ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей прямокутників, паралелограмів, трапеції, прямокутних трикутників.

1. Довжина діагоналі прямокутника \(ABCD.\)

Діагональ \(BD\) розбиває прямокутник \(ABCD\) на два рівні прямокутні трикутники. За теоремою Піфагора для \(\Delta ABD\ (\angle A=90^\circ){:}\)

Отже, 1 – B.

2. Відстань від точки \(K\) до прямої \(AN.\) Це довжина перпендикуляра, опущеного з точки на пряму.

Оскільки точки \(K\), \(C\) та \(D\) лежать на одній прямій (за умовою), а пряма \(CD\) перпендикулярна до \(AN\) (бо це сторона прямокутника), то шукана відстань – довжина відрізка \(KD.\)

\begin{gather*} KD=KC+CD. \end{gather*}

У прямокутнику \(ABCD\):
\(AB=CD=5\) см і \(AD=BC=12\) см.

Оскільки \(ABCD\) – прямокутник, кут \(\angle BCD=90^\circ\), а отже і суміжний із ним \(\angle BCK=90^\circ.\) За теоремою Піфагора для трикутника \(\Delta CBK{:}\)

Отже, 2 – Б.

3. Висота трапеції – це відстань між її основами \(DC\) та \(MN.\)

\(DCMN\) – трапеція \(\Rightarrow\ CD\!\parallel\!MN.\) За умовою \(K\), \(C\), \(D\) лежать на одній прямій, яка перпендикулярна до прямої \(AN.\) Оскільки \(DC\) лежить на цій прямій, то основи трапеції перпендикулярні до прямої \(AN\ (DC\!\perp\!DN\), \(MN\!\perp\!DN).\)

\(ABCD\) – прямокутник \(\Rightarrow\ BC\!\parallel\!AD\), \(AB\!\parallel\!CD\), \(AB=CD=5\) см, \(BC=AD=12\) см. Усі кути \(90^\circ.\)

\(BKMC\) – паралелограм \(\Rightarrow BK\!\parallel\!MC\), \(BC\!\parallel\!KM\), \(BK=MC=15\) см, \(BC=KM=12\) см.

Розгляньмо чотирикутник \(DKMN{:}\) \(CK\!\parallel\!MN\), \(KM\!\parallel\!DN\), \(KC\!\perp\!DN.\)

Чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні, а один кут прямий, – прямокутник. Тобто \(DKMN\) – прямокутник.

\begin{gather*} DN=KM=12\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

1. Функція \(y=x\) і пряма \(y=x+3.\)

Обидві функції лінійні. Їхні кутові коефіцієнти (число перед \(x\)) однакові: \(k_1=1\) та \(k_2=1.\) Якщо кутові коефіцієнти рівні, а вільні члени різні \((0\ne 3)\), то прямі паралельні. Паралельні прямі не мають спільних точок.

Отже, правильна відповідь – A.

2. Функція \(y=2^{-x}\) або \(y=\dfrac{1}{2^x}\) – це спадна показникова функція, яка набуває лише додатних значень. Пряма \(y=x+3\) є функцією, що зростає.

Оскільки одна функція монотонно зростає, а інша монотонно спадає на всій області визначення, вони можуть мати не більш як одну спільну точку.

Отже, правильна відповідь – Б.

3. Графік функції \(y=\dfrac 1x\) – гіпербола, гілки якої розташовані в I та III чвертях. Вона нескінченно наближається до осей \(Ox\) та \(Oy\), але ніколи їх не перетинає.

Пряма \(y=x+3\) перетинає обидві гілки гіперболи.

Отже, правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – A, 2 – Б, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних, ірраціональних виразів, знання модуля числа та його властивостей.

1. Оскільки \(1\lt \sqrt{5}\), то \(1-\sqrt{5}\lt 0.\)

За означенням модуля:

Отже, правильна відповідь – Б.

2. Оскільки \(10=2\cdot 5=2\cdot (\sqrt{5})^2.\) Винесімо спільний множник у чисельнику:

Отже, правильна відповідь – B.

