ТЕМА: Коливання і хвилі. Електромагнітні коливання і хвилі. Змінний електричний струм.

Завдання скеровано на перевірку розуміння умов виникнення змінного електричного струму й законів, якими описують його.

У рамці, яка зі сталою кутовою швидкістю обертається в магнітному полі, індукуватиметься змінна електрорушійна сила (ЕРС), яка змінюватиметься за гармонічним законом – із часом за законом синуса або косинуса.

Кут \(\alpha\) між нормаллю до площини рамки й вектором магнітної індукції під час обертання змінюватиметься за законом, який описують формулою $$ \alpha=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega} t, $$ де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega}\) – кутова швидкість, \(t\) – час обертання.

Тому й магнітний потік \(\text{Ф}\) через площину рамки змінюватиметься: $$ \text{Ф}=BS\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega} t, $$ де \(B\) – магнітна індукція поля, \(S\) – площа рамки.

Відповідно ЕРС індукції \(e\) у даний момент часу (миттєве значення ЕРС), що виникає в рамці за законом Фарадея, змінюватиметься за законом $$ e(t)=\varepsilon_{\mathrm{max}}\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega} t, $$ де \(\varepsilon_{\mathrm{max}}\) – амплітудне значення ЕРС, оскільки \(e(t)=-\text{Ф}'(t)\) – похідній магнітного потоку за часом \(t.\)

Згідно із законом Ома миттєве значення сили струму \(i\) в рамці змінюватиметься за законом \begin{gather*} i(t)=\frac{e}{R+r}=\frac{\varepsilon_{\mathrm{max}}\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega} t}{R+r}=\\[6pt] =\frac{\varepsilon_{\mathrm{max}}}{R+r}\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega} t=I_{\mathrm{max}}\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega} t, \end{gather*} де \(R\) – опір активного навантаження, \(r\) – опір джерела (рамки), \(I_{\mathrm{max}}\) ‒ амплітудне значення сили струму.

Отже, сила струму пропорційна часу, але під тригонометричною функцією. Тому із часом сила струму так само, як ЕРС індукції, змінюватиметься за законом синуса (або косинуса за певних умов).

Відповідь: B.

ТЕМА: Електродинаміка. Електричний струм у різних середовищах.

Завдання скеровано на перевірку розуміння протікання електричного струму в різних середовищах, залежності сили струму від температури.

В розчинах або розплавах електролітів носіями електричного заряду є вільні йони. Із підвищенням температури кількість таких йонів значно збільшується. Тому, попри збільшення кількості зіткнень йонів, опір розчину або розплаву електроліту зменшується, а сила струму за незмінної напруги, відповідно, збільшується.

У газах за підвищення температури збільшується концентрація носіїв заряду – вільних електронів, позитивних і негативних йонів. Це приводить до зменшення опору й, відповідно, збільшенню сили струму.

Провідність напівпровідників зумовлена або вільними електронами, або переміщенням дірок. Із підвищенням температури зростає енергія теплового руху електронів і, як наслідок, збільшується кількість пар «електрон – дірка» в напівпровіднику. Збільшення кількості носіїв заряду приводить до збільшення провідності та зменшення опору. Відповідно зменшення опору веде до зростання сили струму.

У металах позитивні йони коливаються навколо положення рівноваги, а відносно вільні електрони переносять заряд. Середня швидкість теплового руху електронів провідності й енергія коливань йонів у вузлах кристалічних ґраток збільшуються з підвищенням температури металевого провідника. Унаслідок цього зростає і частота зіткнень електронів із йонами, що приводить до збільшення опору провідника та зменшення сили струму.

Відповідь: B.

ТЕМА: Електродинаміка. Закони постійного струму. Електровимірювальні прилади.

Завдання скеровано на перевірку розуміння деяких правил складання електричних кіл і підключення до них різних приладів.

Ні амперметр, ні вольтметр не мають впливати на значення вимірюваної величини, як будь-який вимірювальний прилад. До того ж в умові зазначено, що прилади та провідники є ідеальними. Це означає, що опором провідників можна знехтувати, а опір ідеального амперметра вважати рівним нулю. За цих умов послідовно підключений в електричне коло амперметр без утрат покаже значення тієї сили струму, що проходить через споживач (тут – резистор).

