Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 1105

Завдання 1106 з 2155

Задано систему нерівностей $$ \left\{\begin{array}{l} \frac{x+1}{x-2}\ge 0,\\ \left(\frac 12\right)^{2\sin^2(\mathbf{\pi}a)+\cos(2\mathbf{\pi}a)+x}\gt a, \end{array}\right. $$ де $x$ – змінна, $a$ – стала.

1. Розв'яжіть першу нерівність цієї системи.

2. Визначте множину розв'язків другої нерівності системи залежно від значень $a.$

3. Визначте всі розв'язки системи залежно від значень $a.$

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 6.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння та нерівності. Показникова функція.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати дробно-раціональні нерівності, показникові нерівності, а також їхні системи; розв'язувати нерівності та системи з параметрами; користуватися графічним методом розв'язування і дослідження рівнянь, нерівнстей та їхні системи.

1. Розв'яжемо першу нерівність методом інтервалів: $$ \frac{x+1}{x-2}\ge 0. $$

$$ x\in (\infty; -1]\cup (2; +\infty). $$

2. Розв'яжемо другу нерівність графічно. Спростимо вираз:

\begin{gather*} 2\sin^2(\mathbf{\pi}\mathbf{\alpha})+\cos(2\mathbf{\pi}\mathbf{\alpha})+x=\\[7pt] =2\sin^2(\mathbf{\pi}\mathbf{\alpha})+\cos^2(\mathbf{\pi}\mathbf{\alpha})-\sin^2(\mathbf{\pi}\mathbf{\alpha})+x=\\[7pt] =\sin^2(\mathbf{\pi}\mathbf{\alpha})+\cos^2(\mathbf{\pi}\mathbf{\alpha})+x=1+x\\[6pt] \left(\frac 12\right)^{x+1}\gt a. \end{gather*}

Побудуємо графік функції $y=\left(\frac 12\right)^{x+1}$ за допомогою елементарних перетворень.

$y=\left(\frac 12\right)^x$ перенесено вліво на $1$ одиницю. Отримаємо графік функції $y=\left(\frac 12\right)^{x+1}.$

1) При $a\in (-\infty; 0]\ x\in R.$

2) При $a\in (0; +\infty)$ \begin{gather*} y=\left(\frac 12\right)^{x+1}\gt a,\ \ \frac 12\cdot \left(\frac 12\right)^x\gt a,\\[6pt] \left(\frac 12\right)\gt 2a,\ \ \left(\frac 12\right)^x\gt \left(\frac 12\right)^{\log_{\frac 12}(2a)} \end{gather*} функція $y=\left(\frac 12\right)^{x+1}$ спадна, тому
$x\lt\log_{\frac 12}(2a)$, $x\lt -\log_2(2a).$

Відповідь: при $a\in (-\infty; 0] x\in R.$
при $a\in (0; +\infty]$, $x\in (-\infty; -\log_2(2a)).$

3. Розв'яжемо систему нерівностей:

При $a\in (-\infty; 0]$, $x\in (-\infty; -1]\cup (2; +\infty).$

При $a\in \left(0; \frac 18\right)$, $x\in (-\infty; -1]\cup (2; -\log_2(2a)).$

При $a\in \left[\frac 18; \right)$, $x\in (-\infty; -1].$

При $a\in [1; +\infty)$, $x\in (-\infty; -\log_2(2a)).$

Відповідь: 1. $x\in (-\infty; -1]\cup (2; +\infty).$
                   2. $x\in R$, якщо $a\in (-\infty; 0]$;
                   $x\in (-\infty; -\log_2(2a))$, якщо $a\in (0; +\infty).$
                   3. $x\in (-\infty; -1]\cup (2; +\infty)$, якщо $a\in (-\infty; 0]$;
                   $x\in (-\infty; -1]\cup (2; -\log_2(2a))$, якщо $a\in \left(0; \frac 18\right)$;
                   $x\in (-\infty; -1]$, якщо $a\in \left[\frac 18; 1\right)$;
                   $x\in (-\infty; -\log_2(2a))$, якщо $a\in [1; +\infty).$

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1107 з 2155

У нижній основі циліндра проведено хорду $AB$, довжина якої дорівнює $c.$ Цю хорду видно із центра верхньої основи під кутом $\mathbf{\alpha}.$ Через хорду $AB$ проведено площину $\mathbf{\beta}$ паралельно осі циліндра на відстані $d\ (d\ne 0)$ від неї.

1. Зобразіть переріз циліндра площиною $\mathbf{\beta}$ та вкажіть його вид.

2. Обґрунтуйте відстань $d.$

3. Визначте площу цього перерізу.

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 4.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла й поверхні обертання. Прямі й площини у просторі.

Це завдання перевіряє вміння будувати перерізи тіл обертання, застосовувати властивості циліндра до розв'язування стереометричних задач; ознаки паралельності прямої та площини.

