Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 25

Математика. Всі запитання починаючи з 25

262728293031323334353637383940 ▶

Завдання 26 з 2419

Обчисліть значення виразу $\dfrac{a^2-b^2}{a-b}-\dfrac{a^3-b^3}{a^2-b^2}$, якщо $a=10{,}2$; $b=-0{,}2.$

Впишіть відповідь:

-0.204

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання формул скороченого множення.

\begin{gather*} \frac{a^{2}-b^{2}}{a-b}-\frac{a^{3}-b^{3}}{a^{2}-b^{2}} =\frac{(a-b)(a+b)}{a-b}-\frac{(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}{(a-b)(a+b)}=\\[6pt] =a+b-\frac{a^{2}+ab+b^{2}}{a+b}=\frac{(a+b)^{2}-a^{2}-ab-b^{2}}{a+b}=\\[6pt] =\frac{a^{2}+2ab+b^{2}-a^{2}-ab-b^{2}}{a+b}=\frac{ab}{a+b}. \end{gather*}

Якщо $a=10{,}2$, $b=-0{,}2$, то

$$ \frac{10{,}2\cdot(-0{,}2)}{10{,}2+(-0{,}2)}=\frac{-2{,}04}{10}=-0{,}204. $$

Відповідь: $-0{,}204.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 1. Запитання: 4327

Завдання 27 з 2419

Розв'яжіть нерівність $\dfrac{3}{x-2}+\dfrac 4x\ge 1.$ У відповіді запишіть суму всіх цілих її розв'язків.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Раціональні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, розв'язувати раціональні нерівності методом інтервалів.

\begin{gather*} \frac{3}{x-2}+\frac{4}{x}\ge 1,\\[6pt] \frac{3x+4(x-2)}{x(x-2)}\ge 1,\\[6pt] \frac{3x+4x-8}{x(x-2)}-1\ge 0,\\[6pt] \frac{7x-8-x^{2}+2x}{x(x-2)}\ge 0,\\[6pt] \frac{9x-8-x^{2}}{x(x-2)}\ge 0. \end{gather*}

Pозкладемо на множники чисельник

\begin{gather*} \frac{-(x-8)(x-1)}{x(x-2)}\ge 0,\\[6pt] \frac{(x-8)(x-1)}{x(x-2)}\le 0. \end{gather*}

Розв'язуємо нерівність методом інтервалів:

$x=8$, $x=1$, $x\ne 0$, $x\ne 2$, $x\in (0; 1]\cup (2; 8].$

Сума цілих розв'язків: $1+3+4+5+6+7+8=34.$

Відповідь: $34.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 1. Запитання: 4328

Завдання 28 з 2419

Знайдіть найменший додатний період функції $f(x)=9-6\cos (20\pi x+7).$

Впишіть відповідь:

0.1

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Тригонометричні функції.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функції, заданої формулою, знаходити період даної функції.

Найменший період функції $$ T=\frac{T_1}{|k|}. $$

$k=20\pi$, $T_1=2\pi$ – найменший період функції $y=\cos x.$

$$ T=\frac{2\pi}{20\pi}=\frac{1}{10}=0{,}1. $$

Відповідь: $0{,}1.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 1. Запитання: 4329

Завдання 29 з 2419

В автобусному парку налічується $n$ автобусів, шосту частину яких було обладнано інформаційними табло. Пізніше інформаційні табло встановили ще на $4$ автобуси з наявних у парку. Після проведеного переобладнання навмання вибирають один з $n$ автобусів парку. Ймовірність того, що це буде автобус з інформаційним табло, становить $0{,}25.$ Визначте $n.$ Уважайте, що кожен автобус обладнується лише одним табло.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі за допомогою складання рівняння.

В автобусному парку $n$ автобусів. Обладнано інформаційним табло: $\dfrac{1}{6}n$ та $4$ автобуси.

Усього автобусів з інформаційним табло $\left(\dfrac{1}{6}n + 4\right)$.

Імовірність того, що це буде автобус з інформаційним табло становить $0{,}25.$

Отже,

\begin{gather*} P=\frac{\dfrac{1}{6}n+4}{n}=\frac{1}{4},\\[6pt] \frac{4}{6}n+16=n,\\[6pt] n-\frac{4}{6}n=16,\\[6pt] \frac{2}{6}n=16,\\[6pt] n=\frac{16\cdot 6}{2},\\[6pt] n=48. \end{gather*}

Відповідь: $48.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 1. Запитання: 4330

Завдання 30 з 2419

План паркової зони, обмеженої трикутником $ABC$, зображено на рисунку. Дуга $AB$ – велосипедна доріжка. Відомо, що дуга $AB$ є четвертою частиною кола радіуса $1{,}8$ км. $CA$ i $CB$ – дотичні до цього кола ($A$ i $B$ – точки дотику). Обчисліть площу зображеної на плані паркової зони (у км$^2$).

