ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Сила пружності. Закон Гука.

Завдання скеровано на перевірку розуміння понять роботи й потенціальної енергії пружини.

Робота, виконана пружиною під час розтягування чи стискання, дорівнює зміні потенціальної енергії пружини, узятій із протилежним знаком: $$ A=U_2-U_1. $$

Потенціальну енергія пружини можна обчислити за формулою $$ U=\frac{kx^2}{2}, $$ де \(k\) – жорсткість пружини, \(x\) – її видовження.

Для обчислення потенціальної енергії пружини в кожному положенні необхідно перевести в метри видовження, подане в сантиметрах:

Тоді робота, яку пружина виконує під час скорочення від 4 см до 2 см, така:

А робота, яку пружина виконує під час скорочення від 2 см до 0 см, дорівнює:

Знак «мінус» у цьому разі означає, що пружина виконувала роботу, а не зовнішнє тіло виконувало роботу над нею.

Тож $$ \frac{A_1}{A_2}=\frac{-0,0006k}{-0,0002k}=3. $$

Відповідь: Г.

ТЕМА Механіка. Основи динаміки. Закони Ньютона.

Завдання скеровано на перевірку розуміння поняття інерціальної системи відліку та її складників.

Тіло відліку – це тіло, із яким в інерціальній системі відліку пов’язана система координат. Інерціальну систему відліку можна поєднати з тілом, що рухається без прискорення. В умові завдання єдиним тілом, яке рухається без прискорення, є шайба, що без тертя ковзає по льоду.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати графіки, що описують рух тіла.

Прямолінійний рух – це рух, траєкторію якого є пряма.

Щодо графіків у завданні:

А Це графік залежності проєкції швидкості \(v\) на вісь \(x\) від часу \(t\). Якщо проєкція швидкості на вісь незмінна, як на графіку, то рух рівномірний уздовж цієї осі. Проте рух за умовою відбувається в площині, а не вздовж осі. Інформації про рух уздовж іншої осі на цьому графіку немає, а без неї не можна зробити висновок про прямолінійність руху. Прикладом непрямолінійного руху з таким графіком залежності \(v_x(t)\) є рух тіла, кинутого під кутом до горизонту. Траєкторія такого руху – парабола.

Б Це графік залежності координати \(y\) від часу \(t\). Координата y за цим графіком залишається незмінною, проте інформації про зміну координати \(x\) на графіку немає. Тіло може як рухатися вздовж осі \(x\), так і залишатися на місці.

В Це графік залежності координати \(y\) від координати \(x\). У таких координатах графік зображує траєкторію руху тіла. У цьому разі траєкторія є прямою, тож рух прямолінійний.

Г Це графік залежності проекції швидкості \(v\) на вісь \(x\) від координати \(x\). Цей графік не надає інформації про рух тіла вздовж осі \(x\) чи \(y\), тож висновок про прямолінійність руху зробити не можна.

Відповідь: B.

ТЕМА: Механіка. Кінематика. Основи кінематики. Шлях і переміщення.

Завдання скеровано на перевірку розуміння поняття переміщення.

Переміщення \((\overrightarrow{s})\) – це векторна величина, яку графічно подають у вигляді напрямленого відрізка прямої, що з’єднує початкове й кінцеве положення матеріальної точки.

Літак, який рухається вздовж меридіану від полюса до екватора, має траєкторію, що є чвертю великого кола Землі (рис. 1). Велике коло – це коло на поверхні Землі, центр якого збігається із центром Землі. Його радіус дорівнює радіусу Землі \(R\).

Рис. 1. Схема руху літака вздовж меридіана

Переміщення літака за цих умов – це хорда великого кола Землі. Її довжину можна дістати з теореми Піфагора: $$ S=\sqrt{R^2+R^2}=\sqrt{2R^2}=R\sqrt{2}. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Квантова фізика. Елементи теорії відносності. Атом та атомне ядро. Радіоактивність.

Завдання скеровано на перевірку розуміння поняття «доза опромінювання людини» й методів визначення її.

Фізичну величину, якою характеризують біологічний вплив поглинутої дози йонізувального випромінювання, називають еквівалентною дозою йонізувального випромінювання \((H).\) Що більший час опромінювання, то більшою є поглинута доза. Поглинута доза накопичується із часом.

