ТЕМА: Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики. Комбінації. Комбінаторні правила суми та добутку.

Це завдання перевіряє знання означення комбінацій, комбінаторні правила суми й добутку, уміння розв'язувати нескладні задачі комбінаторного характеру.

Кількість усіх можливих комбінацій з \(n\) елементів по \(k\) елементів знаходимо за формулою $$ C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!k!}. $$

Кількість способів вибрати \(3\) фотографії з \(8\) зі своїм зображенням знаходимо за формулою $$ C_8^3=\frac{8!}{(8-3)!3!}=\frac{8!}{5!3!}. $$

Кількість способів вибрати \(2\) фотографії з \(6\) для сайту $$ C_6^2=\frac{6!}{(6-2)!2!}=\frac{6!}{4!2!}. $$

Кількість способів вибрати означені в умові фотографії знаходимо за комбінаторним правилом добутку:

Відповідь: \(840.\)

ТЕМА: Алгебра. Рівняння, нерівності та їхні системи. Раціональні рівняння. Застосування рівнянь до розв'язування текстових задач.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати раціональні рівняння, застосовувати рівняння до розв'язування текстових задач.

Нехай щодня планували виробляти \(\frac{240}{n}\) стільців. Оскільки завдання виконали на \(2\) дні раніше запланованого терміну, то щодня виробляли \(\frac{240}{n-2}\) стільців. Денна норма збільшилась на \(4\) стільця, тому складемо рівняння

За теоремою Вієта знаходимо корені рівняння: \(n=-10\) або \(n=12.\)

Оскільки \(n\) – кількість днів, то визначається натуральним числом, то правильна відповідь: \(12\) днів.

Відповідь: \(12.\)

ТЕМА: Функції. Числові послідовності. Геометрична прогресія.

Це завдання перевіряє знання формули суми n перших членів геометричної прогресії, уміння розв'язувати задачі на геометричну прогресію..

За умовою \begin{gather*} q=\frac 23,\\[6pt] S_4=65. \end{gather*}

Знаходимо перший член цієї прогресії за формулою

Відповідь: \(27.\)

ТЕМА: Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей медіани, середньої лінії трикутника, уміння застосовувати властивості різних видів трикутників до розв'язання планіметричних задач.

\(BM\) – медіана, точка \(K\) – середина медіани.

1. Відстань від точки \(K\) до \(AC\) – це \(KF=5\) см, \(KF\ \perp\ AC.\)

Відповідно, \(KE\ \perp\ BC,\) \(KE=6\) см.

\(KE\ \perp \ BC\), \(AC\ \perp\ BC\rightarrow\ KE\ ||\ AC.\)

За теоремою Фалеса, точка \(E\) – середина \(BC\), тому \(KE\) – середня лінія \(\Delta MBC.\)

За властивістю середньої лінії, \begin{gather*} KE=\frac 12MC,\\[6pt] MC=2KE=2\cdot 6=12\ \textit{см}. \end{gather*} Оскільки \(BM\) – медіана, то \(AC=2MC=24\) см.

Отже, довжина катета \(AC=24\) см.

2. Аналогічно, \(KF\) – середня лінія \(\Delta CMB\), тому \(BC=2KF=10\) см.

За теоремою Піфагора, у \(\Delta ABC\ (\angle C=90^\circ)\)

За властивістю прямокутного трикутника, радіус описаного кола дорівнює половині гіпотенузи. Отже, радіус кола $$ 26 : 2 = 13\ \textit{см}. $$

Відповідь: 1. \(24\) см.
                   2. \(13\) см.

ТЕМА: Числа і вирази. Відношення та пропорції. Відсотки. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє знання правил виконання відсоткових розрахунків, уміння розв'язувати задачі на відсоткові розрахунки.

1. Для визначення ширини автомагістралі використовують формулу

$$ h_\text{маг}=8b+r+2\Delta. $$

Якщо \(h_\text{маг}=40\mathord{,}2\) м, \(r=10\) м, \(\Delta =1\mathord{,}5\) м, то

2. Заплановано збільшити ширину кожної смуги руху транспорту на \(10\text{%}\) за рахунок лише зменшення ширини \(r\) розділювальної смуги. Кількість смуг руху – \(8\), тому потрібно зменшити ширину \(r\) на $$ 3\mathord{,}4\cdot 8\cdot 0\mathord{,}1=2\mathord{,}72\ \textit{м}. $$

Відповідь: 1. \(3\mathord{,}4.\)
                   2. \(2\mathord{,}72.\)

ТЕМА: Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей тіл і поверхонь обертання та їхніх елементів, уміння розв'язувати задачі на обчислення об'ємів геометричних тіл.