$AB=c$, $\angle AO_1B=\mathbf{\alpha}$, $OO_1$ – вісь циліндра.

1. Побудуємо твірні $AD$, $BC.$
Твірні $AD$ та $BC$ – перпендикулярні основам циліндра. $AD\ \perp\ AB$, $BC\ \perp\ AB.$ Прямокутник $ABCD$ – переріз циліндра площиною $\mathbf{\beta}.$ $\mathbf{\beta}\ ||\ OO_1:$
$\left.\begin{array}{l} OO_1\ ||\ AD,\\ AD \in \mathbf{\beta}, \end{array}\right| \rightarrow OO_1\ ||\ \mathbf{\beta}.$
(за ознакою паралельності прямої та площини).

2. Проведемо $OK\ \perp AB.$ $OK\ \perp\ OO_1$, $OO_1\ ||\ AD\rightarrow OK\perp\ AD.$

Отримали, що $OK$ перпендикулярна двом прямим, що перетинаються з площини $\mathbf{\beta}\ (AB\cap AD)$, тому $OK\ \perp \mathbf{\beta}.$

Отже, $OK=d$ – відстань від $OO_1$ до $\mathbf{\beta}.$ (Відстань від прямої до площини – це довжина перпендикуляра, проведеного з будь-якої точки прямої до площини).

3. $\Delta AOB$ – рiвнобедренний ($OA=OB$ як радіуси). $OK$ – висота та медіана.
$AK=KB=\frac 12AB=\frac{c}{12}.$

$\Delta AO_1B$ – рівнобедренний. $O_1A=O_1B$ ($OA=OB$ як радіуси, рівним проекціям відповідають рівні похилі). $O_1K$ – висота ($OK\ \perp\ AB$, $O_1K\ \perp AB$ за теоремою про три перпендикуляри). $O_1K$ – бісектриса (за властивістю рівнобедренного трикутника).

$\angle AO_1K=\frac{\mathbf{\alpha}}{2}.$

У $\Delta AO_1K\ (\angle K=90^\circ)\ O_1K\ \operatorname{ctg}\ \frac{\mathbf{\alpha}}{2}=\frac c2\operatorname{ctg}\ \frac{\mathbf{\alpha}}{2}.$

У $\Delta OO_1K\ (\angle O=90^\circ)\ OO_1^2=O_1K^2-OK^2$ (за теоремою Піфагора)

$$ OO_1=\sqrt{\frac{c^2}{4}\operatorname{ctg}^2\ \frac{\mathbf{\alpha}}{2}-d^2}. $$

Площа переріза $ADCB$ (прямокутника)

$$ S=AB\cdot AD=c\sqrt{\frac{c^2}{4}\operatorname{ctg}^2\frac{\mathbf{\alpha}}{2}-d^2}=\frac c2\sqrt{c^2\operatorname{ctg}^2\frac{\mathbf{\alpha}}{2}-4d^2}. $$

Відповідь: $S=\frac c2\sqrt{c^2\operatorname{ctg}^2\frac{\mathbf{\alpha}}{2}-4d^2}.$

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1108 з 2155

Задано функції $f(x)=\frac 2x$ i $g(x)=5-8x.$

1. Побудуйте графік функції $f.$

2. Побудуйте графік функції $g.$

3. Знайдіть похідну функції $f.$

4. До графіка функції $f$ проведено дотичні, паралельні графіку функції $g.$ Визначте абсциси точок дотику.

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 4.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Степеневі функції. Похідна функції, її геометричний зміст.

Це завдання перевіряє вміння будувати графіки елементарних функцій, знаходити похідні елементарних функцій, кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції.

1-2. $f(x)=\frac 2x$ – обернена пропорційність, графік – гіпербола.

Обчислимо кілька значень функції та побудуємо графік.

$x$	$1$	$2$	$4$	$-1$	$-2$	$-4$
$y$	$2$	$1$	$1\mathord{,}5$	$-2$	$-1$	$-0\mathord{,}5$

$g(x)=5-8x$ – лінійна функція, графіком якої є пряма. Побудувати пряму можна за двома точками.

Якщо $x=0$, то $g(0)=5-8\cdot 0=5.$

Перша точка: $(0; 5).$

Якщо $x=1$, то $g(0)=5-8\cdot 1=-3.$

Друга точка: $(1; -3).$

Позначимо ці точки на координатній площині та проведемо через них пряму.

