ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні функції та їхні властивості.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити область визначення логарифмічної функції.

Розв’яжімо нерівність методом інтервалів: \begin{gather*} x^2-12x+11\gt 0. \end{gather*}

Визначмо нулі лівої частини нерівності. Для цього ліву частину прирівняймо до нуля: \begin{gather*} x^2-12x+11=0. \end{gather*}

За теоремою Вієта: \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2=-b,\\ x_1\cdot x_2=c. \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2=12,\\ x_1\cdot x_2=11. \end{array}\right. \end{gather*}

Отже, \(x_1=11\), \(x_2=1\), оскільки сума чисел \(11\) й \(1\) дорівнює \(12\), а їхній добуток становить \(11.\)

Накреслімо числову пряму, на якій виколотими точками, оскільки нерівність строга, позначмо нулі лівої частини нерівності: \(1\), \(11.\)

Визначмо знаки на проміжках, які утворилися внаслідок розбиття числової прямої нулями лівої частини нерівності. Оскільки ліва частина нерівності за умовою завдання більша за нуль, то у відповіді запишемо проміжки, на яких ліва частина нерівності набуває додатних значень:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Прямі та площини в просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати взаємне розміщення площин у просторі.

А Площини перетинаються по прямій \(MK{:}\)

Б Площини перетинаються по прямій \(ML{:}\)

\begin{gather*} ABC\cap MKN=ML. \end{gather*}

B Площини перетинаються по прямій \(PQ{:}\)

\begin{gather*} B_1D_1D\cap MKN=PQ. \end{gather*}

Г Продовживши зображення площин, можна побачити, що вони перетинаються по прямій \(GF{:}\)

\begin{gather*} AA_1B_1\cap MKN=GF. \end{gather*}

Д Площини \(AA_1C_1\) та \(MKN\) паралельні:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові рівняння.

Перетворімо \(\left(\frac 12\right)^{x+3}\) на \((2^{-1})^{x+3}\), скориставшись формулою \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}.\)

За властивістю степеня:

У лівій частині за властивістю степенів \((a^m)^n=a^{m\cdot n}\) розкриймо дужки, для цього перемножмо степені в дужках і за дужками:

Оскільки основи в обох частинах рівняння однакові (і в лівій, і в правій частині основа \(2\)), можемо їх відкинути, залишаться степені: \begin{gather*} -x-3=\frac 23. \end{gather*}

У цьому лінійному рівнянні перенесімо \(-3\) праворуч, змінивши знак мінус на знак плюс: \begin{gather*} -x=3+\frac 23;\\[6pt] -x=3\frac 23. \end{gather*}

Домножмо обидві частини рівняння на \(-1{:}\) \begin{gather*} x=-3\frac 23. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивості чотирикутника, у який можна вписати коло.

Периметр чотирикутника – це сума довжин усіх його сторін:

Обчислімо суму довжин двох відомих протилежних сторін заданого чотирикутника:

Відомо, що в цей чотирикутник вписано коло. У чотирикутник можна вписати коло тоді й лише тоді, коли суми його протилежних сторін рівні:

Тоді сума двох інших протилежних сторін \(BC\) й \(AD\) заданого чотирикутника також дорівнюватиме \(27\) см:

Уже відомі суми протилежних сторін чотирикутника: \(AB\), \(CD\) і \(BC\), \(AD.\) Щоб обчислити його периметр, треба додати дві відомі суми:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати комбінаторне правило множення для розв’язання практичних задач.

Усього є \(10\) цифр: \(0\); \(1\); \(2\); \(3\); \(4\); \(5\); \(6\); \(7\); \(8\); \(9.\)

Відомо, що на першому місці в числі може стояти будь-яка цифра, але не нуль. Є дев’ять цифр, які відповідають цій умові: \(1\); \(2\); \(3\); \(4\); \(5\); \(6\); \(7\); \(8\); \(9.\) Отже, маємо \(9\) варіантів вибору першої цифри.

На другому місці може стояти парна цифра. Усього є п’ять парних цифр: \(0\); \(2\); \(4\); \(6\); \(8.\) Отже, для вибору другої цифри є п’ять варіантів.

На третьому місці може стояти будь-яка цифра. Оскільки вже визначили, що всього є десять цифр, то маємо десять варіантів вибору третьої цифри.