Обчислімо поглинуту за добу дозу: \begin{gather*} H_{\text{за добу}}=0,2\cdot 10^{-6}\ \text{Зв}\cdot 24\ \text{год}=0,48\cdot 10^{-6}\ \text{Зв}. \end{gather*} Тоді за рік людина отримає дозу

Урахуємо також дозу опромінювання від рентгенівського медичного обстеження організму – \(1\ \text{мЗв}.\) Тож разом протягом року за таких умов людина отримає дозу опромінювання \(1,8\ \text{мЗв}+1\ \text{мЗв}=2,8\ \text{мЗв}.\)

А це означає, що без шкоди для здоров᾽я людина може проходити рентгенівські медичні обстеження організму лише раз на рік, оскільки за умовою річна допустима доза опромінювання становить \(3\ \text{мЗв}.\)

Відповідь: 1.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Закони відбивання світла.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати закони відбивання світла для розв’язування задач із геометричної оптики.

За законом відбивання світла падний промінь, відбитий промінь і перпендикуляр до поверхні відбивання, проведений із точки падіння променя, лежать в одній площині. А також кут відбивання \(\beta\) дорівнює куту падіння \(\alpha .\)

Зобразімо це на рисунку.

За умовою кут \(\alpha\) падіння сонячних променів дорівнює \(45^\circ.\) За законом відбивання кут відбивання також дорівнює \(45^\circ.\) Тоді \(\angle AOB=45^\circ\) за побудовою, оскільки в точці падіння променя встановлено перпендикуляр.

Найкоротшою відстанню від точки падіння променя на калюжу до стіни школи є перпендикуляр, проведений від цієї точки до стіни школи. Тоді \(\Delta ABO\) – прямокутний і рівнобедрений. Один із гострих його кутів \(AOB\) дорівнює \(45^\circ.\) Відповідно й кут \(OAB\) теж дорівнює \(45^\circ.\) Оскільки трикутник рівнобедрений, його бічні сторони (катети в цому разі) рівні, тобто $$ OB=AB=10\ \text{м}. $$

Відповідь: 10.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Механічні коливання і хвилі. Зв’язок між довжиною хвилі, швидкістю її поширення і періодом (частотою).

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі про поширення механічних хвиль.

На рисунку позначмо період.

Через шуканий час \(t\) поширення хвилі можна побачити, що точки \(A\) і \(B\) лежатимуть на одній горизонтальній прямій. З рисунка видно, що це відбудеться найменше через \(\frac 18\) періоду \(T\): \begin{gather*} t=\frac 18 T,\\[6pt] t=\frac 18\cdot 1,6\ \text{с}=0,2\ \text{с}. \end{gather*}

Відповідь: 0,2.

ТЕМА: Електродинаміка. Електричний струм у різних середовищах. Закони електролізу. Закони постійного струму. Закон Джоуля – Ленца.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати комбіновані задачі з тем різних розділів, а саме застосування закону Джоуля – Ленца під час електролізу.

Кількість теплоти \(Q,\) що виділиться під час електролізу, можна обчислити за законом Джоуля – Ленца: $$ Q=I^2Rt, $$ де \(I\) – сила струму, \(R\) – опір розчину електроліту, \(t\) – час електролізу.

За умовою опір розчину електроліту й час електролізу відомі. Силу струму можна визначити з першого закону Фарадея: $$ m=kIt, $$ де \(m\) – маса речовини, яка виділяється на електроді під час електролізу, \(k\) – електрохімічний еквівалент. \begin{gather*} I=\frac{m}{kt};\\[6pt] I=\frac{0,3\cdot 10^{-3}\ \text{кг}}{10^{-8}\ \text{кг/Кл}\cdot 4000\ \text{с}}=7,5\ \text{А}. \end{gather*}

Підставмо значення всіх величин й обчислімо кількість теплоти, що виділиться під час електролізу: \begin{gather*} Q=I^2Rt=(7,5\ \text{А})^2\cdot 0,4\ \text{Ом}\cdot 4000\ \text{с};\\[7pt] Q=(7,5\ \text{А})^2\cdot (2^2\cdot 400)\ \text{Ом} \cdot \text{с};\\[7pt] Q=15^2\cdot 400\ \text{А}^2\cdot\ \text{Ом}\cdot \text{с};\\[7pt] Q=225\cdot 400\ \text{Дж};\\[7pt] Q=90\ 000\ \text{Дж};\\[7pt] Q=90\ \text{кДж}. \end{gather*}

Відповідь: 90.