На відміну від амперметра опір ідеального вольтметра нескінченно великий. Такий опір не дає змоги струму проходити через вольтметр. Тому вольтметр показує точне значення напруги на ділянці кола, до якої він приєднаний паралельно. Тож підключення в електричному колі амперметра паралельно, а вольтметра послідовно зі споживачем є неправильним.

Якщо підключити вольтметр паралельно до споживача або до ділянки кола, де послідовно з’єднано амперметр і споживач, то вольтметр покаже падіння напруги на споживачі (амперметр ідеальний, тому не впливатиме на значення напруги).

Якщо підключити вольтметр паралельно лише до амперметра, за законом Ома для ділянки кола напруга на амперметрі дорівнюватиме нулю, оскільки опір амперметра вважаємо рівним нулю: $$ U=IR\rightarrow 0, $$ де \(U\) – напруга, \(I\) – сила струму, \(R\) – опір.

Відповідь: A.

ТЕМА: Електродинаміка. Основи електростатики. Принцип суперпозиції полів.

Завдання скеровано на перевірку вміння геометрично інтерпретувати дію кількох електричних полів у точці простору.

Електричне поле можна зобразити графічно лініями напруженості.

Якщо в точці простору електричне поле створене системою зарядів, то напруженість цього результувального поля дорівнюватиме векторній сумі напруженостей полів цих зарядів.

За напрямок напруженості в точці електричного поля потрібно взяти напрямок сили, яка діяла б на пробний позитивний заряд, якби він був поміщений у цю точку поля.

На рисунку в умові завдання зображено два негативні заряди. Під час взаємодії з умовним позитивним зарядом в точці \(C\) вектори напруженості будуть напрямлені вздовж прямих, що з’єднуватимуть точку \(C\) з кожним негативним зарядом, і будуть напрямлені до цих негативних зарядів, бо різнойменні заряди притягуються, як зображено на рисунку.

Якщо добудувати на цих векторах напруженості паралелограм, то за правилом додавання векторів можна визначити їхню векторну суму – більшу діагональ побудованого паралелограма. Вона збігатиметься з напрямком 2.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Електродинаміка. Основи електростатики. Закон збереження електричного заряду.

Завдання скеровано на розуміння закону збереження електричного заряду.

За законом збереження електричного заряду в замкненій системі тіл повний заряд залишається незмінним, заряд не може звідкись виникнути або кудись зникнути, заряди лише перерозподіляються між тілами системи, що контактують між собою.

Оскільки заряд накопичується на поверхні провідників, то не має значення, що одна з куль порожниста, як зазначено в умові. Головне, що зовнішні параметри в них однакові. У куль однакового радіуса площа зовнішньої поверхні та сама. Кулі виготовленого з одного матеріалу. Тому після дотику заряд перерозподілиться порівну між кулями, і заряд кульки 1 дорівнюватиме заряду кульки 2.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи термодинаміки. Робота в термодинаміці.

Завдання скеровано на перевірку розуміння умов виконання роботи в термодинаміці, залежності її від деяких фізичних величин, а також вміння тлумачити графіки й брати з них числові дані для розв’язування задачі.

З формули для визначення роботи \(A\) газу в термодинаміці $$ A=p\Delta V=p(V_2-V_1), $$ де \(p\) – тиск, \(\Delta V\) – зміна об’єму газу,
зрозуміло: якщо об’єм газу не зазнає змін, то робота не буде виконана, тобто дорівнюватиме нулю.

На графіку ділянка 12 відповідає ізохорному охолодженню (знижуються температура й тиск, відповідно третій макроскопічний параметр газу – об᾽єм – залишатиметься сталим), ділянка 23 – ізобарному нагріванню (тиск залишається сталим, температура підвищується, відповідно об’єм збільшуватиметься).

Цих висновків можна дійти з огляду на рівняння Клапейрона: $$ \frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2},\ \text{тобто}\ \frac{pV}{T}=const. $$

Якщо під час процесу 12 об’єм не змінюється, то газ не виконує роботу, робота газу на цій ділянці дорівнює нулю. Тоді робота газу під час переходу зі стану 1 у стан 3 складатиметься лише з роботи на ділянці 23.