3. Оскільки \(\sqrt{5}=5^{\textstyle \frac 12}.\)

Скористаймося властивостями логарифма:

\begin{gather*} \log_a b^n=n\cdot\log_a b;\\[7pt] \log_a a=1;\\[7pt] \log_{\textstyle \sqrt{5}} 5=\log_{\textstyle 5^{\frac 12}} 5=\frac{1}{\frac 12}\cdot \log_5 5=2. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – B, 3 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ \frac x2=-1.\\[6pt] \frac x2=\mathrm{arctg}\ (-1)+\pi n,\ n\in Z;\\[6pt] \frac x2=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in Z;\\[6pt] x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n, n\in Z. \end{gather*}

Якщо \(n=0\), то \(x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi\cdot 0=-\dfrac{\pi}{2}.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами.

Сумою векторів \(\vec a(x_1; y_1; z_1)\) i \(\vec b(x_2; y_2; z_2)\) є вектор \(\vec c=\vec a+\vec b{:}\)

\begin{gather*} \vec c(x_1+x_2; y_1+y_2; z_1+z_2). \end{gather*}

Щоб визначити координати суми векторів, треба додати їхні відповідні координати (першу до першої, другу до другої, третю до третьої).

\begin{gather*} \vec c(2+(-7); -2+(-3); 3+4);\\[7pt] \vec c(-5; -5; 7). \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання означення арифметичної прогресії, формули її \(n\text{-го}\) члена.

Арифметичну прогресію задано \(a_n=18-1{,}5n.\)

Підставмо значення \(-30\) у формулу замість \(a_n{:}\)

\begin{gather*} -30=18-1{,}5n;\\[7pt] 1{,}5n=18+30;\\[7pt] 1{,}5n=48;\\[7pt] n=48:1{,}5;\\[7pt] n=480:15;\\[7pt] n=32. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні нерівності, знання властивостей логарифмічної функції.

\begin{gather*} \log_3 (2x-1)\lt 2;\\[7pt] \log_3 (2x-1)\lt 2\log_3 3;\\[7pt] \log_3 (2x-1)\lt \log_3 3^2;\\[7pt] \log_3(2x-1)\lt \log_3 9. \end{gather*}

Оскільки основа логарифма \(3\gt 1\), функція зростає, тому знак нерівності для підлогарифмічних виразів не змінюється, а задана нерівність рівносильна нерівності:

\begin{gather*} 2x-1\lt 9;\\[7pt] 2x\lt 9+1;\\[7pt] 2x\lt 10;\\[7pt] x\lt 5. \end{gather*}

Визначмо ОДЗ. Вираз під знаком логарифма обов'язково має бути додатним:

\begin{gather*} 2x-1\gt 0;\\[7pt] 2x\gt 1;\\[7pt] x\gt 0{,}5. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in (0{,}5; 5). \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба та прямокутного трикутника.

1 спосіб.

Діагоналі ромба – бісектриси його кутів. Сума сусідніх кутів ромба дорівнює \(180^\circ.\) Якщо кут ромба \(\angle C=2\beta\), то інший \(\angle B=180^\circ-2\beta.\)

За формулою зведення \(\sin(180^\circ-\alpha)=\sin \alpha.\) Тобто:

\begin{gather*} \sin \angle B=\sin(180^\circ-2\beta)=\sin 2\beta. \end{gather*}

Висота ромба дорівнює діаметру вписаного кола \(CH=d=2r.\) Отже:

\begin{gather*} r=\frac{CH}{2}. \end{gather*}

Розгляньмо прямокутний трикутник \(CHB{:}\) \(\angle H=90^\circ\), \(BC=a.\)

\begin{gather*} \sin \angle B=\frac{CH}{CB};\\[6pt] CH=CB\cdot \sin \angle B;\\[7pt] CH=a\sin 2\beta. \end{gather*}

Оскільки радіус вписаного кола – це половина висоти ромба, маємо кінцеву формулу:

\begin{gather*} r=\frac{a\sin 2\beta}{2}. \end{gather*}

2 спосіб.

У ромбі діагональ ділить кут навпіл, тож якщо гострий кут ромба дорівнює \(\alpha\), то

\begin{gather*} \beta=\frac{\alpha}{2}. \end{gather*}

Площа ромба:

\begin{gather*} S=a^2\sin \alpha. \end{gather*}

Для будь-якого ромба існує вписане коло, до того ж

\begin{gather*} S=r\cdot p, \end{gather*}

де \(r\) – радіус вписаного кола, \(p\) – півпериметр.

