Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 40

Математика. Всі запитання починаючи з 40

414243444546474849505152535455 ▶

Завдання 41 з 2199

Розв'яжіть нерівність \(\dfrac{1}{x-5}\lt 0.\)

А\((-\infty; 5)\)

Б\((-\infty; -5)\)

В\((-\infty; 5)\cup (5; +\infty)\)

Г\((-5; +\infty)\)

Д\((5; +\infty)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє знання методів розв'язування раціональних нерівностей, властивостей нерівностей.

Дріб менше за нуль, якщо \(x - 5 \lt 0\), \(x\lt 5.\)

\begin{gather*} x \in (-\infty; 5). \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5322

Завдання 42 з 2199

Якщо \(x+2y-6z=-1\) i \(-y+3z=5\), то \(x=\)

А\(9\)

Б\(11\)

В\(4\)

Г\(-9\)

Д\(-11\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи лінійних рівнянь.

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x + 2y - 6z = -1, \\ -y + 3z = 5\ |\ \cdot 2, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x + 2y - 6z = -1, \\ -2y + 6z = 10. \end{array}\right. \end{gather*}

Складемо рівняння почленно: \(x = 9.\)

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5323

Завдання 43 з 2199

На рисунку зображено графік функції \(y=x^2-2x.\) Укажіть графік функції \(y=|x^2-2x|.\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння виконувати елементарні перетворення графіків функцій.

Графік функції \(y = x^2 - 2x\), використовуючи елементарні перетворення, перетворимо в графік функції \(y = |x^2 - 2x|.\)

Частина графіка, яка знаходилась нижче від осі абсцис, симетрично відображається відносно осі \(Ox\), решта – залишається без змін.

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5324

Завдання 44 з 2199

\(\dfrac{\lg 25}{\lg 5}=\)

А\(\lg 5\)

Б\(5\)

В\(\lg 20\)

Г\(2\)

Д\(0{,}5\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їхні перетворення. Означення та властивості логарифма.

Це завдання перевіряє знання властивостей логарифма, вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

Використавши формулу переходу до нової основи, отримаємо: \begin{gather*} \frac{\lg 25}{\lg5} = \log_5 25 = 2. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5325

Завдання 45 з 2199

Сторона основи правильної чотирикутної призми дорівнює \(3\) см, а периметр її бічної грані – \(22\) см. Знайдіть площу бічної поверхні цієї призми.

А\(66\) см\(^2\)

Б\(72\) см\(^2\)

В\(96\) см\(^2\)

Г\(114\) см\(^2\)

Д\(264\) см\(^2\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Формули для обчислення площ поверхонь, об'ємів многогранників і тіл обертання.

Це завдання перевіряє знання формули бічної поверхні призми.

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – правильна призма. \(ABCD\) – квадрат. \(AB = 3\) см.

\begin{gather*} P(AA_1D_1D) = 22\ \text{см}=2(AD + AA_1)=2(3 + AA_1),\\[7pt] 6 + 2AA_1 = 22,\\[7pt] 2AA_1 = 16,\\[7pt] AA_1 = 8\ \text{см},\\[7pt] S_{бічна} = P_{основи} \cdot H = P_{ABCD} \cdot AA_1 = 3 \cdot 4 \cdot 8 = 96\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5326

Завдання 46 з 2199

Знайдіть значення виразу \(\dfrac 1b-\dfrac 1a\), якщо \(\dfrac{\sqrt{3}a-\sqrt{3}b}{ab}=\sqrt{12}.\)

А\(-2\)

Б\(0{,}5\)

В\(2\)

Г\(3\)

Д\(6\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних та ірраціональних виразів, знання властивостей кореня \(n\text{-го}\) степеня.

Спростимо вираз:

\begin{gather*} \frac{\sqrt{3}a - \sqrt{3}b}{ab} = \sqrt{12},\\[6pt] \frac{\sqrt{3}(a - b)}{ab} = 2\sqrt{3},\\[6pt] \frac{a - b}{ab} = 2,\\[6pt] \frac{a}{ab} - \frac{b}{ab} = 2,\\[6pt] \frac{1}{b} - \frac{1}{a} = 2. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5327

Завдання 47 з 2199

У трикутнику \(ABC\) задано \(AC=2\) см, \(\angle A=50^\circ\), \(\angle B=70^\circ\) (див. рисунок). Визначте \(BC\) (у см) за теоремою синусів.

А\(BC=\frac{2\sin 70^\circ}{\sin 50^\circ}\)

Б\(BC=\frac{\sin 50^\circ}{2\sin 70^\circ}\)

В\(BC=\frac{2}{\sin 50^\circ\sin 70^\circ}\)

Г\(BC=\frac{\sin 70^\circ}{2\sin 50^\circ}\)

Д\(BC=\frac{2\sin 50^\circ}{\sin 70^\circ}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Теорема синусів.

