ТЕМА: Молекулярна фізика й термодинаміка. Середня квадратична швидкість теплового руху молекул.

Завдання скеровано на оцінювання вміння розв’язувати розрахункові задачі, пов’язані із середньою квадратичною швидкістю молекул.

Кількість зіткнень залежить від середньоквадратичної швидкості руху молекул: що більша швидкість їхнього руху, то частіше вони стикаються одні з одними й зі стінками.

За основним рівнянням молекулярно-кінетичної теорії існує зв’язок між макроскопічними параметри (тиском, об’ємом і температурами) і середньою швидкістю руху молекул у квадраті: $$ p=\frac 13 m_0n\overrightarrow{v^2}, $$ де \(p\) – тиск, \(m_0\) – маса однієї молекули, \(\overrightarrow{v^2}\) – середня швидкість молекул у квадраті, \(n\) – концентрація молекул. $$ n=\frac NV. $$ де \(N\) – кількість молекул, \(V\) – об’єм.

Тоді основне рівняння молекулярно-кінетичної можна переписати: $$ pV=\frac 13 m_0N\overrightarrow{v^2}. $$

З огляду на рівняння стану $$ pV=vRT. $$

Тому $$ vRT=\frac 13 m_0N\overrightarrow{v^2}. $$

Середньоквадратичну швидкість можна обчислити з виразу $$ v_{\text{кв}}=\sqrt{\overrightarrow{v^2}}. $$

Кількість речовини $$ v=\frac mM, $$ де \(M\) – молярна маса речовини, а \(m\) – маса тіла.

Зважаючи на те, що добуток маси однієї молекули на їхню кількість становить масу всього тіла, $$ m_0N=m. $$

Тому $$ \frac mM RT=\frac 13m\overrightarrow{v^2}. $$

Тобто $$ v_{\text{кв}}=\sqrt{\overrightarrow{v^2}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}. $$

Аби дізнатися, у скільки разів збільшиться кількість зіткнень зі стінкою за 1 с, необхідно обчислити, чому дорівнює відношення середньоквадратичної швидкості молекул за температури 1 000 К до середньоквадратичної швидкості молекул за температури 250 К: $$ \frac{v_{\text{кв 1000 К}}}{v_{\text{кв 2500 К}}}=\frac{\sqrt{\frac{3R\cdot 1000\ \text{К}}{M}}}{\sqrt{\frac{3R\cdot 250\ \text{К}}{M}}}=\sqrt{\frac{1000\ \text{К}}{250\ \text{К}}}=2. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Гідростатичний тиск.

Завдання скеровано на оцінювання розуміння поняття гідростатичного тиску

У кожній із посудин, зображених на рисунку, рідина встановилася на однаковому рівні. Тиск на дно рідини складатиметься з атмосферного тиску, який буде однаковим для трьох посудин, що розташовані в тій самій кімнаті і тиску стовпчика рідини в посудині. Тиск нерухомого стовпчика рідини або газу називають гідростатичним.

Гідростатичний тиск \(p\) визначають за формулою $$ p=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}gh, $$ де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}\) – густина рідини, \(g\) – прискорення вільного падіння, \(h\) – висота стовпчика рідини.

Оскільки висота стовпчика рідини в усіх посудинах однакова, то і їхній гідростатичний тиск також буде однаковим. А отже й загальний тиск на дно посудини буде однаковим.

Відповідь: A.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Пружне зіткнення.

Завдання скеровано на оцінювання розуміння особливостей пружного зіткнення і вміння використовувати закони збереження.

