Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 1075

Завдання 1076 з 2155

У конусі радіус основи дорівнює $R$, твірна – $l.$ Через вершину конуса й хорду його основи проведено площину $\mathbf{\beta}.$ Ця площина утворює з площиною основи конуса гострий кут $\mathbf{\alpha}.$

1. Зобразіть переріз конуса площиною $\mathbf{\beta}$ та вкажіть його вид.

2. Обґрунтуйте положення кута $\mathbf{\alpha}.$

3. Визначте периметр цього перерізу.

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 4.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості конуса до розв'язування стереометричних задач.

$OA=R$, $SA=l$, $AB$ – хорда.

1. $\Delta SAB$ – переріз площиною $\mathbf{\beta}$, яка проведена через вершину $S$ та хорду $AB.$ $SA=SB=l$ – твірна конуса, отже, $\Delta SAB$ – рівнобедрений.

2. Проведемо $OK\ \perp\ AB.$ $SO\ \perp\ (OAB)$, $SK$ – похила, $OK$ – проекція похилої $SK$ на $(OAB).$ За теоремою про три перепендикуляри: якщо $OK\ \perp\ AB$, то $SK\ \perp AB.$ $SK\cap OK.$

За ознакою перпендикулрності прямої та площини $AB\ \perp\ (SOK)$, тому $\angle SKO=\mathbf{\alpha}$ – лінійний кут відповідного двограного між площинами $(SAB)$ i $(OAB).$

3. У $\Delta SOA\ (\angle O=90^\circ)$ за теоремою Піфагора: \begin{gather*} SA^2=SO^2+OA^2,\\[7pt] SO^2=SA^2-OA^2=l^2-R^2,\\[7pt] SO=\sqrt{l^2-R^2}. \end{gather*}

У $\Delta SOK\ (\angle O=90^\circ)\ OK=SO\operatorname{ctg}\ \mathbf{\alpha}=\sqrt{l^2-R^2}\operatorname{ctg}\ \mathbf{\alpha}$, $$SK=\frac{SO}{\sin \mathbf{\alpha}}=\frac{\sqrt{l^2-R^2}}{\sin\mathbf{\alpha}}.$$

У $\Delta SAB\ SA=SB=l$, $SK$ – висота, медіана. $AK=KB.$

У $\Delta SKA\ (\angle K=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} SA^2=SK^2+AK^2,\\[6pt] AK^2=SA^2-SK^2=l^2-\frac{l^2-R^2}{\sin^2\mathbf{\alpha}}=\frac{l^2(\sin^2\mathbf{\alpha}+1)+R^2}{\sin^2\mathbf{\alpha}}=\frac{R^2-l^2\cos^2\mathbf{\alpha}}{\sin^2\mathbf{\alpha}},\\[6pt] AB=2AK=\frac{2\sqrt{R^2-l^2\cos^2\mathbf{\alpha}}}{\sqrt{\sin^2\mathbf{\alpha}}}=\frac{2\sqrt{R^2-l^2\cos^2\mathbf{\alpha}}}{\sin\mathbf{\alpha}},\\[6pt] P_{ASB}=2AS+AB=2l+\frac{2\sqrt{R^2-l^2\cos^2\mathbf{\alpha}}}{\sin\mathbf{\alpha}}=2l+\frac{2}{\sin\mathbf{\alpha}}\sqrt{R^2-l^2\cos^2\mathbf{\alpha}}. \end{gather*}

Відповідь: $2l+\frac{2}{\sin\mathbf{\alpha}}\sqrt{R^2-l^2\cos^2\mathbf{\alpha}}.$

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1077 з 2155

Задано функції $f(x)=\frac 3x$ i $g(x)=5-3x.$

1. Побудуйте графік функції $f.$

2. Побудуйте графік функції $g.$

3. Знайдіть похідну функції $f.$

4. До графіка функції $f$ проведено дотичні, паралельні графіку функції $g.$ Визначте абсциси точок дотику.

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 4.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1078 з 2155

Центр кола, заданого рівнянням $x^2-8x+y^2+7=0$, збігається з точкою перетину діагоналей $AC$ і $BD$ паралелограма $ABCD.$ Обчисліть площу цього паралелограма, якщо $A(-4; -3)$ i $B(0; 3).$

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє вміння знаходити координати середини відрізка, виконувати дії з векторами, знаходити скалярний добуток векторів.

Запишемо рівняння кола у вигляді:

$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$, де $(a; b)$ – центр кола, $R$ – радіус.
$(x^2-8x+16)+y^2-16+7=0$,
$(x-4)^2+y^2=9$, $O(4; 0)$ – центр кола.