Впишіть відповідь:

1.62

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання властивостей квадрата, кола та його частин; уміння знаходити площу трикутника.

Дуга $AB$ є четвертою частиною кола. $ACBK$ – квадрат. $AK = KB = BC = AC = 1{,}8$ км.

$$ S_{ABC} = \frac{1}{2}AC \cdot BC = \frac{1}{2}\cdot 1{,}8 \cdot 1{,}8 = 0{,}9 \cdot 1{,}8 = 1{,}62\ \text{км}^2. $$

$CA$, $CB$ – дотичні до кола. $KA\!\perp\!CA$, $KB\!\perp\!CB$ (радіус, проведений у точку дотику, перпендикулярний дотичній).

Відповідь: $1{,}62.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 1. Запитання: 4331

Завдання 31 з 2419

На рисунку зображено графік функції $F(x)=x^2+bx+c$, яка є первісною для функції $f(x).$ Визначте параметри $b$ i $c$, знайдіть функцію $f(x).$ У відповіді запишіть значення $f(-8).$

Впишіть відповідь:

-22

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Квадратична функція. Похідна функції.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функції, заданої графіком, знаходити похідну функції та значення похідної функції в точці.

$$ F(x)=x^2+bx+c, $$

$a=1$, $c=13.$ Bершина параболи

\begin{gather*} x_\text{в}=\frac{-b}{2a}=\frac{-b}{2\cdot 1}=3,\\[6pt] -b=6,\\[7pt] b=-6,\\[7pt] F(x)=x^2-6x+13,\\[7pt] f(x)=F'(x)=2x-6,\\[7pt] f(-8)=2\cdot(-8)-6=-16-6=-22. \end{gather*}

Відповідь: $-22.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 1. Запитання: 4332

Завдання 32 з 2419

Основою піраміди $SABCD$ є трапеція $ABCD$ $(AD\ ||\ BC)$, довжина середньої лінії якої дорівнює $5$ см. Бічне ребро $SB$ перпендикулярне до площини основи піраміди і вдвічі більше від середньої лінії трапеції $ABCD.$ Знайдіть відстань від середини ребра $SD$ до площини $SBC$ (у см), якщо об'єм піраміди дорівнює $210$ см$^3.$

Впишіть відповідь:

6.3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання властивостей піраміди, ознак паралельності та перпендикулярності прямих та площин у просторі, властивостей подібних фігур; уміння знаходити відстані у просторі.

Нехай $SABCD$ – піраміда. $ABCD$ – трапеція $(AD\ ||\ BC)$, $MN$ – середня лінія.

$SB\!\perp\!(ABC)\rightarrow SB$ – висота піраміди.

$MN=5$ см, $SB=2MN=2\cdot5=10$ см.

Точка $D_1$ – середина $SD$.

$$ \left.\begin{array}{l} (SCD)\ D_1C_1\ ||\ DC\\ (SAD)\ A_1D_1\ ||\ AD \end{array}\right| \rightarrow(A_1D_1C_1)\ ||\ (ADC) $$

за ознакою паралельності площин.

$(SBC)\!\perp\!(ABC)\rightarrow(A_1D_1C_1)\!\perp\!(SBC)$
$(ABC)\ ||\ (A_1D_1C_1).$

Відстань від точки $D_1$ до площини $(SBC)$ – висота трапеції $A_1D_1C_1D_1$, $(D_1E_1\!\perp\!B_1C_1).$

\begin{gather*} V=\frac{1}{3}S_{\text{основи}}\cdot H=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot SB,\\[6pt] \frac{1}{3}S_{\text{основи}}\cdot 10=210,\\[6pt] S_{\text{основи}}=63\ \text{см}^2,\\[6pt] S_{\text{основи}}=\frac{AD+BC}{2}\cdot DE=MN\cdot DE=5\cdot DE=63,\\[6pt] DE=12{,}6\ \text{см}. \end{gather*}

$D_1$ – середина $SD.$ $ABCD$ подібна $A_1B_1C_1D_1$ (за пропорційними сторонами)

$k=\dfrac{1}{2}$ – коефіцієнт подібності.

$$ D_1E_1=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}\cdot 12{,}6=6{,}3\ \text{см}. $$

Відповідь: $6{,}3.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 1. Запитання: 4333

Завдання 33 з 2419

Знайдіть значення параметра $a$, при якому корінь рівняння $$ \lg(\sin 5\pi x)=\sqrt{16+a-x} $$ належить проміжку $\left(\dfrac 32; 2\right).$

Впишіть відповідь:

-14.3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Логарифмічні, тригонометричні та ірраціональні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати логарифмічні рівняння з параметром, нерівності; знання властивостей логарифмічної, тригонометричної та степеневої функцій.