Це завдання перевіряє знання теореми синусів.

За теоремою синусів:

\begin{gather*} \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B},\\[6pt] BC = \frac{AC \cdot \sin A}{\sin B} = \frac{2 \cdot \sin 50^\circ}{\sin 70^\circ}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5328

Завдання 48 з 2199

На координатній площині \(xy\) зображено коло, центр якого збігається з початком координат (див. рисунок). Точки \(K(8; 6)\) i \(M(x; y)\) належать цьому колу. Визначте координати точки \(M.\)

А\((-10; 0)\)

Б\((10; 0)\)

В\((0; -14)\)

Г\((0; -10)\)

Д\((0; 10)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Прямокутна система координат на площині, координати точки. Формула для обчислення відстані між двома точками.

Це завдання перевіряє знання декартової системи координат на площині, формули відстані між двома точками на площині.

\begin{gather*} \Delta KOA\ (\angle A = 90^\circ),\\[7pt] OK = R = \sqrt{KA^2 + OA^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10,\\[7pt] OA = 8,\\[7pt] KA = 6. \end{gather*}

Радіус кола \(R = 10.\) Отже, \(M(0; -10).\)

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5329

Завдання 49 з 2199

У трикутнику \(ABC\) точка \(M\) – середина сторони \(BC\), \(AC=24\) см (див. рисунок). Знайдіть відстань \(d\) від точки \(M\) до сторони \(AC\), якщо площа трикутника \(ABC\) дорівнює \(96\) см\(^2.\)

А\(2\) см

Б\(3\) см

В\(4\) см

Г\(6\) см

Д\(8\) см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення площі трикутника, теореми Фалеса, ознаки паралельності прямих на площині.

\begin{gather*} S_{ABC} = 96\ \text{см}^2,\\[7pt] BB_1\!\perp\!AC,\\[6pt] S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BB_1 = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot BB_1 = 12 \cdot BB_1 = 96,\\[6pt] BB_1 = 96 : 12 = 8\ \text{см},\\[7pt] \left.\begin{array}{l} BB_1\!\perp\!AC,\\ MM_1\!\perp\!AC, \end{array}\right| \Rightarrow BB_1\ ||\ MM_1. \end{gather*}

За теоремою Фалеса: якщо \(MC = MB,\) то \(CM_1 = M_1B_1.\)

\(MM_1\) – середня лінія \(\Delta BB_1C.\) За властивістю середньої лінії трикутника

\begin{gather*} MM_1 = d = \frac{1}{2} BB_1 = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5330

Завдання 50 з 2199

Спростіть вираз \(\sin^2 \alpha(1-\mathrm{ctg}^2\ \alpha).\)

А\(\cos(2\alpha)\)

Б\(\mathrm{tg}^2\ \alpha\)

В\(1\)

Г\(\mathrm{ctg}^2\ \alpha\)

Д\(-\cos(2\alpha)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

\begin{gather*} \sin^2\alpha(1 - \mathrm{ctg}^2\alpha) = \sin^2\alpha - \sin^2\alpha \cdot \mathrm{ctg}^2\alpha = \sin^2\alpha - \frac{\sin^2\alpha \cdot \cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} =\\[6pt] = \sin^2\alpha - \cos^2\alpha = -(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) = -\cos 2\alpha. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5331

Завдання 51 з 2199

Знайдіть похідну функції \(y=e^{-2x}.\)

А\(y'=e^{-2x}\)

Б\(y'=-2e^{-2x}\)

В\(y'=-2xe^{-2x-1}\)

Г\(y'=2e^{-2x}\)

Д\(y'=-\frac 12e^{-2x}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідні елементарних функцій. Правила диференціювання.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідну складеної функції, знання правил диференціювання.

За правилом знаходження похідної складеної функції, знаходимо похідну функції:

\begin{gather*} y' = (e^{-2x})' = e^{-2x} \cdot (-2x)' = -2 \cdot e^{-2x}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5332

Завдання 52 з 2199

Розв'яжіть нерівність \(\log_{0{,}4}x\ge \log_{0{,}4}2.\)

А\((-\infty; 2]\)

Б\((0{,}4; 2]\)

В\((0; +\infty)\)

Г\([2; +\infty)\)

Д\((0; 2]\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні нерівності.

