ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Ірраціональні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння, порівнювати раціональні числа.

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрату:

Корінь належить проміжку \((-20; -10).\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати на площині.

Це завдання перевіряє знання прямокутної системи координат, координати точки, кола на площині.

Центр кола знаходиться у точці \(N.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє знання властивостей елементарних функцій, заданих формулою, парності та непарності функцій.

Для того, щоб функція була парна, необхідно виконання двох умов:
1) \(D(y)\) – симетрична відносно \((0; 0){;}\)
2) \(f(-x) = f(x)\).

А \(y = 4^x\), \(y(-x) = 4^{-x} = \dfrac{1}{4^x} \ne y(x).\)

Б \(y = x\), \(y(-x) = -x \ne y(x).\)

В \(y = \sqrt{x},\) \(D(y)\) несиметрична відносно \((0; 0).\)

Г \(y = \mathrm{tg}\ x\), \(y(-x) = \mathrm{tg}\ (-x) = -\mathrm{tg}\ x = -y(x).\)

Д \(y = |x|\), \( y(-x) = \lvert -x\rvert = |x| = y(x)\) – парна.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей прямокутника, ромба, середньої лінії трикутника; вміння знаходити площу ромба, співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника.

\(\Delta ABC\ (\angle B = 90^\circ)\), \(\angle A = 60^\circ\), \(AB = 16\ \text{м}.\)

За властивістю прямокутника \(AC = BD.\)

\(\Delta ABC\ EF\) – середня лінія. Отже, \(EF = \dfrac{1}{2}AC.\)

Аналогічно,

$$ FK = EM = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}AC. $$

\(EFKM\) – ромб.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові нерівності, знання основної логарифмічної тотожності.

(\(3 = 2^{\log_2 3}\) за основною логарифмічною тотожністю).

Функція \(y = 2^x\) – зростаюча, тому $$ x \le \log_2 3. $$ Отже, \(x \in (-\infty; \log_2 3].\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості кулі до розв'язування стереометричних задач, уміння знаходити відстані та кути у просторі.

\(OO_1\) – відстань від центра кулі точки \(O\) до перерізу, тому \(OO_1\ \perp\ O_1A.\)

За теоремою Піфагора:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа. Числові множини та співвідношення між ними. Функції.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів, знання властивостей тригонометричних функцій.

Спростимо вираз зліва:

А \(1 - \sin^2 \alpha \lt 0\), \(\cos^2 \alpha \lt 0\) не виконується ні при якому значенні \(\alpha.\)

Б \begin{gather*} \cos \alpha \cdot \mathrm{tg}\ \alpha \lt 0,\\[6pt] \cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \lt 0,\\[6pt] \sin \alpha \lt 0\ \text{при}\ \alpha \in \left(\frac{\pi}{2};\ \pi\right) \end{gather*} не виконується.

В \(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \lt 0\), \(1\lt 0\) не виконується ні при якому значенні \(\alpha.\)

Г \(1 - \cos^2 \alpha \lt 0\), \(\sin^2 \alpha \lt 0\) не виконується ні при якому значенні \(\alpha.\)

Д \begin{gather*} \sin \alpha \cdot \mathrm{ctg}\ \alpha\lt 0,\\[6pt] \sin \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \lt 0,\\[6pt] \cos \alpha \lt 0\ \text{при}\ \alpha \in \left(\frac{\pi}{2};\ \pi\right) \end{gather*} виконується.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання ознак та властивостей подібних трикутників, уміння знаходити периметр фігур.

\(KL\ ||\ AC \Rightarrow \Delta ABC\) подібний \(\Delta KBL.\)

Нехай сторона квадрата \(KL=KN=NM=ML=x\) см.

Тоді,

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати за розгорткою поверхні вид тіла обертання.

1.

Отже, 1 – Г.

2.

Отже, 2 – А.

3.

Отже, 3 – В.

4.

Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – Г, 2 – А, 3 – В, 4 – Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє знання координат вектора, властивостей трикутника, вписаного в коло; вміння знаходити довжину вектора, відстані від точки до прямої.

1. \(\overrightarrow{OA}(6-0;\ 8-0)\), \(\overrightarrow{OA}(6;\ 8).\) Довжина вектора \(\overrightarrow{OA}{:}\) $$ \left|\overrightarrow{OA}\right|=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=10. $$ Отже, 1 – Д.

2. \(AB\ \perp\ OB.\) Відстань від точки \(A\) до осі \(x\) – це координата точки \(A\), \(\rho(A,\ Ox)=8.\)

Отже, 2 – Г.

3. \(B(6;\ 0)\), ордината дорівнює \(0.\)

Отже, 3 – А.

4. \(\Delta AOB\ (\angle B=90^\circ).\)

Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – А, 4 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

1. Дві лінії виготовляють \(4\) т за \(1\) день, за \(3\) дні вони виготовляють \(12\) т.
Отже, 1 – Д.

2. Одна лінія виготовляє \(8\) т за \(4\) дні, \(16\) т одна лінія виготове за \(8\) днів.
Отже, 2 – Г.

3. Одна лінія виготовляє за \(2\) дні \(4\) т.
Отже, 3 – Б.

4. Дві лінії виготовляють \(16\) т за \(4\) дні, для виготовлення \(48\) т за \(4\) дні знадобиться \(6\) ліній.
Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – Б, 4 – В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функцій, заданих графіком, знання геометричного змісту визначеного інтеграла.

1. При \(x=8\) значення функції \(f(8)=3{,}5.\) Число \(3{,}5\) належить проміжку \((2; 4]\).
Отже, 1 – Г.

2. Дотична до графіка функції \(f(x)\) в точці \(x=7\) паралельна осі \(Ox.\) Тоді \(f'(7)=k=\mathrm{tg}\ 90^\circ=0.\) Число \(0\) належить проміжку \((-0{,}5; 2].\)
Отже, 2 – В.

3. Найменше значення функції \(f(x)\) на її області визначення дорівнює \(f(0)=-3{,}5.\) Число \(-3{,}5\) належить проміжку \((-\infty; -2].\)
Отже, 3 – А.

4. Геометричний зміст визначеного інтеграла – площа криволінійної трапеції. З рисунка бачимо, що $$ -2\lt \mathop{\int}\limits_{1}^{3} f(x)\ dx \lt 0. $$

Тобто

Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – A, 4 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на відсоткові розрахунки.

Додатне число \(A\) більше за додатне число \(B\) у \(3{,}8\) раза.

Отже, число \(A\) більше за число \(B\) на \(280\ \%.\)

Відповідь: \(280.\)