3. $f(x)=2x^{-1}$, $f'(x)=2\cdot (-1)x^{-2}$,
$f'(x)=-\frac{2}{x^2}.$

4. Оскільки дотична паралельна прямій $g(x)=5-8x$, то їхні кутові коефіцієнти рівні, і дорівнюють $-8.$ Отже, значення похідної в точці дотику дорівнює $-8.$ Маємо рівняння: $-\frac{2}{x^2}=-8$, $x^2=\frac{-2}{-8}=0\mathord{,}25.$
Тоді, $x=0\mathord{,}5$ та $x=-0\mathord{,}5.$

Відповідь: 3. $f'(x)=-\frac{2}{x^2}.$
4. $x=0\mathord{,}5;\ x=-0\mathord{,}5.$

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1109 з 2155

У прямокутній системі координат на площині $xy$ задано прямокутний трикутник $ACB\ (\angle C=90^\circ).$ Коло з центром у точці $A$, задане рівнянням $(x+3)^2+y^2-4y=21$, проходить через вершину $C.$ Сторона $AC$ паралельна осі $y$, довжина сторони $BC$ втричі більша за довжину сторони $AC.$ Визначте координати вершини $B(x_B; y_B)$, якщо вона лежить у першій координатній чверті. У відповідь запишіть суму $x_B+y_B.$

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1110 з 2155

У фінал пісенного конкурсу вийшло $4$ солісти та $3$ гурти. Порядковий номер виступу фіналістів визначають жеребкуванням. Скільки всього є варіантів послідовностей виступів фіналістів, якщо спочатку виступатимуть гурти, а після них – солісти?

Уважайте, що кожен фіналіст виступатиме у фіналі лише один раз.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1111 з 2155

Маршрутний автобус, рухаючись зі сталою швидкістю, подолав відстань від міста $A$ до міста $B$ за $5$ год, а на зворотний шлях витратив на $30$ хв менше. Визначте швидкість (у км/год) автобуса на маршруті від $A$ до $B$, якщо вона на $8$ км/год менша за швидкість на маршруті від $B$ до $A.$ Уважайте, що довжини маршрутів від $A$ до $B$ та від $B$ до $A$, якими рухався маршрутний автобус, рівні.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1112 з 2155

За якого від'ємного значення $x$ значення виразів $x^2-4$, $3-5x$ та $2-3x$ будуть послідовними членами арифметичної прогресії?

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1113 з 2155

На рисунку зображено ромб $ABCD$, діагоналі якого перетинаються в точці $O.$ Із цієї точки до сторони $AD$ проведено перпендикуляр $OK$ довжиною $3$ см. Площа трикутника $AOD$ дорівнює $15$ см$^2.$

1. Визначте довжину сторони ромба $ABCD$ (у см).

2. Обчисліть тангенс гострого кута ромба $ABCD.$

Впишіть відповіді:

1.			2.
	10			0.75

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1114 з 2155

У таблиці наведено тарифи на доставку вантажу за маршрутом $N$ службою кур'єрської доставки. Будь-яку кількість вантажів можна об'єднувати в один, маса якого дорівнює сумі мас об'єднаних вантажів. Жодних додаткових платежів за об'єднання вантажів чи доставку вантажу, окрім указаних у таблиці, немає.

Маса вантажу, кг	Вартість доставки вантажу, грн
до $50$	$100$
$51-75$	$110$
$76-100$	$205$
$101-150$	$310$

1. За яку найменшу суму грошей $P$ (у грн) можна доставити цією службою за маршрутом $N$ три вантажі, маси яких становлять $31$ кг, $36$ кг та $40$ кг?

2. Скільки відсотків становить $P$ від загальної суми грошей за доставку цих трьох вантажів, якщо кожен з них відправляти окремо?

Впишіть відповіді:

1.			2.
	210			70

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1115 з 2155

На рисунку зображено куб $ABCDA_1B_1C_1D_1.$ Установіть відповідність між парою прямих (1–4) та їх взаємним розташуванням (А – Д).

Пара прямих

1$AC$ й $CC_1$

2$AB_1$ i $CD_1$

3$AC$ й $CD_1$

4$AB_1$ i $C_1D$

Взаємне розташування

Апрямі паралельні

Бпрямі мимобіжні

Впрямі перетинаються й утворюють прямий кут

Гпрямі перетинаються й утворюють кут $45^\circ$

Дпрямі перетинаються й утворюють кут $60^\circ$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

\(x\)	\(1\)	\(2\)	\(4\)	\(-1\)	\(-2\)	\(-4\)
\(y\)	\(2\)	\(1\)	\(1\mathord{,}5\)	\(-2\)	\(-1\)	\(-0\mathord{,}5\)

	\(V\), км/год	\(t\), год	\(S\), км
Від \(A\) до \(B\)	\(x\)	\(5\)	\(5x\)
Від \(B\) до \(A\)	\(x+8\)	\(4\mathord{,}5\)	\(4\mathord{,}5(x+8)\)

Маса вантажу, кг	Вартість доставки вантажу, грн
до \(50\)	\(100\)
\(51-75\)	\(110\)
\(76-100\)	\(205\)
\(101-150\)	\(310\)