Пояснення

ТЕМА: Електродинаміка. Електричний струм у різних середовищах. Залежність опору металів від температури.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння електричного опору в металевих провідниках і їхньої залежності від температури.

Опір металевого провідника залежить не тільки від його геометричних розмірів і речовини, з якої він виготовлений, а й від температури: якщо температура \(t\) металу є не надто низькою і не надто високою, опір металевого провідника залежить від температури майже лінійно (графік А є неправильним ‒ залежність очевидно нелінійна): $$ R=R_0(1+\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}t), $$ де \(R_0\) ‒ електричний опір провідника за температури \(0\ ^\circ\mathrm{C};\) \(R\) ‒ опір провідника за температури \(t;\) \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\) ‒ температурний коефіцієнт електричного опору.

Як видно з формули, із підвищенням температури опір металу збільшується, і навпаки, зі зниженням температури опір металу зменшується. Отже, графік Г неправильний ‒ він відображає зменшення опору зі зростанням температури.

Розкриймо у формулі дужки: $$ R=R_0+R_0\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}t. $$

Отже, за температури \(0\ ^\circ\mathrm{C}\) опір не дорівнює нулю, а має певне значення ‒ \(R_0.\) Тому графік Б ‒ неправильний.

Якщо температура металу знижується, наближаючись до абсолютного нуля \((0\ \text{К},\ –273\ ^\circ\mathrm{С}),\) або збільшується, наближаючись до температури плавлення, то залежність \(R(t)\) вже не буде лінійною (графік В).

Отже, графік В задовольняє всім вищезазначеним умовам залежності електричного опору металу від температури.

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Електродинаміка. Основи електростатики. Електроємність плоского конденсатора.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння характеристики конденсатора ‒ електроємності, а також від яких параметрів і як вона залежить.

Електроємність \(C\) плоского конденсатора обчислюють за формулою: $$ C=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}_0S}{d}, $$ де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}_0\) ‒ електрична стала; \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}\) ‒ діелектрична проникність діелектрика; \(S\) ‒ площа пластини конденсатора; \(d\) ‒ відстань між пластинами.

З формули видно, що електроємність прямо пропорційна діелектричній проникності діелектрика: \begin{gather*} C\sim \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}. \end{gather*}

Оскільки в умові питають, як зміниться електроємність системи конденсаторів, то йдеться про загальну електроємність. Отже, після того, як повітряні конденсатори (діелектрична проникність повітря дорівнює практично \(1\)) занурили в гліцерин, їхня загальна електроємність збільшилася в \(42\) рази, оскільки діелектрична проникність гліцерину ‒ \(42.\)

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Електродинаміка. Основи електростатики. Напруженість електричного поля.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння напруженості електричного поля.

Напруженість електричного поля \(\overrightarrow{E}\) в точці ‒ векторна фізична величина, яка характеризує електричне поле й дорівнює відношенню сили \(\overrightarrow{F},\) з якою електричне поле діє на пробний заряд, поміщений у цю точку поля, до значення \(q\) цього заряду: $$ \overrightarrow{E}=\frac{\overrightarrow{F}}{q}. $$

Визначмо модуль сили, з якою діє електричне поле Землі на краплю води:

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи термодинаміки. Робота в термодинаміці

Завдання скеровано на перевірку розуміння роботи в термодинаміці і вміння визначати її під час різних ізопроцесів.

Розгляньмо окремо кожну ділянку графіка. З’ясуємо, чому дорівнюватиме загальна робота \(A,\) яку виконуватиме ідеальний газ під час процесів \(1‒2‒3:\) $$ A=A_{1-2}+A_{2-3}. $$

Процес \(1‒2:\) тиск \(p\) збільшується, об’єм \(V\) залишається сталим (див. ділянку графіка \(1‒2\)) ‒ процес ізохорний. Під час цього процесу газ роботу \(A_{1-2}\) не виконує: \begin{gather*} A_{1-2}=p\Delta V,\\[7pt] \Delta V=0\Rightarrow A_{1-2}=0. \end{gather*}

Під час ізохорного процесу вся передана газу кількість теплоти витрачається на збільшення внутрішньої енергії газу.