ОДЗ:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} \sin 5\pi x\gt 0,\\ 16+a-x\ge 0, \end{array}\right.\\[7pt] 0\lt \sin 5\pi x \le 1. \end{gather*}

Розглянемо функцію $y=\lg(\sin 5\pi x).$ Якщо аргумент зростаючої функції належить проміжку $(0; 1)$, тоді $\lg(\sin 5\pi x)\le 0.$

Функція $$ g(x)=\sqrt{16+a-x} $$ приймає значення $[0; +\infty).$

Отже, рівність досягається за умови:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} \sin 5\pi x\gt 0,\\ 16+a-x\ge 0, \end{array}\right.\\[7pt] 0\lt \sin 5\pi x \le 1. \end{gather*}

Корінь рівняння належить проміжку $\left[\dfrac{3}{2}; 2\right].$

\begin{gather*} \frac{3}{2}\le \frac{1}{10}+\dfrac{2}{5}n\le 2,\\[6pt] \frac{14}{10}\le \frac{2}{5}n\le \frac{19}{10},\\[6pt] 3{,}5\le n\le 4{,}75, \end{gather*}

при $n\in Z$ нерівності задовольняє значення $n=4.$

Отже,

\begin{gather*} x=\frac{1}{10}+\frac{2}{5}\cdot 4=\frac{1}{10}+\frac{8}{5}=\frac{17}{10}=1{,}7,\\[6pt] x=16+a,\\[6pt] 1{,}7=16+a,\\[7pt] a=-14{,}3. \end{gather*}

При $a=-14{,}3$ корінь рівняння належить проміжку $\left[\dfrac{3}{2}; 2\right].$

Відповідь: $-14{,}3.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 1. Запитання: 4335

Завдання 34 з 2419

Три промені зі спільним початком лежать в одній площині (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $\gamma$, якщо $\alpha=20^\circ$, $\beta=50^\circ.$

А$330^\circ$

Б$290^\circ$

В$250^\circ$

Г$160^\circ$

Д$110^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їх властивості. Геометричні величини та їх вимірювання. Величини кута, вимірювання кутів.

Це завдання перевіряє вміння вимірювати кути, знання аксіом планіметрії.

Градусна міра повного кута $360^\circ.$

\begin{gather*} \alpha+\beta+\gamma= 360^\circ,\\[7pt] \gamma=360^\circ - \alpha-\beta=360^\circ - 20^\circ - 50^\circ = 290^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5315

Завдання 35 з 2419

Діаграма, зображена на рисунку, містить інформацію про кількість електроенергії (у кВт · год, спожитої певною сім'єю в кожному місяці $2012$ року. Користуючись діаграмою, установіть, які з наведених тверджень є правильними.

I. У грудні порівняно з липнем спожито електроенергії більше, ніж у $2$ рази.

II. За всі літні місяці спожито електроенергії на $150$ кВт · год менше, ніж за всі весняні місяці.

III. Середньомісячне споживання електроенергії за рік є більшим за $120$ кВт · год.

Алише І

Блише І i II

Влише І i ІІI

Глише ІI і ІІІ

ДI, II i III

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми подання статистичної інформації.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, подану у вигляді діаграми.

У грудні спожито $220\ \text{кВт}\cdot\text{год}$, у липні – $80\ \text{кВт}\cdot\text{год}.$ \begin{gather*} 220 : 80 = 2{,}75. \end{gather*} Отже, I твердження правильне.

За літні місяці спожито: \begin{gather*} 100 + 80 + 100 = 280\ \text{кВт}\cdot\text{год}. \end{gather*} За весняні місяці спожито: \begin{gather*} 160 + 150 + 130 = 440\ \text{кВт}\cdot\text{год}. \end{gather*} За весняні місяці спожито більше, ніж у літні на: \begin{gather*} 440 - 280 = 160\ \text{кВт}\cdot\text{год}. \end{gather*} Отже, II твердження правильне.

Середньомісячне споживання електроенергії:

\begin{gather*} (220 + 210 + 190 + 440 + 280 + 110 + 140 + 170) : 12 = 1760 : 12 = 146 \frac{2}{3}\ \text{кВт}\cdot\text{год}. \end{gather*}

Отже, III твердження правильне.

