v_0\) – початкова швидкість тіла, \(a\) – прискорення тіла, \(t\) – час руху тіла.

Початкова швидкість тіла дорівнює нулю, тож шлях, який тіло пройшло за \(4\ \text{с}\), можна обчислити за формулою \begin{gather*} l=\frac{at^2}{2}=2\ \frac{\text{м}}{\text{с}^2}\cdot\frac{(4\ \text{с})^2}{2}=16\ \text{м}. \end{gather*}

Відповідь: 1. 2. 2. 16.

ТЕМА: Оптика. Інтерференція світла. Дисперсія світла. Поляризація світла.

Завдання скеровано на перевірку розуміння застосовності оптичних явищ у техніці.

А Рідкі кристали в дисплеї пропускають лише світло певної поляризації. Під час проходження струму, рідкий кристал змінює свою форму / положення, у результаті чого змінюється і поляризація, яку він пропускає. Саме так формується зображення.

Б Для виготовлення дзеркал скло високої якості вкривають тонким шаром металу, що відбиває світло.

В Для того, щоби зменшити вплив відбивання світла на границях лінз, на їхні поверхні наносять тонкі плівки. У результаті інтерференції для певних довжин хвиль відбиті промені накладаються та гасять одне одного.

Г Лазер є основним джерелом енергії, яка руйнує шар металу під час різання. Усю ця енергію поглинає метал, унаслідок чого підвищується температура в опроміненій ділянці, що й приводить до руйнування.

Д Світловий промінь залишається всередині довгого оптичного волокна завдяки тому, що він падає на стінки волокна під кутом повного внутрішнього відбивання (або більшим кутом), тож замість того, щоби заломлюватися на межі скла й повітря, промінь відбивається і продовжує свій рух усередині.

Відповідь: 1А, 2В, 3Г, 4Д.