Процес \(2‒3:\) тиск \(p\) залишається сталим, об’єм \(V\) збільшується (див. ділянку графіка \(2‒3\)) ‒ процес ізобарний. У ході ізобарного процесу виконується робота і змінюється внутрішня енергія газу:

Отже, робота виконуватиметься лише під час ізобарного процесу:

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи термодинаміки. Застосування першого закону термодинаміки до ізопроцесів.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння першого закону термодинаміки і вміння застосовувати його до ізопроцесів.

Під час ізобарного процесу виконується робота і змінюється внутрішня енергія газу, тому рівняння першого закону термодинаміки має вигляд: $$ Q=\Delta U+A. $$

Під час ізобарного процесу передана газу кількість теплоти \(Q\) йде і на збільшення внутрішньої енергії газу \(\Delta U,\) і на виконання механічної роботи \(A.\)

Визначімо зміну внутрішньої енергії: $$ \Delta U=Q-A. $$

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи молекулярно-кінетичної теорії. Ізопроцеси в газах.

Завдання скеровано на перевірку вміння описати стан газу за допомогою рівняння стану газу (Менделєєва ‒ Клапейрона).

Запишімо рівняння Менделєєва ‒ Клапейрона для стану \(1\) і \(2\) ідеального газу (\(p\) ‒ тиск, \(V\) ‒ об’єм, \(T\) ‒ абсолютна температура): \begin{gather*} \frac{p_1V_1}{T_1}=\frac mMR,\\[6pt] \frac{p_2V_2}{T_2}=\frac mMR. \end{gather*}

Права частина однакова, оскільки записуємо рівняння для того самого ідеального газу масою \(m,\) молярна маса якого \(M,\) універсальна газова стала \(R.\)

Уважатимемо сторону клітинки за одиничний відрізок: \begin{gather*} p_1=2p,\ \ T_1=3T,\\[7pt] p_2=4p,\ \ T_2=6T. \end{gather*}

Запишімо рівняння Клапейрона: \begin{gather*} \frac{2pV_1}{3T}=\frac{4pV_2}{6T}. \end{gather*}

Рівність виконуватиметься, якщо \begin{gather*} V_1=V_2. \end{gather*} (тобто об’єм залишається сталим: \(V=\mathrm{const}\)).

Процес змінювання стану даного газу деякої маси, що відбувається за незмінного об’єму, називають ізохорним процесом: $$ \frac pT=\mathrm{const}=\frac mM\cdot \frac RV. $$

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Механіка. Елементи механіки рідин та газів. Закон Паскаля для рідин та газів. Атмосферний тиск. Тиск нерухомої рідини на дно і стінки посудини.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння атмосферного і гідростатичного тисків, а також вміння визначати тиск у будь-якій точці сполучених посудин.

У точці \(A,\) яка позначена у відкритому коліні \(U\text{-подібної трубки,}\) діє атмосферний тиск: $$ p_\text{А}=p_\text{атм}. $$

Точка \(B\) позначена в правому запаяному коліні трубки. У верхній частині цього коліна міститься повітря, тиск \(p_\text{п}\) якого напевно відрізняється від атмосферного і є однаковим у будь-якій точці цієї частини трубки. Тож у точці (позначимо точку буквою \(K\)) біля поверхні води тиск повітря теж становить \(p_\text{п}.\) За законом Паскаля тиск, створюваний на нерухому рідину, передається рідиною однаково в усіх напрямках. А ще в сполучених посудинах на одному горизонтальному рівні тиск стовпчиків рідин є однаковим. Отже, у точці \(L\) (на тому самому рівні, що і точка \(K\)) тиск теж буде \(p_\text{п}.\) Визначмо його: $$ p_\text{В}=p_\text{п}=p_\text{атм}+\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}gh_\text{В}, $$ де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}gh_\text{В}\) ‒ гідростатичний тиск стовпчика рідини висотою \(h_\text{В}.\)

У точці \(C\) тиск складатиметься з атмосферного й гідростатичного тиску стовпчика рідини висотою \(h_\text{С}:\) $$ p_\text{С}=p_\text{атм}+\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}gh_\text{С}. $$

У точці \(D\) відповідно до закону Паскаля і тієї властивості, що на одному рівні тиск стовпчиків рідин є однаковим, тиск складатиметься з атмосферного і гідростатичного тиску стовпчика рідини висотою \(h_\text{D}\) (див. рисунок): $$ p_\text{D}=p_\text{атм}+\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}gh_\text{D}. $$

Найменшим буде тиск у точці \(A.\) Він збільшуватиметься зі збільшенням висоти стовпчика води:

\begin{gather*} h_\text{С}\lt h_\text{В}\lt h_\text{D},\\[7pt] p_\text{А}\lt p_\text{С}\lt p_\text{В}\lt p_\text{D}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Закон збереження енергії в механічних процесах. Закон збереження імпульсу.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння законів збереження в механіці й уміння їх застосовувати.