На четвертому місці може стояти будь-яка цифра, тож маємо десять варіантів вибору четвертої цифри.

Треба вибрати цифру і для першого місця в числі, і для другого, і для третього, і для четвертого. Тому кількості варіантів маємо перемножити за правилом добутку, оскільки є сполучник і:

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Перенесімо \(\frac{b^2}{2c}\) ліворуч, \(a\) – праворуч: \begin{gather*} -\frac{b_2}{2c}=-b-a. \end{gather*}

Домножмо обидві частини на \(-1{:}\) \begin{gather*} \frac{b_2}{2c}=b+a. \end{gather*}

Представмо у вигляді дробу праву частину \(b+a\), для цього допишімо в знаменнику \(1{:}\) \begin{gather*} \frac{b_2}{2c}=\frac{b+a}{1}. \end{gather*}

Застосуймо перехресне множення: \begin{gather*} 2c(a+b)=b^2. \end{gather*}

Поділімо обидві частини на \(2(a+b){:}\) \begin{gather*} c=\frac{b^2}{2(a+b)}. \end{gather*}

Розкриймо дужки в знаменнику, для цього \(2\) помножмо на кожен доданок у дужках. \begin{gather*} \frac{b^2}{2(a+b)}=\frac{b^2}{2a+2b}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Многогранники. Піраміда.

Завдання спрямоване на перевірку знань про піраміду та її елементи.

У піраміді \(SABCD{:}\)

\(SA\), \(SB\), \(SC\), \(SD\) – бічні ребра;

\(AB\), \(BC\), \(CD\), \(AD\) – ребра основи.

Отже, \(HD\) є ребром основи.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Чотирикутники. Коло та круг.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей кола, круга та їхніх елементів, властивостей прямокутника.

Оскільки діаметри кола та півкола дорівнюють стороні \(AB=8\) см, маємо дві фігури однакового радіуса:
радіус кола \((R){:}\) \begin{gather*} R=\frac{AB}{2}=\frac{8\ \text{см}}{2}=4\ \text{см}; \end{gather*} радіус півкола \((r){:}\) \begin{gather*} r=\frac{CD}{2}=\frac{8\ \text{см}}{2}=4\ \text{см}. \end{gather*}

1.

Коло та півколо мають лише одну спільну точку (дотикаються зовні).

Отже, правильна відповідь – Б.

2.

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta OCO_1\ (\angle O_1=90^\circ){:}\)

За теоремою Піфагора:

Отже, правильна відповідь – Г.

3.

Розгляньмо чотирикутник \(AOO_1D\) – прямокутну трапецію \((AD\ ||\ OO_1\), \(O_1D\ \perp\ AD).\) Відстань від середини \(AB\) до сторони \(O_1D\) є середньою лінією трапеції \(AOO_1D{:}\)

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Г, 3 – А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє розв’язувати квадратні рівняння, зокрема з параметрами, а також аналізувати та досліджувати їхні властивості.

Два числа називають протилежними, якщо їхня сума дорівнює нулю (наприклад, \(5\) і \(-5\)). Отже, для коренів рівняння має виконуватися умова: \begin{gather*} x_1+x_2=0. \end{gather*}

Для зведеного квадратного рівняння \(x^2+px+q=0\) за теоремою Вієта сума коренів дорівнює другому коефіцієнту, узятому з протилежним знаком: \begin{gather*} x_1+x_2=-p. \end{gather*}

У рівнянні

зведімо подібні доданки:

Коефіцієнт:

Отже, має виконуватися умова:

Отримуємо два значення: \(a=1\) та \(a=-5.\)

Перевірка існування коренів (дискримінант): числа є коренями рівняння, якщо дискримінант \(D\ge 0.\)

Оскільки за \(x_1+x_2=0\) рівняння набуває вигляду \(x^2+q=0\), то корені існують, якщо \(q\le 0.\)

Якщо \(a=1{:}\) \(q=a+2=1+2=3\gt 0.\) Рівняння \(x^2+3=0\) не має дійсних коренів, тобто \(a=1\) не підходить.

Якщо \(a=-5{:}\) \(q=a+2=-5+2=-3\lt 0.\) Рівняння \(x^2-3=0\) має корені \(\sqrt{3}\) та \(-\sqrt{3}.\) Тож \(a=-5\) підходить.