\(\log_{0{,}4} x \ge \log_{0{,}4} 2.\)

Функція \(y = \log_{0{,}4} x\) спадна, отже \(x \ge 2.\)

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x \le 2,\\ x \gt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Аргумент \(x \lt 0\), \(x\in (0; 2].\)

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5333

Завдання 53 з 2199

Для розігрівання в мікрохвильовій печі рідких страв використовують посудину у формі циліндра, радіус основи якого дорівнює \(9\) см. Посудина ставиться на горизонтальний диск у формі круга і накривається кришкою, що має форму півсфери (див. рисунок). Радіус півсфери дорівнює \(12\) см і є меншим за радіус круга. Укажіть найбільше з наведених значень, якому може дорівнювати висота посудини, якщо посудина не торкається кришки.

А\(3\) cм

Б\(5\) cм

В\(6\) cм

Г\(7\) cм

Д\(8\) cм

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Тіла і поверхні обертання та їх елементи, основні види тіл і поверхонь обертання: циліндр, конус, зрізаний конус, куля, сфера. Планіметрія. Теорема Піфагора.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості тіл та поверхонь обертання до розв’язування стереометричних задач практичного змісту.

\(OA = 12\) см, \(O_1A = 9\) см.

Розглянемо випадок, коли циліндр дотикається до півсфери:
\(\Delta OO_1A\ (\angle O_1 = 90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} OA^2 = OO_1^2 + O_1A^2,\\[7pt] OO_1^2 = 12^2 - 9^2 = 144 - 81 = 63,\\[7pt] OO_1 = \sqrt{63}\ \text{см},\\[7pt] \sqrt{49} \lt \sqrt{63} \lt \sqrt{64},\\[7pt] 7 \lt \sqrt{63} \lt 8,\\[7pt] 7\lt OO_1 \lt 8. \end{gather*}

Найбільше з наведених значень, якому може дорівнювати висота посудини, – \(7\) см.

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5334

Завдання 54 з 2199

З пунктів \(A\) i \(B\) одночасно по шосе назустріч один одному виїхали два велосипедисти. Вони їхали без зупинок зі сталими швидкостями: перший – зі швидкістю \(x\) км/год, другий – зі швидкістю \(y\) км/год \((x\gt y).\) Через \(t\) годин \((t\gt 1)\) вони зустрілися в точці \(C\) і, не зупиняючись, продовжили рух без зміни напрямків. До кожного запитання (1–4) доберіть правильну відповідь (А – Д).

Запитання

1На скільки кілометрів зменшилася відстань по шосе між велосипедистами через \(1\) годину після початку руху?

2Чому дорівнює відстань по шосе між пунктами \(A\) i \(B\) (у км)?

3На скільки кілометрів більше проїхав перший велосипедист, ніж другий, за час від початку руху до моменту зустрічі?

4За скільки годин перший велосипедист подолає відстань по шосе від точки \(C\) до пункту \(B\)?

Відповідь

А\((x+y)t\)

Б\((x-y)t\)

В\(\dfrac{yt}{x}\)

Г\(\dfrac{(x-y)t}{y}\)

Д\(x+y\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати рівняння до розв’язування текстових задач.

1. За \(1\) годину велосипедисти пройдуть \((x + y) \cdot 1 = x + y\) км. На \((x + y)\) зменшилась відстань по шосе між велосипедистами. Отже, 1 – Д.

2. Через \(t\) годин велосипедисти зустрілись. Отже, відстань між пунктами \(A\) і \(B\) \((x + y)t.\) Отже, 2 – А.

3. За умовою \(x \gt y.\) За \(1\) годину перший велосипедист проїхав більше ніж другий на \((x - y)\) км. За \(t\) години різниця відстаней, які проїхали велосипедисти, становить: \((x - y)t\). Отже, 3 – Б.

4. Відстань \(CB = yt\) км. Час, за який перший подолає відстань \(CB\): \((yt/x)\) год. Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Д, 2 – А, 3 – Б, 4 – В.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5335

Завдання 55 з 2199

Установіть відповідність між твердженням (1–4) та функцією (А – Д), для якої це твердження є правильним.

Твердження

1графік функції не перетинає жодну з осей координат

2областю значень функції є проміжок \((0; +\infty)\)

3функція спадає на всій області визначення

4на відрізку \([-1{,}5; 1{,}5]\) функція має два нулі

Функція

А\(y=-x+2\)

Б\(y=x^2-2\)

В\(y=-\dfrac 1x\)

Г\(y=3^x\)

Д\(y=\cos x\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1. Графік функції не перетинає жодну з осей координат.

Отже, 1 – В.

2. Областю значення функції є проміжок \((0; +\infty).\)

Отже, 2 – Г.

3. Функція спадає на всій області визначення.

Отже, 3 – А.

4. На відрізку \([-1{,}5; 1{,}5]\) функція має два нулі.

Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – B, 2 – Г, 3 – A, 4 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5336