Кульку, що нерухомо висить на нитці, позначмо \(1,\) а кульку, яку відхилили на \(90^\circ ,\ ‒\ 2.\) Спочатку розгляньмо перетворення механічної енергії кульки \(2.\) За нульовий рівень виберемо положення кульки \(1.\) Тоді відхилена на \(90^\circ\) кулька \(2\) перебуватиме на висоті \(L,\) що дорівнює довжині нитки. А отже, володітиме потенціальною енергією: $$ E_{p2}=mgL, $$ де \(m\) ‒ маса кульки (і першої, і другої), \(g\) ‒ прискорення вільного падіння.

Після того як кульку \(2\) відпустили, вона, рухаючись по дузі кола, набрала швидкість і перед зіткненням з кулькою \(1\) мала найбільшу швидкість \(v_{max}\) ‒ уся потенціальна енергія перейшла в кінетичну. Опишімо цей рух кульки \(2\) законом збереження енергії:

\begin{gather*} mgL=\frac{mv^2_{max}}{2},\\[6pt] v_{max}=\sqrt{2gL}. \end{gather*}

Відповідно до умови зіткнення кульок \(2\) і \(1\) ‒ непружне. Це означає, що після такої взаємодії частина кінетичної енергії перетворюється на внутрішню енергію (витрачається на деформацію і нагрівання тіл). А після зіткнення кульки рухатимуться як одне ціле й піднімуться на певну висоту \(h.\)

Опишімо взаємодію двох кульок законом збереження імпульсу: $$ \overrightarrow{p}_{01}+\overrightarrow{p}_{02}=\overrightarrow{p}_1+\overrightarrow{p}_2, $$ де \(\overrightarrow{p}_{01}\) і \(\overrightarrow{p}_{02}\) ‒ імпульси кульок до взаємодії, \(\overrightarrow{p}_1\) і \(\overrightarrow{p}_2\) ‒ імпульси кульок після взаємодії. Оскільки після взаємодії кульки разом продовжать рухатися в той самий бік, що й кулька \(2,\) то всі проєкції імпульсів будуть зі знаком плюс:

\begin{gather*} 0+mv_{max}=(m+m)v,\\[7pt] mv_{max}=2mv,\\[6pt] v=\frac{v_{max}}{2}=\frac{\sqrt{2gL}}{2}. \end{gather*}

Знову запишімо закон збереження енергії для кульок, які рухаються разом:

\begin{gather*} \frac{2mv^2}{2}=2mgh,\\[6pt] h=\frac{v^2}{2g}=\frac{2gL}{4\cdot 2g}=\frac L4. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Додавання сил. Другий закон Ньютона.

Завдання скеровано на перевірку вміння описати систему зв’язаних тіл за допомогою другого закону Ньютона.

Зробимо схематичний рисунок, який ілюструватиме умову цього завдання. І на рисунку позначимо всі сили, що діють на обидва тіла.

І на перше, і на друге тіло діятимуть сила тяжіння \((m_1\overrightarrow{g}\ \text{і}\ m_2\overrightarrow{g})\) i сила нормальної реакції опори \((\overrightarrow{N}_1\ \text{і}\ \overrightarrow{N}_2)\) відповідно. Тіла з’єднані ниткою, у якій виникатиме сила натягу \(\overrightarrow{T},\) яка однаково діятиме і на перше, і на друге тіло. Визначити треба силу \(\overrightarrow{F},\) завдяки дії якої система тіл може рухатися з прискоренням \(\overrightarrow{a},\) оскільки іншого в умові не зазначено.

Запишімо рівняння другого закону Ньютона для кожного з тіл у проєкціях на горизонтальну вісь \(Ox.\) Маємо систему рівнянь:

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} F-T=m_1a\\ T=m_2a \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} F=m_1a+T\\ a=\frac{T}{m_2} \end{array} \right., \\[7pt] F=m_1\cdot\frac{T}{m_2}+T=T\left(\frac{m_1}{m_2}+1\right). \end{gather*}

Обчислімо горизонтальну силу \(F:\)

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Умови рівноваги.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння умов рівноваги тіла, а також вміння застосовувати правило моментів.