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5316

Завдання 36 з 2419

Остача від ділення натурального числа $k$ на $5$ дорівнює $2.$ Укажіть остачу від ділення на $5$ числа $k+21.$

А$0$

Б$1$

В$2$

Г$3$

Д$4$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні), їх порівняння та дії з ними. Числові множини та співвідношення між ними.

Це завдання перевіряє вміння знаходити неповну частку та остачу від ділення одного натурального числа на інше.

Нехай $k = 5p + 2.$ Число

\begin{gather*}k + 21 = 5p + 2 + 21 = 5p + 23 = 5(p + 4) + 3. \end{gather*}

Отже, остача від ділення на $5$ становить $3.$

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5317

Завдання 37 з 2419

У геометричній прогресії $(b_n)$ задано $b_3=0{,}2$; $b_4=\dfrac 34.$ Знайдіть знаменник цієї прогресії.

А$\dfrac{15}{4}$

Б$\dfrac{3}{20}$

В$\dfrac{3}{8}$

Г$\dfrac{4}{15}$

Д$\dfrac{11}{20}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Означення арифметичної та геометричної прогресії. Формула $n\text{-го}$ члена геометричної прогресії.

Це завдання перевіряє знання означення геометричної прогресії, формули $n\text{-го}$ члена.

$(b_n)$ – геометрична прогресія. За властивістю геометричної прогресії:

\begin{gather*} b_{n+1} = b_n \cdot q,\\[7pt] b_4 = b_3 \cdot q,\\[6pt] q = \frac{b_4}{b_3} = \frac{3}{4} : 0{,}2 = \frac{3}{4} : \frac{2}{10} = \frac{3 \cdot 10}{4 \cdot 2} = \frac{15}{4}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5318

Завдання 38 з 2419

На рисунку зображено графік неперервної функції $y=f(x)$, визначеної на відрізку $[-3; 7].$ Скільки всього точок екстремуму має ця функція на відрізку $[-3; 7]$?

А$1$

Б$2$

В$3$

Г$5$

Д$6$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Означення функції, область визначення, область значень функції, графік функції. Екстремуми функції.

Це завдання перевіряє вміння знаходити екстремуми функції, досліджувати функції за допомогою похідної.

На відрізку $[-3; 7]$ $3$ точки екстремуму. \begin{gather*} x_{max} = 1;\\[7pt] x_{min} = 3{,}5;\\[7pt] x_{max} = 6. \end{gather*}

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5319

Завдання 39 з 2419

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Через дві прямі, що перетинаються, можна провести лише одну площину.

II. Через точку, що не належить площині, можна провести безліч прямих, паралельних цій площині.

III. Якщо дві різні площини паралельні одній і тій самій прямій, то вони паралельні між собою.

Алише І

Блише І i II

Влише І i ІІI

Глише ІІ і ІІІ

ДI, II i III

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Аксіоми і теореми стереометрії. Взаємне розміщення прямих у просторі, прямої та площини у просторі, площин у просторі. Ознаки паралельності прямих, прямої і площини, площин.

Це завдання перевіряє знання взаємного розміщення прямих та площин у просторі, ознак паралельності прямої та площини, площин у просторі.

Через дві прямі, що перетинаються, можна провести лише одну площину (аксіома). Отже, твердження I правильне.

Через точку, що не належить площині, можна провести безліч прямих, паралельних цій площині.

Отже, твердження II правильне.

Якщо дві різні площини паралельні одній прямій, то вони необов'язково паралельні між собою. Якщо пряма перетину площин паралельна прямій, то ці площини паралельні прямій.

Наприклад, $\alpha \cap \beta = a$, $a\ ||\ b.$

Отже, $\alpha\ ||\ b$, $\beta\ ||\ b.$ Отже, твердження III неправильне.

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5320

Завдання 40 з 2419

Розв'яжіть рівняння $2x(x+2)=5(x+2).$

А$-2{,}5; 2$

Б$-2$

В$2{,}5$

Г$-2; 0{,}4$

Д$-2; 2{,}5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи. Рівняння з однією змінною, означення кореня (розв'язку) рівняння з однією змінною. Методи розв'язування раціональних, ірраціональних, показникових, логарифмічних, тригонометричних рівнянь.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні рівняння, розкладати многочлен на множники.

\begin{gather*} 2x(x + 2) = 5(x + 2),\\[7pt] 2x(x + 2) - 5(x + 2) = 0,\\[7pt] (x + 2)(2x - 5) = 0,\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x + 2 = 0,\\ 2x - 5 = 0, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} x = -2,\\ 2x = 5, \end{array}\right.\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x = -2,\\ x = 2{,}5. \end{array}\right. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5321