Об᾽єм унаслідок ізобарного нагрівання зміниться так: \begin{gather*} \frac{V_2}{T_2}=\frac{V_3}{T_3},\\[6pt] p=const,\\[6pt] V_1=V_2=0,1\ \text{м}^3. \end{gather*}

Звідси $$ V_3=\frac{V_2T_3}{T_2}=\frac{0,1\ \text{м}^3\cdot 800\ \text{К}}{200\ \text{К}}=0,4\ \text{м}^3. $$

Відповідно робота \begin{gather*} A=A_{23}=p(V_3-V_2)=\\[7pt] =1000\ \text{Па}\cdot(0,4\ \text{м}^3-0,1\ \text{м}^3)=300\ \text{Дж}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Властивості газів, рідин і твердих тіл. Змочування.

Завдання скеровано на розуміння того, як поводить себе змочувальна або не змочувальна рідина в капілярах.

В умові завдання зазначено, що капіляр (тонка трубочка з дуже вузьким внутрішнім каналом) чистий ізсередини і ззовні. Це означає, що жодна стороння речовина не заважатиме взаємодії рідини зі склом (змочуватиме скло чи ні).

Що тонший капіляр, то вище підніматиметься в ньому рідина. Рівень рідини в капілярі не може бути нижчим від загального рівня рідини в посудині, у яку капіляр уставлено.

Якщо рідина змочує стінки капіляра, то біля його стінок вона набуватиме ввігнутої форми і ззовні і зсередини, оскільки зазначено, що капіляр чистий з обох боків.

Якщо ж рідина не змочує скло, то її поверхня біля стінок капіляра буде опуклою і ззовні, і зсередини.

Отже, єдиний правильний рисунок із-поміж наведених – рисунок B: рідина в капілярі піднялася вище від загального рівня, а вода і ззовні, і зсередини змочує скло.

Відповідь: B.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи молекулярно-кінетичної теорії. Ізопроцеси в газах.

Завдання скеровано на перевірку розуміння процесів, що відбуваються з газом сталої маси, тобто ізопроцесів.

За першим законом термодинаміки передана системі кількість теплоти \(Q\) витрачається на зміну внутрішньої енергії \(\Delta U\) та на виконання системою роботи \(A\) проти зовнішніх сил: $$ Q=\Delta U + A. $$

Під час ізотермічного \((T = const)\) процесу температура, а отже, і внутрішня енергія газу, не змінюються, тобто вся передана теплота витрачається на виконання роботи: $$ Q=A. $$

Під час ізобарного \((p = const)\) процесу і внутрішня енергія газу змінюється, і робота виконується: $$ Q=\Delta U + A. $$

Під час адіабатного (без обміну теплом із навколишнім середовищем) процесу теплота системі не передається, тобто газ може виконати роботу за рахунок зменшення внутрішньої енергії, при цьому температура газу зменшиться: $$ A=-\Delta U. $$

За ізохорного \((V = const)\) процесу об᾽єм газу не змінюється, тобто газ роботу не виконує \((A = 0)\), а рівняння першого закону термодинаміки таке: $$ Q=\Delta U. $$

Тож саме під час ізохорного процесу всю передану газу кількість теплоти буде витрачено на зміну його внутрішньої енергії.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Прості механізми.

Завдання скеровано на перевірку розуміння принципу дії простих механізмів – важеля і рухомого блока.

Прості механізми − це пристрої, які дають змогу виконувати роботу, докладаючи меншу силу порівняно з виконанням цієї ж роботи без них (виграємо в силі – програємо у відстані), або ж змінювати напрямок дії сили на зручніший для людини.

Важіль перебуває в рівновазі, якщо моменти сил, що обертають його за годинниковою стрілкою і проти неї, за модулем дорівнюють один одному.

Проти годинникової стрілки важіль обертатиме сила тяжіння, що діє на вантаж 1. Плече цієї сили становитиме \(5l\) (якщо \(l\) – це одиничний відрізок, на які поділено важіль).