За умовою важіль \(1\) може обертатися (має нерухому вісь обертання \(2\)). Відповідно до правила моментів важіль перебуватиме в рівновазі, якщо алгебрична сума моментів \(M_1\) і \(M_2\) сил (їх два, тому що є дві точки прикладання сил до важеля ‒ там, де підвішені важки, і там, де підвішений вантаж \(3\)), що діють на тіло, дорівнює нулю: $$ M_1+M_2=0. $$

Момент сили \(M_1=F_1d_1\) є додатним (сила \(\overrightarrow{F}_1\) повертає важіль проти годинникової стрілки). Момент сили \(M_2=-F_2d_2\) є від’ємним (сила \(\overrightarrow{F}_2\) повертає важіль за годинниковою стрілкою) \begin{gather*} F_1d_1-F_2d_2=0,\\[7pt] F_1d_1=F_2d_2. \end{gather*}

У цьому разі на важки і на вантаж діють сили тяжіння \(F_1\) і \(F_2:\) $$ F_1=2mg, $$ де \(m=100\ \text{г}=0,1\ \text{кг}\) ‒ маса одного важка, \(g\) ‒ прискорення вільного падіння); $$ F_2=Mg, $$ де \(M\) ‒ маса вантажу \(3\) ‒ шукана величина.

Плече \(d\) сили \(F\) ‒ це найменша відстань від осі обертання \(2\) тіла до лінії, вздовж якої діє сила \(\overrightarrow{F}.\) Отже, плече \(d_1=4d,\) а плече \(d_2=d\) (де \(d\) ‒ одиничний відрізок).

Визначимо масу вантажу \(3:\)

\begin{gather*} 2mg\cdot 4d=Mg\cdot d,\\[7pt] M=8m,\\[7pt] M=8\cdot 0,1\ \text{кг}=0,8\ \text{кг}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Графіки залежності кінематичних величин від часу під час рівномірного і рівноприскореного руху.

Завдання скеровано на перевірку вміння читати графіки залежності кінематичних величин від часу під час рівномірного і рівноприскореного рухів.

Залежність проєкції швидкості \(v\) тіла від часу \(t\) для прямолінійного рівноприскореного руху $$ v=v_0+at $$ є лінійною, тому графік проєкції швидкості ‒ це відрізок прямої, нахиленої під певним кутом до осі часу (\(v_0\) ‒ проєкція початкової швидкості руху тіла, \(a\) ‒ проєкція прискорення).

Що більше прискорення руху тіла, то більший кут нахилу графіка проєкції швидкості до осі часу.

Розгляньмо рисунок. Найменший кут нахилу графіка ‒ на ділянці від \(10\) до \(20\ \text{с.}\)

Перевірити правильність відповіді можна за допомогою розрахунків, скориставшись формулою для прискорення $$ a=\frac{v-v_0}{t}. $$

Інтервал часу від \(0\) до \(10\ \textbf{с:}\) $$ a_{0-10}=\frac{15-0}{10}\ \text{м/с}^2=1,5\ \text{м/с}^2. $$

Інтервал часу від від \(10\) до \(20\ \textbf{с:}\) $$ a_{10-20}=\frac{20-15}{10}\ \text{м/с}^2=0,5\ \text{м/с}^2. $$

Інтервал часу від від \(20\) до \(30\ \textbf{с:}\) $$ a_{20-30}=\frac{0-20}{10}\ \text{м/с}^2=-2\ \text{м/с}^2. $$ (знак мінус указує на гальмування тіла, але модуль прискорення дорівнює \(2\ \text{м/с}^2\)).

Інтервал часу від від \(30\) до \(40\ \textbf{с:}\) $$ a_{30-40}=\frac{10-0}{10}\ \text{м/с}^2=1\ \text{м/с}^2. $$

Як бачимо, мінімальне прискорення відповідає інтервалу часу від \(10\) до \(20\ \text{с.}\)

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Квантова фізика. Елементи теорії відносності. Взаємозв’язок маси та енергії.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння зв’язку маси та енергії як важливого результату спеціальної теорії відносності, коли тіла (частинки) рухаються зі швидкістю порядку швидкості світла у вакуумі.