За формулою знаходження координат середини відрізка знаходимо координати точки $D:$

\begin{gather*} x_O=\frac{x_B+x_D}{2};\ \ x_D=2x_O-x_B=2\cdot 4-0=8;\\[6pt] y_O=\frac{y_B+y_D}{2};\ \ y_D=2y_O-y_B=2\cdot 0-3=-3;\\[6pt] D(8; -3). \end{gather*}

Знайдемо координати векторів $\overline{AB}$ та $\overline{AD}:$

$\overline{AB}(0-(-4); 3-(-3))$, $\overline{AB}(4; 6)$, $\overline{AD}(12; 0).$

Знайдемо довжини векторів:

\begin{gather*} |\overline{AB}|=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}.\\[7pt] |\overline{AD}|=\sqrt{12^{2}+0^2}=12.\\[6pt] \cos A=\frac{\overline{AB}\cdot \overline{AD}}{|\overline{AB}|\cdot |\overline{AD}|}=\frac{4\cdot 12+6\cdot 0}{2\sqrt{13}\cdot 12}=\frac{48}{24\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{13}}.\\[6pt] \sin A=\sqrt{1-\cos^2A}=\sqrt{1-\frac{4}{13}}=\sqrt{\frac{9}{13}}=\frac{3}{\sqrt{13}}.\\[6pt] S_{ABCD}=AB\cdot AD\cdot \sin A=2\sqrt{13}\cdot 12\cdot \frac{3}{\sqrt{13}}=72. \end{gather*}

Відповідь: $72.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1079 з 2155

У магазині в продажу є $6$ видів тарілок, $8$ видів блюдець та $12$ видів чашок. Олена збирається купити бабусі в подарунок у цьому магазині або чашку та блюдце, або лише тарілку. Скільки всього є способів в Олени купити бабусі такий подарунок?

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1080 з 2155

Шлях від пристані $A$ до пристані $B$ теплохід, що рухається за течією річки, долає за
$2$ години. На зворотний шлях він витрачає на $15$ хвилин більше. Швидкість течії річки дорівнює $2$ км/год, власна швидкість теплохода є сталою.

Визначте власну швидкість теплохода (у км/год).

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1081 з 2155

Укажіть ненульове значення $x$, за якого значення виразів $x-8$, $3x$ та $6x$ є послідовними членами геометричної прогресії.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1082 з 2155

На рисунку зображено квадрат $ABCD.$ Точки $K$, $L$, $M$ належать сторонам $BC$, $CD$ та $AD$ відповідно, $BK=8$ см. Трикутники $KCL$ та $LDM$ рівні, $KC=LD=15$ см.

1. Визначте довжину відрізка $KL$ (у см).

2. Обчисліть площу трикутника $KLM$ (у см$^2$).

Впишіть відповіді:

1.			2.
	17			144.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1083 з 2155

У дитячому шаховому клубі функціонують лише молодша й старша групи. Старшу групу відвідують $27$ дітей. Відвідувачі молодшої групи становлять $46\ \text{%}$ від загальної кількості відвідувачів обох груп шахового клубу.

1. Визначте кількість дітей у молодшій групі.

2. Скільки дітей потрібно додатково набрати в молодшу групу за умови незмінності кількості дітей старшої групи, щоб відношення кількості відвідувачів молодшої групи до кількості відвідувачів старшої групи становило $4 : 3$?

Впишіть відповіді:

1.			2.
	23			13

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1084 з 2155

На рисунку зображено куб $ABCDA_1B_1C_1D_1.$ До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А–Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Пряма $CB$

2Пряма $CD_1$

3Пряма $AC$

4Пряма $A_1B$

Закінчення речення

Апаралельна площині $AA_1B_1B.$

Бперпендикулярна до площини $AA_1B_1B.$

Вналежить площині $AA_1B_1B.$

Гмає з площиною $AA_1B_1B$ лише дві спільні точки.

Дутворює з площиною $AA_1B_1B$ кут $45^\circ$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1085 з 2155

Основи $BC$ й $AD$ рівнобічної трапеції $ABCD$ дорівнюють $7$ см i $25$ см відповідно. Діагональ трапеції $BD$ перпендикулярна до бічної сторони $AB.$ До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Середня лінія трапеції дорівнює

2Проекція сторони $AB$ на пряму $AD$ дорівнює

3Висота трапеції дорівнює

4Сторона $AB$ трапеції дорівнює

Закінчення речення

А$9$ см.

Б$12$ см.

В$15$ см.

Г$16$ см.

Д$18$ см.

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на