Пружне зіткнення – це зіткнення, після якого сумарна кінетична енергія тіл зберігається: $$ W_{\text{кульки}}=\frac{mv^2}{2}. $$

Тож можна обчислити кінетичну енергію кожної з кульок до зіткнення. Нехай рухома кулька – кулька 1, а нерухома – 2: \begin{gather*} W_1=\frac{mv^2}{2}=\frac{m(10\ \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{2}=50m\ \text{Дж};\\[1pt] W_2=\frac{mv^2}{2}=\frac{m(0\ \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{2}=0\ \text{Дж}. \end{gather*}

Тоді сумарна кінетична енергія до зіткнення становить $$ W_{\text{до}}=W_1+W_2=50m\ \text{Дж}. $$

У замкнутій системі має зберігатися сумарний імпульс тіл. Імпульс першої кульки до зіткнення становить $$ p_1=mv=10m\ \text{кг}\cdot \text{м/с}. $$

Імпульс другої кульки: $$ p_2=mv=0\ \text{кг}\cdot \text{м/с}. $$

Тоді сумарний імпульс до зіткнення становить: $$ p_{\text{до}}=p_1+p_2=10m\ \text{кг}\cdot \text{м/с}. $$

У випадку A після зіткнення швидкості першої і другої кульки дорівнюють \(–10\ \text{м/с}\) і \(0\ \text{м/с}\) відповідно. Тоді сумарна кінетична енергія після удару становитиме:

Імпульс першої кульки до зіткнення становить $$ p_{1 А}=mv=-10m\ \text{кг}\cdot \text{м/с}. $$

Імпульс другої кульки $$ p_{2 А}=mv=0\ \text{кг}\cdot \text{м/с}. $$

Сумарний імпульс системи після зіткнення становить $$ p_{\text{після А}}=p_{1 А}+p_{2 А}=-10m\ \text{кг}\cdot \text{м/с}. $$

Отже імпульс не зберігається.

У випадку Б після зіткнення швидкості першої і другої кульки відповідно дорівнюють \(–5\ \text{м/с}.\) Тоді сумарна кінетична енергія після удару становитиме

Отже кінетична енергія після удару менша, ніж до нього. Зіткнення не пружне.

У випадку B після зіткнення швидкості першої і другої кульки відповідно дорівнюють \(-5\ \text{м/с}\) та \(5\ \text{м/с}.\) Тоді сумарна кінетична енергія після удару становитиме:

Отже кінетична енергія після удару менша, ніж до нього. Зіткнення не пружне.

У випадку Г після зіткнення швидкості першої і другої кульки дорівнюють \(0\ \text{м/с}\) і \(10\ \text{м/с}\) відповідно. Тоді сумарна кінетична енергія після удару становитиме

Імпульс першої кульки до зіткнення становить $$ p_{1 Г}=mv=0\ \text{кг}\cdot \text{м/с}. $$

Імпульс другої кульки дорівнює $$ p_{2 Г}=mv=10\ \text{кг}\cdot \text{м/с}. $$

Сумарний імпульс системи після зіткнення становить $$ p_{\text{після Г}}=p_{1 Г}+p_{2 Г}=10m\ \text{кг}\cdot \text{м/с}. $$

Отже імпульс і кінетична енергія зберігаються – зіткнення пружне.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Механіка. Потенціальна енергія.

Завдання скеровано на оцінювання розуміння поняття потенціальної енергії і способів її обчислення для різних тіл

Потенціальна енергія \(U\) – це енергія, яку має тіло внаслідок взаємодії з іншими тілами або внаслідок взаємодії частин тіла між собою.

Для тіл, що перебувають у полі сили тяжіння, потенціальну енергію визначають за формулою $$ U=mgh, $$ де \(m\) – маса тіла, \(g\) – прискорення вільного падіння, \(h\) – висота підняття тіла над поверхнею.

Потенціальну енергію пружного тіла визначають за формулою \begin{gather*} U=\frac{kx^2}{2}, \end{gather*} де \(k\) – жорсткість тіла, \(x\) – його абсолютне видовження.

А Коли космічний корабель віддаляється від поверхні Землі, то він мусить виконувати роботу проти поля тяжіння Землі. У такому разі його потенціальна енергія зростає.

Б Коли контейнер піднімають на борт судна, то його висота над поверхнею землі збільшується, а отже й потенціальна енергія зростає.

В Коли тіло занурили у воду, то була виконана робота проти виштовхувальної сили. Тобто м’яч отримав додаткову енергію. Те саме відбувається із тілами, які піднімають на певну висоту (робота виконується проти поля сили тяжіння). Відразу після того, як сили перестають підтримувати тіло в положенні з більшою потенціальною енергією, воно починає рухатися до положення з найменшою потенціальною енергією. Саме тому, якщо тіло, підняте на висоту, відпустити, то воно падає. У цьому випадку тіло спливає, а його потенціальна енергія зменшується.

