ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє знання відношень, пропорцій, основної властивості пропорції; уміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом.

Лідія редагує \(80\) сторінок рукопису у \(8\) разів швидше, ніж Максим \(480\) сторінок. Отже, Лідія редагує \(80\cdot 8=640\) сторінок за той самий час, за який Максим редагує \(480\) сторінок.

\(320\) сторінок (у \(2\) рази менше) Лідія відредагує за той самий час, що й Максим \(240\) сторінок.

Відповідь: \(240.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання формули суми \(n\) перших членів арифметичної прогресії, уміння розв'язувати задачі на арифметичну прогресію.

Нехай \(a_3=2a_1.\) За характеристичною властивістю арифметичної прогресії: \begin{gather*} a_2=\frac{a_1+a_3}{2}, \end{gather*} тому $$ a_2=\frac{3a_1}{2}=1\mathord{,}5a_1. $$

Різниця арифметичної прогресії \(d=a_2-a_1=1\mathord{,}5a_1-a_1=0\mathord{,}5a_1.\)

За формулою суми \(n\text{-перших}\) членів арифметичної прогресії:

За умовою, \(S=190\), тому \(10a_1=190\), \(a_1=19.\)

\(d=0\mathord{,}5a_1=0\mathord{,}5\cdot 19=9\mathord{,}5.\)

Відповідь: \(9\mathord{,}5.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Чотирикутники. Геометричні величини та їх вимірювання.

Це завдання перевіряє знання дотичної до кола та її властивості, формули довжини кола; уміння застосовувати ознаки та властивості різних видів чотирикутників до розв'язування планіметричних задач.

1.Довжина кола знаходиться за формулою \(C=2\mathbf{\pi}R.\)

\(O_1O_2=2R=8.\)

2. У прямокутник \(ABCD\) вписано два кола, тому \(BC=4R=16.\)

\(OO_1=2R=8.\)

\(O_1K\ \perp\ BC\) (за властивістю дотичної)

\(O_1K=4.\)

\(O_2L\ \perp\ BC\) \(O_1K=O_2L=R\), тому \(O_1O_2\ ||\ BC\), отже \(BO_1O_2C\) – трапеція.

Відповідь: 1. \(8.\)
                   2. \(48.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відсотки. Основні задачі на відсоки. Текстові задачі. Квадратні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати рівняння до розв'язування текстових задач, розв'язувати задачі на відсотки.

1. Нехай у кожному ряду висадили \(x\) кущів, тоді кількість рядів буде \((x-20).\) Усього висадили \(125\) кущів троянд. Складемо рівняння:

Отже, в кожному ряду \(25\) кущів.

2. Усього кущів у першому рядку \(25.\) Ушкоджених кущів виявилось \(16\text{%}\), отже, неушкоджених кущів \(84\text{%}\) від кількості кущів у першому рядку.

Відповідь: 1. \(25.\)
                   2. \(21.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл, знання формул для обчислення площ поверхонь конуса та циліндра.

Нехай \(R=OA=3\) см, \(OO_1=H=4\) см.

1. \(S_\text{б.п.}=2\mathbf{\pi}RH\), де \(R=3\) – радіус основи, \(H=4\) см. – висота циліндра.

\(S_\text{б.п.}=2\mathbf{\pi}\cdot 3\cdot 4=24\mathbf{\pi}\) см\(^2\).

Отже, 1 – Г.

Отже, 2 – Д.

3. Площа основи конуса дорівнює площі основи циліндра.

Отже, \(S_\text{осн.}=9\mathbf{\pi}\) см\(^2\).

Отже, 3 – A.

4. Площа бічної поверхні конуса \(S_\text{б.п.}=\mathbf{\pi}Rl\), де \(R=3\) см, \(l\) – твірна \(O_1A.\)

\(S_\text{б.п.}=\mathbf{\pi}\cdot 3\cdot 5=15\mathbf{\pi}\) см\(^2\).

Отже, 4 – B.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Д, 3 – А, 4 – В.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника, теореми косинусів; уміння застосовувати властивості різних видів чотирикутників до розв'язування планіметричних задач.

Отже, 1 – В.

2. Більша діагональ ромба лежить напроти більшого кута ромба.

\(\angle D=\angle K=60^\circ\), звідси \(\angle C=\angle M=120^\circ.\) Більша діагональ – \(KD.\)

У \(\Delta DCK\) за теоремою косинусів

Отже, 2 – Г.

3.Відстань від точки \(M\) до сторони \(CD\) – це довжина перпендикуляра

\(ME\ \perp\ DC\) – висота ромба.

У \(\Delta MED\ \angle E=90^\circ\), \(\angle D=60^\circ.\)

Отже, 3 – Б.

4. \(KP\ \perp\ AD.\) Відстань від точки \(K\) до прямої \(AD\) – це відрізок \(KP.\)

\(CD\ \perp\ AD\), \(KM\ ||\ CD\), тому \(KM\ \perp\ AD\), \(KP\ \perp\ AD.\)

Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – В, 2 – Г, 3 – Б, 4 – Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа. Логарифмічні вирази.

Це завдання перевіряє знання означення та властивості кореня n-го степеня, степеня з натуральним показником, основної логарифмічної тотожності.

1. $$ (3a^3)^2=3^2\cdot (a^3)^2=9a^6. $$ Отже, 1 – A.

2. $$ \sqrt[3]{27a^6}=\sqrt[3]{27}\cdot \sqrt[3]{a^6}=3a^2. $$ Отже, 2 – Д.

3. $$ \frac{27a^6}{9a^3}=3a^3. $$ Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – А, 2 – Д, 3 – Г, 4 – Б.

ТЕМА: Алгебра, початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Лінійні нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нерівності першого степеня, нерівності, що містять змінну під знаком модуля.

\(|x+4|(x-1)\lt 0.\)

Цю нерівність можна розв'язати двома способами:

І спосіб.

Вираз \(|x+4|\ge 0\) при будь-яких значеннях змінної, тому розв'язком нерівності є розв'язок системи:

ІІ спосіб.

Розв'язуємо методом інтервалів:

\(|x+4|(x-1)\lt 0\)

$$ x\in (-\infty; -4)\cup (-4; 1). $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання властивості дотичної до кола, вміння застосовувати набуті знання до розв'язування планіметричних задач та задач практичного змісту.

Проведемо \(K_1E\ ||\ AB\) дотичну до кола.

За властивістю дотичної до кола \(KK_1\ \perp\ K_1E.\)

\(\angle CPK=\angle PKP_1=\mathbf{\beta}\) як внутрішні різносторонні при \(KK_1\ ||\ CE\) та січної \(KP.\)

У \(\Delta KP_1P\ (\angle P_1=90^\circ)\), \(KP=0\mathord{,}9\) м, \(\angle K=\mathbf{\beta}.\)

Серед наведених відстаней найменша \(0\mathord{,}7\) м.

Відповідь: Г.