З погляду спеціальної теорії відносності, якщо тіло масою \(m\) рухається зі швидкістю \(v\) відносно якоїсь системи відліку, то енергія \(E\) тіла в цій системі відліку становить: $$ E=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}, $$ де \(c\) ‒ швидкість світла у вакуумі.

Будь-яке тіло (будь-яка частинка), що має масу, несе із собою запас енергії. Дійсно, навіть якщо швидкість руху тіла (частинки) зменшується до нуля \((v=0),\) то згідно із цією формулою тіло все одно має енергію \(E_0:\) $$ E_0=mc^2. $$

Цю енергію називають енергією спокою.

Тоді формула для повної енергії матиме такий вигляд: $$ E=\frac{E_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}. $$

Підставімо значення відповідних величин з умови завдання й обчислімо повну енергію електрона:

Відповідь: 136.

Пояснення

ТЕМА: Квантова фізика. Елементи теорії відносності. Світлові кванти. Фотоефект.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння, що таке фотострум, і фізичного змісту сили струму.

Фотоефектом називають явище взаємодії світла з речовиною, яке супроводжується випромінюванням (емісією) електронів.

Запишімо формулу для визначення сили струму \(I:\) \begin{gather*} I=\frac Qt=\frac{e\cdot N_S}{t}, \end{gather*} де \(Q\) ‒ загальний заряд електронів, що вилетіли з поверхні за час \(t,\ e\) ‒ елементарний заряд, \(N_S\) ‒ кількість електронів, що вилетіли з поверхні площею \(S.\)

Обчислімо кількість електронів, що вилетіли з поверхні площею \(S=1\ \text{м}^2:\) \begin{gather*} N_S=\frac{It}{e},\\[6pt] N_S=\frac{2\cdot 10^{-5}\ \text{А}\cdot 1\ \text{с}}{1,6\cdot 10^{-19}\ \text{Кл}}=1,25\cdot 10^{14}. \end{gather*}

В \(1\ \text{м}^2\) міститься \(10^{6}\ \text{мм}^2.\) Отже, поділімо кількість електронів \(N_S\) на кількість міліметрів квадратних і визначмо кількість електронів, що вилітають з поверхні площею \(1\ \text{мм}^2:\)

Відповідь: 125.

Пояснення

ТЕМА: Коливання і хвилі. Механічні коливання і хвилі. Коливання вантажу на пружині.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння механічних коливань тіла на пружині.

Запишімо формулу для визначення періоду \(T\) пружинного маятника: $$ T=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\sqrt{\frac mk}, $$ де \(m\) ‒ маса тіла (дана в умові), \(k\) ‒ жорсткість пружини (необхідно визначити).

Під час максимальної деформації пружини на тіло, прикріплене до неї, діятиме максимальна сила пружності \(F_\text{пр max}\) з боку пружини: $$ F_\text{пр max}=kA, $$ де \(A\) ‒ максимальне відхилення тіла від положення рівноваги ‒ амплітуда.

Отже, \begin{gather*} k=\frac{F_\text{пр max}}{A}. \end{gather*}

Амплітудне значення відхилення тіла можна визначити, скориставшись повною енергією тіла. Оскільки в крайній точці тіло не рухатиметься, тобто кінетична енергія дорівнюватиме нулю, то повна (максимальна) енергія тіла ‒ це потенціальна енергія \(E_p\) пружно деформованого тіла: \begin{gather*} E_p=\frac{kA^2}{2}. \end{gather*}

Визначімо амплітуду \(A,\) скориставшись для цього методом підстановки: \begin{gather*} E_p=\frac{kA\cdot A}{2}=\frac{F_\text{пр max}\cdot A}{2},\\[6pt] A=\frac{2E_p}{F_\text{пр max}},\\[6pt] A=\frac{2\cdot 60\cdot 10^{-6}\ \text{Дж}}{3\cdot 10^{-3}\ \text{Н}}=40\cdot 10^{-3}\ \text{м}. \end{gather*}

Тепер можемо визначити жорсткість пружини \(k:\) \begin{gather*} k=\frac{F_\text{пр max}}{A}=\frac{3\cdot 10^{-3}\ \text{Н}}{40\cdot 10^{-3}\ \text{м}}=\frac{3}{40}\ \text{Н/м}. \end{gather*}

Обчислімо період коливань тіла \(T:\)

Результат округлімо до сотих: $$ T=1,256\ \text{с}\approx 1,26\ \text{с}. $$

Відповідь: 1,26.