1. \(V_\text{ц}=\mathbf{\pi}R^2H=100\mathbf{\pi}\) см\(^3\), отже \(\mathbf{\pi}\cdot 25\cdot H=100\mathbf{\pi}\), \(H=4\) см. Висота циліндра \(4\) см

Отже, правильна відповідь – A.

2. \(V_\text{к}=\frac 13\mathbf{\pi}R^2\cdot h=100\mathbf{\pi}\) см\(^3\), \(\frac 13\mathbf{\pi}\cdot 25\cdot h=100\mathbf{\pi}\), \(h=12\) см.

Отже, правильна відповідь – Г.

3. \(S_\text{осн.цил.}=\mathbf{\pi}R^2=25\mathbf{\pi}\) см\(^2\), \(R^2=25\), \(R=5\) см.

\(R_\text{ц}=R_\text{к}=5\) см.

Отже, правильна відповідь – Б.

4. \(\Delta BO_2C\ (\angle O_2=90^\circ)\) за теоремою Піфагора

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – A, 2 – Г, 3 – Б, 4 – Д.

ТЕМА: Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє знання властивостей степеня з цілим показником, уміння використовувати властивості модуля числа.

1. \(a^0=1\), отже, правильна відповідь – Б.

2. \(a^2=(-3)^2=9\gt 1\), отже, правильна відповідь – A.

3. \(\frac{|a|}{a}\) при \(a\lt 0\ |a|=-a\).

\(\frac{-a}{a}=-1\), отже, правильна відповідь – Г.

4. \(\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{-3}\lt \sqrt[3]{-1}\), отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – Б, 2 – А, 3 – Г, 4 – Д.

ТЕМА: Функції. Функціональна залежність. Лінійні, квадратичні, показникові функції, їхні основні властивості.

Це завдання перевіряє вміння знаходити область значень функції, встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. Пряма \(y=4\mathord{,}5\) перетинає графік \(y=3^x\) у точці з абсцисою \(x_0=2.\)

\(3^2=4\mathord{,}5\cdot 2=9.\)

Отже, правильна відповідь – В.

2. Пряма \(y=-4\) не має спільних точок з графіком \(y=x^2-1.\)

\(y=x^2-1\) – графік – парабола з гілками вгору та вершиною \((0; -1)\), a \(y=-4\) – пряма, паралельна осі абсцис.

Отже, правильна відповідь – Б.

3. Пряма \(y=2x+4\) є паралельною прямій \(y=2x\), бо вони мають однаковий кутовий коефіцієнт \(k=2.\)

Отже, правильна відповідь – A.

4. Пряма \(y=x\) є бісектрисою І та ІІІ координатних чвертей, бо кутовий коефіцієнт \(k=1\), тому \(\operatorname{tg}\mathbf{\alpha}=1\), \(\mathbf{\alpha}=45^\circ\) – кут нахилу прямої до додатнього напряму осі \(Ox.\)

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – В, 2 – Б, 3 – А, 4 – Д.

ТЕМА: Планіметрія. Коло та круг. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості різних видів трикутників та чотирикутників до розв'язування планіметричних задач та задач практичного змісту.

Нехай точка \(O\) – центр кола, дуга якого \(BFC.\)

Радіус кола – \(OB=OF=OC=1\) м.

\(BC\ ||\ AD\), \(AB\ ||\ CD.\) \((AB\ \perp\ BC\), \(CD\ \perp\ AD\) за властивістю паралельних прямих \(AB\ ||\ CD)\). Отже, \(ABCD\) – прямокутник, \(BC=AD=1\mathord{,}6\) м.

\(BC\cup OF=O_1\), \(BC\ \perp\ OF.\)

\(\Delta BOC\) – рівнобедрений, \(OO_1\) – висота та медіана, $$ BO_1=\frac 12BC=\frac 12AD=0\mathord{,}8\ \textit{м}. $$

\(\Delta BOO_1\ (\angle O_1=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Відповідь: Г.