ТЕМА: Електродинаміка. Закони постійного струму. Послідовне і паралельне з’єднання провідників.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі із застосування закону Ома для ділянки кола за різних з’єднань провідників.

Загальна напруга \(U\) на ділянці кола й напруга на кожному з паралельно з’єднаних провідників є однаковими: $$ U=U_1=U_2=\dots=U_n. $$

За паралельного з’єднання провідників сила струму \(I\) в нерозгалуженій частині кола дорівнює сумі сил струмів у відгалуженнях (окремих вітках): $$ I=I_1+I_2+\dots+I_n. $$

Загальний опір \(R\) паралельно з’єднаних провідників опором \(R_0\) кожний обчислюють за формулою $$ R=\frac{R_0}{n}, $$ де \(n\) ‒ кількість провідників.

За законом Ома для ділянки кола $$ I=\frac UR=\frac{U}{R_0/n}=\frac{Un}{R_0}. $$

Звідси формула для обчислення \(n:\)

Отже, максимально можлива кількість резисторів у цьому колі може бути \(15\), щоб значення сили струму не перевищувало встановлене в умові.

Відповідь: 15.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи термодинаміки. Питома теплоємність речовини.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати розрахункові задачі про фазові переходи.

Розгляньмо наведений в умові графік. Ділянка, на якій протягом двох хвилин (від 1‑ої до 3‑ої) температура речовини не змінювалася, відповідає плавленню, під час якого вся кількість теплоти \(Q_1\) витрачається на руйнування кристалічних ґраток, тобто на зміну агрегатного стану, а не на нагрівання: $$ Q_1=\lambda m, $$ де \(\lambda\) ‒ питома теплота плавлення речовини масою \(m\).

Потужність \(P,\) яку споживає під час плавлення речовина протягом часу \(\tau_1=2\ \text{хв}=120\ \text{с},\) обчислюють за формулою $$ P=\frac{Q_1}{\tau_1}. $$

Тепер розгляньмо ділянку графіка від 3‑ої до 4‑ої хвилини. Речовина розплавилася і почала нагріватися. Під час цього вона отримає кількість теплоти \(Q_2,\) яка витратиться на підвищення температури від \(0\) до \(40\ ^\circ \mathrm{C}\) протягом часу \(\tau_2=1\ \text{хв}=60\ \text{с}:\) $$ Q_2=cm\Delta t, $$ де \(c\) ‒ питома теплоємність речовини в рідкому стані. Під час цього процесу потужність \(P\) залишатиметься сталою, її обчислюють за формулою $$ P=\frac{Q_2}{\tau_2}. $$

Прирівняймо ці два вирази для потужності: \begin{gather*} \frac{Q_1}{\tau_1}=\frac{Q_2}{\tau_2},\\[6pt] \frac{\lambda m}{\tau_1}=\frac{cm\Delta t}{\tau_2}. \end{gather*}

Масу можна скоротити й дістати вираз шуканої величини ‒ питомої теплоємності: \begin{gather*} c=\frac{\lambda\cdot \tau_2}{\tau_1\cdot \Delta t}=\frac{200\cdot 10^3\ \text{Дж/кг}\cdot 60\ \text{с}}{120\ \text{с}\cdot 40\ \text{К}}=\\[6pt] =\frac{20\ 000}{8}\ \frac{\ \text{Дж}}{\ \text{кг}\cdot \ \text{К}}=2500\ \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{К}}=2,5\ \frac{\text{кДж}}{\text{кг}\cdot\text{К}}. \end{gather*}

Відповідь: 2,5.

ТЕМА: Механіка. Елементи механіки рідин і газів. Тиск. Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи молекулярно-кінетичної теорії. Рівняння стану ідеального газу.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати розрахункові комбіновані задачі з визначення сили тиску (механіка), описавши стан газу рівнянням Клапейрона (молекулярна фізика).

Опишімо стан газу в циліндрі за початкових умов (див. рис. 1). Легкий поршень ділить циліндр на дві рівні частини. Позначмо тиск, що однаково діє на поршень з обох боків \(p_0\). Об’єм газу в рівних частинах циліндра дорівнює \(V\). Температура газу не змінюється.