За годинниковою стрілкою важіль обертатиме сила, що натягує підвіс, на якому підвішено рухомий блок. Використання рухомого блока забезпечує подвійний виграш у силі. Тож для тримання вантажу 2 треба прикласти вдвічі меншу силу порівняно з його вагою. Плече цієї сили дорівнює \(l\) (див. рисунок).

Запис правила моментів сил як умови рівноваги для тіла, що лише обертається, тобто має нерухому вісь обертання, такий: \begin{gather*} F_1l_1=F_2l_2,\\[6pt] m_1gl_1=\frac 12 m_2gl_2, \end{gather*} де \(F\) – сила, а \(l\) – її плече, \(g\) – прискорення вільного падіння, \(m\) – маса тіла.

Відповідно \begin{gather*} m_15l=\frac 12 m_2l,\\[6pt] m_2=10m_1=10\cdot 30\ \text{кг}=300\ \text{кг}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Кінетична та потенціальна енергія.

Завдання скеровано на розуміння чинників, від яких залежить величина кінетичної енергії тіла.

Кінетична енергія – це фізична величина, якою характеризують механічний стан рухомого тіла. Кінетичну енергію \(E_k\) обчислюють за формулою $$ E_k=\frac{mv^2}{2}, $$ \(m\) – маса тіла, \(v\) – швидкість його руху.

За умовою завдання маса тіл однакова, тому кінетична енергія змінюватиметься прямо пропорційно швидкості руху тіла. Із наведених у варіантах відповіді рівнянь залежності координати тіла від часу можна визначити швидкості руху кожного із чотирьох тіл. Цими рівняннями описано прямолінійний рівномірний рух тіл: $$ x=x_0+v\cdot t, $$ де \(x_0\) та \(x\) – координати тіла в моменти часу \(t_0\) та \(t\) відповідно (загальний вигляд рівняння).

Тобто множник \(v\) біля змінної часу \(t\) є модулем швидкості руху тіла: \begin{gather*} v_\text{А}=4\ \text{м/с},\\[7pt] v_\text{Б}=10\ \text{м/с},\\[7pt] v_\text{В}=8\ \text{м/с},\\[7pt] v_\text{Г}=5\ \text{м/с}. \end{gather*}

Найбільша швидкість руху з-поміж наведених – \(10\ \text{м/с}.\) Тому й кінетична енергія тіла, яке рухається із цією швидкістю, є найбільшою порівняно з іншими тілами, про які йдеться в умові.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Сили пружності. Закон Гука.

Завдання скеровано на перевірку розуміння залежності сили пружності від видовження тіла під час малих пружних деформацій.

За законом Гука в разі малих пружних деформацій розтягнення або стиснення сила пружності \(\overrightarrow{F}_{\text{пруж}}\) прямо пропорційна видовженню тіла \(\overrightarrow{x}:\) $$ \overrightarrow{F}_{\text{пруж}}=-k\overrightarrow{x}, $$ де \(k\) – жорсткість.

Між силою пружності й видовженням залежність лінійна, тож графіком функції є пряма. На графіку, наведеному в умові завдання, прямолінійною є лише ділянка \(AB\). Ділянки графіка \(BC,\ CD\) й \(DE\) є кривими лініями.

Відповідь: A.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Додавання швидкостей.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати закон додавання швидкостей.

Закон додавання швидкостей полягає в тому, що швидкість \(\overrightarrow{v}_2\) руху тіла в нерухомій системі відліку дорівнює геометричній сумі швидкості \(\overrightarrow{v}_{23}\) руху тіла в рухомій системі відліку та швидкості \(\overrightarrow{v}_3\) руху рухомої системи відліку відносно нерухомої: $$ \overrightarrow{v}_{2}=\overrightarrow{v}_{23}+\overrightarrow{v}_{3}. $$

Якщо відома швидкість руху другої мурахи відносно землі \((\overrightarrow{v}_2)\) і швидкість руху третьої мурахи відносно землі \((\overrightarrow{v}_3)\), то можна обчислити швидкість руху другої мурахи відносно третьої \((\overrightarrow{v}_{23}).\)

Спочатку потрібно вибрати напрямок (зліва направо) горизонтальної oсі Ох, уздовж якої рухаються всі мурахи:

Якщо перша мураха біжить у напрямку осі, то модуль її швидкості дорівнює \(4\ \text{мм/с}\) за умовою.