Оскільки умову задовольняє лише одне значення \(a=-5\), то сума значень дорівнює самому числу \(-5.\)

Відповідь: \(-5.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати площу діагонального перерізу призми.

Основою призми є паралелограм зі сторонами \(AB = 8\) і \(AD = 15\), \(\angle A = 60^\circ.\)

Діагональний переріз прямої призми – прямокутник, сторонами якого є висота призми та діагональ основи.

Невідомий діагональний переріз меншої площі буде побудовано на меншій діагоналі основи. У паралелограмі менша діагональ завжди лежить навпроти гострого кута. Отже, треба визначити довжину діагоналі \(BD.\)

Розгляньмо трикутник \(ABD.\) За теоремою косинусів:

Меншим діагональним перерізом є прямокутник \(DBB_1D_1\) зі сторонами \(BD = 13\) см і висотою \(BB_1 = 20\) см.

Обчислімо його площу \(S{:}\)

Відповідь: \(260.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння використовувати комбінації та комбінаторні правила добутку для розв’язання комбінаторних задач.

І. Для замовлення одного автобуса у виконавця є \(8\) різних автобусів. Оскільки треба вибрати лише один, то кількість способів зробити це дорівнює кількості автобусів: \begin{gather*} N_1=8. \end{gather*}

ІІ. Для замовлення двох мікроавтобусів у виконавця є \(6\) різних мікроавтобусів. Нам треба вибрати два з них. Оскільки порядок вибору не має значення (просто потрібні дві машини), скористаймося формулою для комбінацій вибору \(k\) варіантів з \(n\) можлих:

Отже, існує \(15\) способів вибрати два мікроавтобуси.

За правилом додавання (оскільки ми вибираємо або перший варіант, або другий), додаємо отримані результати:

Усього існує \(23\) варіанти вибору машин.

Відповідь: \(23.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати формулу Ньютона – Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Площу зафарбованої фігури можна обчислити за допомогою визначеного інтеграла: \begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_a^b (f(x)-g(x))\ dx, \end{gather*} де \(f(x)\) – це функція, графік якої обмежує фігуру згори, а \(g(x)\) – функція, графік якої обмежує фігуру знизу.

З рисунка видно, що графіки функцій перетинаються у двох точках: \((0; 0)\) – точка початку координат; точка \((4; 6).\)

Отже, межі інтегрування – від \(0\) до \(4.\)

Графік функції \(y=3\sqrt{x}\) проходить вище за пряму \(y=\frac 32x.\)

Обчислімо площу зафарбованої фігури: \begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_0^4 \left(3\sqrt{x}-\frac 32x\right)\ dx, \end{gather*}

Первісна для кожної частини:

Застосуймо формулу Ньютона -Лейбніца:

де \(f(x)\) – це неперервна функція на проміжку \([a; b]\), а \(F(x)\) – її перевісна.

Відповідь: \(4.\)

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. Графік функції \(y=7x+4\) перетинає вісь у точці з ординатою \(4.\)

Отже, правильна відповідь – Б.

2. Функція \(y=-\frac 7x\) непарна (графік симетричний відносно початку координат).

Отже, правильна відповідь – B.

3. \(y=\log_{0{,}5}(x-4)\) – логарифмічна функція, \(y=\log_a x\) спадна на всій області визначення, якщо \(a\in (0; 1).\)

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Б, 2 – B, 3 – A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних, ірраціональних виразів, степеня з натуральним показником.

1. Якщо \(n\sin m\pi=a\), то...

Для будь-якого цілого числа \(k\ \sin k\pi=0.\) Оскільки \(m\) – натуральне число, то \(\sin m\pi\) завжди дорівнює нулю. Тоді \(a=n\cdot 0=0.\)

Отже, правильна відповідь – Б.

2. Якщо \(\frac{2^m}{2^n}=2^a\), то...

Скористаймося властивістю \(\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}{:}\)

Звідси \(a=m-n.\)

Отже, правильна відповідь – B.

3. Якщо \(\sqrt[n]{\sqrt[m]{2}}=\sqrt[a]{2}\), то...

Скористаймося властивістю \(\sqrt[n]{\sqrt[m]{x}}=\sqrt[n\cdot m]{x}\ \ {:}\)

Звідси \(a=n\cdot m=mn.\)

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Б, 2 – В, 3 – А.