Г Коли спортсмен натягує тятиву, її абсолютне видовження \(x\) збільшується, а отже збільшується і її потенціальна енергія.

Відповідь: B.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Умови рівноваги.

Завдання скеровано на оцінювання вміння використовувати умови рівноваги для розв’язування розрахункових задач.

Важіль – це тверде тіло, яке може обертатися навколо нерухомої осі – осі обертання.

Важіль перебуває в рівновазі, якщо сума моментів сил, що діють на нього, дорівнює нулю.

Момент сили \(M\) – це фізична величина, що дорівнює добутку модуля сили \(F\), яка діє на тіло, на плече \(d\) цієї сили.

За рисунком до завдання можна визначити, що до правого плеча на відстані чотирьох поділок прикріплено три вантажі. Кожен із цих вантажів діє на плече із силою, що дорівнює їхній вазі.

На праве плече важеля на відстані трьох поділок прикріплено один вантаж, а на відстані двох поділок ми діємо силою.

Оскільки важіль за умовою перебуває в стані рівноваги, можна скористатися рівністю моментів сил: $$ 1)\ M_1=M_2, $$ де \(M_1\) і \(M_2\) – відповідні моменти сил: $$ 2)\ \left\{\begin{array}{l} M_1=l_1P_{3\ \text{вантажі}}=3l_1mg;\\ M_2=l_2F+l_3P_{1\ \text{вантаж}}=l_2F+l_3mg. \end{array}\right. $$

Вага трьох вантажів дорівнює сумі ваги кожного з них: $$ 3)\ \overrightarrow{P_3}=m\overrightarrow{g}+m\overrightarrow{g}+m\overrightarrow{g}=3m\overrightarrow{g}, $$ де \(l_1,\ l_2\) і \(l_3\) – відповідні плечі сил в умовних одиницях, позначені на рисунку 1.

Рис. 1. Схематичний розподіл сил

Після підставлення виразу (2) у вираз (1): $$ 3)\ 3l_1mg=l_2F+l_3mg. $$ Оскільки масштаб в умові не зазначено, то вважатимемо, що поділка – це умовна одиниця довжини (у. о. д.).

Із (3) можемо виразити \(F\):

Відповідь: B.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівноприскорений рух. Кінетична енергія.

Завдання скеровано на оцінювання вміння розраховувати кінетичну енергію для різних типів руху, зокрема рівноприскореного.

Кінетична енергія \(T\) – це фізична величина, яка характеризує механічний стан рухомого тіла й дорівнює половині добутку маси m тіла на квадрат швидкості v його руху: $$ T=\frac{mv^2}{2}, $$ де \(m\) – маса тіла, а \(v\) – швидкість його руху.

Під час рівноприскореного руху залежність швидкості тіла від часу можна записати так: $$ v=v_0+at, $$ де \(v_0\) – початкова швидкість, а \(a\) – прискорення тіла.

Після підставлення виразу для швидкості рівноприскореного руху у вираз для кінетичної енергії можна дістати залежність кінетичної енергії від часу: $$ T=\frac{m(v_0+at)^2}{2}=\frac m2 (v^2_0+2v_0at+a^2t^2). $$

У виразі є \(t^2\) – час у квадраті. Тобто залежність має вигляд параболи. На рисунку єдиний проміжок, що не є прямою – це проміжок 2–3.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Кінематика. Швидкість. Додавання швидкостей.

Завдання скеровано на оцінювання розуміння поняття відносності руху й уміння розв’язувати розрахункові задачі з додавання швидкостей.

Оскільки винищувач злітає з носа авіаносця, то їхні швидкості співнапрямлені. Тоді швидкість літака відносно берега дорівнює сумі швидкості авіаносця відносно берега й швидкості літака відносно корабля:

Тож можна розрахувати швидкість літака відносно корабля:

Відповідь: Б.