Швидкість руху другої мурахи відносно землі дорівнює \(5\ \text{мм/с},\) але біжить вона назустріч першій, отже, проєкція її швидкості на вісь від’ємна: $$ v_{2x}=-5\ \frac{\text{мм}}{\text{с}}. $$

Третя мураха рухається в тому самому напрямку, що й перша, зі швидкістю \(3\ \text{мм/с}\) відносно неї. Тому швидкість третьої мурахи відносно землі дорівнює \(7\ \text{мм/с}:\) $$ v_{3x}=4\ \text{мм/с}+3\ \text{мм/с}=7\ \text{мм/с}. $$

Тож можна обчислити швидкість руху другої мурахи відносно третьої: $$ v_{23x}=v_{2x}-v_{3x}=-5-7=-12\ \frac{\text{мм}}{\text{с}}. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Шлях і переміщення.

Завдання скеровано на перевірку розуміння поняття «переміщення».

Переміщення – це векторна величина, яку графічно зображують як напрямлений відрізок прямої, що з’єднує початкове і кінцеве положення матеріальної точки.

Земля за рік робить повний оберт навколо Сонця – проходить повне коло. Відповідно за пів року Земля пройде половину кола (рис. 1).

Рис. 1. Рух Землі навколо Сонця: 1 – початкове положення Землі; 2 ‑ кінцеве положення Землі (через пів року); \(R\) – радіус орбіти

Якщо з’єднати початкове положення Землі (точка 1) із кінцевим (точка 2), де вона опиниться через пів року, то відрізок 1–2 буде діаметром орбіти, якою рухається планета. Оскільки радіус орбіти за умовою дорівнює \(1\ \text{а. о.},\) то діаметр орбіти, а отже й переміщення Землі, становить \(2\ \text{а. о.}\)

Інші варіанти відповіді можна отримати, якщо сплутати переміщення зі шляхом й обчислювати не довжину відрізка, яким з’єднані початкове і кінцеве положення тіла, а визначати довжину траєкторії руху тіла. Також до неправильної відповіді може призвести нерозуміння закономірностей руху Землі навколо Сонця.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Елементи теорії відносності. Релятивістський закон додавання швидкостей.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати розрахункові задачі з використанням релятивістського закону додавання швидкостей.

Дано:
\(v_\text{рух}=0,5\ \text{с}\)
\(v_\text{кат}=0,5\ \text{с}\)

Знайти:
\(\frac{c}{v_\text{нерух}}\ -\ ?\)

Усі тіла рухаються зі швидкістю, порівнюваною зі швидкістю світла. Тому в цьому разі для додавання швидкостей необхідно використовувати релятивістський закон: $$ v_\text{нерух}=\frac{v_\text{рух}+v_\text{кат}}{1+\frac{v_\text{рух}v_\text{кат}}{c^2}} $$ де \(v\) – швидкість руху тіла відносно нерухомої системи відліку (Землі), \(v_\text{кат}\) – швидкість руху тіла відносно рухомої системи відліку (ракети), \(v_\text{рух}\) – швидкість рухомої системи відліку (ракети).

Тож

\begin{gather*} \frac{c}{v_\text{нерух}}=c:\frac{v_\text{рух}+v_\text{кат}}{1+\frac{v_\text{рух}v_\text{кат}}{c^2}};\\[6pt] \frac{c}{v_\text{нерух}}=c\cdot\frac{1+\frac{v_\text{рух}v_\text{кат}}{c^2}}{v_\text{рух}+v_\text{кат}};\\[6pt] \frac{c}{v_\text{нерух}}=c\cdot\frac{1+\frac{0,5\ \text{с}\cdot 0,5\ \text{с}}{c^2}}{0,5\ \text{с}+0,5\ \text{с}};\\[6pt] \frac{c}{v_\text{нерух}}=c\cdot\frac{1+\frac{0,25\ \text{с}^2}{c^2}}{c};\\[6pt] \frac{c}{v_\text{нерух}}=1,25. \end{gather*}

Відповідь: 1,25.