Оскільки

\begin{gather*} p=2a, \end{gather*}

то

\begin{gather*} r=\frac Sp=\frac{a^2\sin\alpha}{2a}=\frac{a\sin\alpha}{2}. \end{gather*}

Підставмо \(\alpha=2\beta{:}\)

\begin{gather*} r=\frac{a\sin 2\beta}{2}. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання означення степеня з натуральним показником, його властивостей.

\begin{gather*} \frac{2x^2y}{8xy^5}=\frac{2\cdot x^2\cdot y}{8\cdot x\cdot y^5}=\frac{x}{4y^4}. \end{gather*}

Використали властивість степеня з натуральним показником:

\begin{gather*} \frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники та їхні елементи.

Завдання перевіряє розуміння означення та ключових властивостей середньої лінії трикутника.

I. \(AC\!\parallel\!MN\) – твердження правильне.

За означенням, відрізок, що сполучає середини двох сторін трикутника, – його середня лінія. Середня лінія трикутника завжди паралельна третій стороні: \(MN\!\parallel\!AC.\)

II. Відрізок \(MN\) – середня лінія трикутника \(ABC\) – твердження правильне.

Це випливає безпосередньо з того, що \(M\) і \(N\) – середини сторін \(AB\) та \(BC.\)

III. Площа трикутника \(MBN\) і чотирикутника \(AMNC\) рівні – твердження неправильне.

Трикутник \(MBN\) подібний до трикутника \(ABC\) \((\Delta MBN\sim \Delta ABC)\) за двома сторонами й кутом між ними. Коефіцієнт подібності \(k=\dfrac 12\) (оскільки \(MB=\dfrac 12 AB\)). Площі подібних трикутників відносяться як квадрат коефіцієнта подібності \((k^2){:}\)

Площа чотирикутника \(AMNC\) втричі більша за площу трикутника \(MBN.\) Твердження про їхню рівність хибне.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Логарифмічні вирази та їх перетворення.

Завдання перевіряє знання означення та властивостей логарифма, модуля числа.

Логарифмічна функція \(y=\lg x\) зростає, оскільки основа \(10\gt 1.\) Тому, якщо \(5\lt 9\), то \(\lg 5\lt \lg 9.\)

Звідси випливає, що вираз під знаком модуля від’ємний:

\begin{gather*} \lg 5-\lg 9\lt 0. \end{gather*}

За означенням, якщо \(a\lt 0\), то \(|a|=-a.\) Отже:

Використаймо формулу різниці логарифмів:

\begin{gather*} \lg b-\lg a=\lg\frac ba;\\[6pt] \lg 9-\lg 5=\lg\frac 95. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє розуміння означення циліндра як тіла обертання.

Циліндр утворюється внаслідок обертання прямокутника навколо однієї з його сторін. Сторона, навколо якої відбувається обертання, стає висотою циліндра, а інша сторона, перпендикулярна до неї, – радіусом основи.

Унаслідок обертання прямокутника навколо сторони утворюється циліндр.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати точки локального екстремуму функції за її графіком.

Точка локального екстремуму (максимуму або мінімуму) – це значення аргумента \(x\), за якого функція досягає свого найбільшого або найменшого значення на певному проміжку.

Визначмо найнижчу точку на локальному згині графіка (у місці, де спадання функції змінюється на зростання). Проведімо перпендикуляр із цієї точки до осі.

Отже, \(x_0=2\) – точка локального мінімуму заданої функції.

Важливо: точка \(x=-2\) – це точка локального максимуму, а не мінімуму. Точки на кінцях проміжку \((x=-5\) та \(x=5)\) не вважаємо точками локального екстремуму, оскільки не знаємо, як поводиться функція за межами визначеного проміжку (чи змінюється там зростання на спадання). \(y=1\) – це мінімум функції (значення функції в цій точці).

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трапеція та її властивості.

Завдання перевіряє вміння обчислювати периметр трапеції.

Трапеція рівнобічна, отже бічні сторони рівні. Якщо одна бічна сторона дорівнює \(11\) см, то й інша також дорівнює \(11\) см.

Периметр \((P)\) – це сума довжин усіх сторін многокутника.

\begin{gather*} P=18+7+11+11=47\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: B.