Коли з певною силою поршень змістили, то стан газу в обох частинах циліндра змінився. Запишімо рівняння Клапейрона для обох частин циліндра:

Із цих рівностей визначмо тиски \(p_1\) і \(p_2:\) \begin{gather*} p_1=2p_0,\\[6pt] p_2=\frac{2p_0}{3}. \end{gather*}

Щоб утримувати поршень у положенні як на рисунку 2, треба прикласти до поршня силу, щоб компенсувати різницю цих тисків: \begin{gather*} \Delta p=\frac FS,\\[6pt] \Delta=p_1-p_2=2p_0-\frac{2p_0}{3}=\frac{4p_0}{3}. \end{gather*}

Обчислімо шукану силу за формулою: \begin{gather*} F=\Delta p\cdot S=\frac{4p_0}{3}\cdot S=\\[6pt] =\frac{4\cdot 10^5\ \text{Па}\cdot 120\cdot 10^{-4}\ \text{м}^2}{3}=1600\ \text{Н}=1,6\ \text{кН}. \end{gather*}

Відповідь: 1,6.

ТЕМА: Механіка. Елементи механіки рідин і газів. Архімедова сила. Умови плавання тіл.

Завдання скеровано на перевірку розуміння умов плавання тіл і вміння математично описати їх.

У завданні тричі змінюються умови плавання дерев’яного бруска. Опишімо кожен із випадків.

1. На брусок діє сила тяжіння, яку врівноважує сила Архімеда: \begin{gather*} Mg=\rho_\text{в}gV_\text{зануреної частини}=\rho_\text{в}g\cdot Sh_1,\\[7pt] M=\rho_\text{в}Sh_1,\ \ \ \ \ (1) \end{gather*} де \(M\) – маса бруска, \(g\) – прискорення вільного падіння, \(S\) – площа основи бруска, \(h_1\) – глибина першого занурення бруска на \(10\ \text{см,}\) \(\rho_\text{в}\) – густина води.

2. Коли до бруска знизу прикріпили вантаж, то виштовхувальна сила діятиме і на занурену частину бруска, і на вантаж. Запишімо умову плавання бруска за цих умов: \begin{gather*} (M+m)g=\rho_\text{в}g\cdot Sh_2+\rho_\text{в}V_\text{вант},\\[7pt] Mg+\rho_\text{вант}V_\text{вант}g=\rho_\text{в}gSh_2+\rho_\text{в}gV_\text{вант},\ \ \ \ \ (2) \end{gather*} де \(m\) – маса вантажу, \(h_2\) – глибина другого занурення бруска на \(14\ \text{см,}\) \(\rho_\text{вант}\) – густина матеріалу вантажу, \(V_\text{вант}\) – об’єм вантажу.

3. Розгляньмо третій випадок, коли вантаж поклали на брусок зверху. Запишімо умову плавання: \begin{gather*} (M+m)g=\rho_\text{в}g\cdot Sh_3,\\[7pt] Mg+\rho_\text{вант}V_\text{вант}g=\rho_\text{в}gSh_3,\ \ \ \ \ (3) \end{gather*} де \(h_3\) – глибина третього занурення бруска, яку треба обчислити.

Розв’яжімо систему трьох рівнянь: \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} M=\rho_\text{в}Sh_1;\\ Mg+\rho_\text{вант}V_\text{вант}g=\rho_\text{в}gSh_2+\rho_\text{в}gV_\text{вант};\\ Mg+\rho_\text{вант}V_\text{вант}g=\rho_\text{в}gSh_3. \end{array} \right. \end{gather*}

Віднімімо від рівняння (2) рівняння (3): \begin{gather*} 0=\rho_\text{в}gSh_2+\rho_\text{в}gV_\text{вант}-\rho_\text{в}gSh_3,\\[7pt] V_\text{вант}=Sh_3-Sh_2. \end{gather*}

Підставімо в рівняння (3) вираз замість \(M\) і замість \(V_\text{вант}:\) $$ \rho_\text{в}Sh_1+\rho_\text{вант}(Sh_3-Sh_2)=\rho_\text{в}Sh_3. $$

Розкриймо дужки й обчислімо \(h_3:\)

Відповідь: 15.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи термодинаміки. Кількість теплоти. Коефіцієнт корисної дії.

Завдання скеровано на перевірку розуміння процесу згоряння палива й уміння обчислити коефіцієнт корисної дії.

1. Піч виконала корисну роботу – вода закипіла. Запишімо формулу для визначення кількості теплоти, яку отримала вода для того, щоб закипіти. Оскільки початкова температура води за умовою була \(10\ ^\circ \mathrm{C},\) то воді треба було надати порцію теплоти \(Q,\) щоб вона нагрілася до температури кипіння \(100\ ^\circ \mathrm{C}:\) $$ Q=cm\cdot \Delta t=c\cdot \rho V\cdot \Delta t, $$ де \(c\) ‒ питома теплоємність води, \(\rho\) – густина води, \(V\) – об'єм води, \(\Delta t\) – зміна температури.

Значення об’єму переведімо в одиниці системи СІ: \(10\ \text{л}=0,01\ \text{м}^3.\)

2. Запишімо формулу для визначення коефіцієнта корисної дії \(\eta :\) $$ \eta=\frac{Q_\text{корисна}}{Q_\text{повна}}\cdot 100\ \text{%}. $$

Корисно спожиту водою кількість теплоти \(Q_\text{корисна}\) для нагрівання води до температури кипіння вже обчислено в першій частині завдання. Обчислімо теплоту, яка виділиться внаслідок повного згоряння дров: $$ Q_\text{повна}=qm, $$ де \(q\) – питома теплота згоряння дров, \(m\) – маса дров.

Обчислімо значення кількості теплоти, що виділилася: $$ Q_\text{повна}=18,9\ \text{МДж/кг}\cdot 2\ \text{кг}=37,8\ \text{МДж}. $$

Обчислімо коефіцієнт корисної дії печі: $$ \eta=\frac{3,78\ \text{МДж}}{37,8\ \text{МДж}}\cdot 100\ \text{%}=10\ \text{%}. $$

Можна зробити висновок, що коефіцієнт корисної дії печі дуже низький, багато втрат – нагрівається сама піч, навколишнє повітря і предмети.
Відповідь: 10.

Відповідь: 1. 3,78. 2. 10.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівноприскорений рух.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати основні кінематичні характеристики, якими описують рівноприскорений рух, а саме проєкцію швидкості й прискорення.

1. За умовою рух є рівноприскореним, підтвердженням цього також є наведений графік залежності координати від часу. Графіком є частина параболи, вершина якої відповідає точці розвороту. Це саме момент часу \(4\ \text{с}.\) Наближаючись до цієї точки тіло гальмує, у цій точці воно зупиняється на мить і починає рухатися у зворотному напрямку. Отже, швидкість руху тіла в момент часу \(4\ \text{с}\) дорівнюватиме \(0\ \text{м/с}.\)
Відповідь: 0.

2. Рівняння координати для прямолінійного рівноприскореного руху в загальному вигляді таке: $$ x=x_0+v_0t+\frac{at^2}{2}\ (\text{у проєкціях на вісь } Ox), $$ де \(x\) – координата тіла, \(x_0\) – початкова координата тіла, \(v_0\) – початкова швидкість руху тіла, \(t\) – час руху тіла, \(a\) – прискорення руху тіла.

Розгляньмо проміжок часу від \(4\) до \(5\) секунд. Зручно взяти саме цей проміжок, бо за ним можна визначити всі необхідні дані для обчислення прискорення руху тіла. Візьмемо дані для рівняння з графіка: \begin{gather*} x=10,5\ \text{м},\\[7pt] x_0=11\ \text{м},\\[7pt] v_0=0\ \text{м/с},\\[7pt] t=1\ \text{с}. \end{gather*}

Спростімо рівняння: $$ x-x_0=\frac{at^2}{2}. $$

Виразімо й обчислімо прискорення руху тіла: $$ a=\frac{2\Delta x}{t^2}=\frac{2\cdot(-0,5)\ \text{м}}{1\ \text{с}^2}=-1\ \text{м/с}^2. $$

Знак «мінус» вказує на те, що тіло рухається у протилежному до осі \(Ox\) напрямку.
Відповідь: –1.

Відповідь: 1. 0. 2. –1.