Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 15

Математика. Всі запитання починаючи з 15

161718192021222324252627282930 ▶

Завдання 16 з 2199

Розв'яжіть нерівність $2^{\textstyle x}\le 3.$

А$\left(-\infty; \log_23\right]$

Б$\left(0; \log_23\right]$

В$\left(-\infty; \frac 32\right]$

Г$\left(-\infty; \log_32\right]$

Д$\left[\log_23; +\infty\right)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові нерівності, знання основної логарифмічної тотожності.

\begin{gather*} 2^x \le 3,\\[7pt] 2^x \le 2^{\log_2 3},\\[7pt] \end{gather*}

($3 = 2^{\log_2 3}$ за основною логарифмічною тотожністю).

Функція $y = 2^x$ – зростаюча, тому $$ x \le \log_2 3. $$ Отже, $x \in (-\infty; \log_2 3].$

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 1. Запитання: 4317

Завдання 17 з 2199

Переріз кулі площиною має площу $81\pi$ см$^2.$ Знайдіть відстань від центра кулі до площини перерізу, якщо радіус кулі дорівнює $15$ см.

А$6$ см

Б$8$ см

В$9$ см

Г$12$ см

Д$15$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості кулі до розв'язування стереометричних задач, уміння знаходити відстані та кути у просторі.

\begin{gather*} S_{\text{перерізу}} = 81\pi\ \text{см}^2,\\[7pt] S_{\text{перерізу}} = \pi\cdot O_1A^2 = 81\pi,\\[7pt] O_1A^2 = 81,\\[7pt] O_1A = 9\ \text{см},\\[7pt] OA = 15\ \text{см}. \end{gather*}

$OO_1$ – відстань від центра кулі точки $O$ до перерізу, тому $OO_1\ \perp\ O_1A.$

За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} OA^2 = OO_1^2 + O_1A^2,\\[7pt] OO_1^2 = OA^2 - O_1A^2 = 225 - 81 = 144,\\[7pt] OO_1 = 12\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 1. Запитання: 4318

Завдання 18 з 2199

$\log_5 49+2\log_5\dfrac 57=$

А$25$

Б$\log_5 70$

В$\log_5 49\dfrac 57$

Г$\log_5 35$

Д$2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

\begin{gather*} \log_{5}49 + 2\log_{5}\frac{5}{7} = \log_{5}7^2 + 2(\log_{5}5 - \log_{5}7) =\\[7pt] = 2\log_{5}7 + 2\log_{5}5 - 2\log_{5}7 = 2. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 1. Запитання: 4319

Завдання 19 з 2199

Укажіть нерівність, що виконується для $\alpha\in \left(\dfrac{\pi}{2}; \pi\right).$

А$1-\sin^2 \alpha\lt 0$

Б$\cos \alpha\cdot \mathrm{tg}\ \alpha\lt 0$

В$\cos^2 \alpha+\sin^2 \alpha\lt 0$

Г$1-\cos^2 \alpha\lt 0$

Д$\sin \alpha\cdot \mathrm{ctg}\ \alpha\lt 0$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа. Числові множини та співвідношення між ними. Функції.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів, знання властивостей тригонометричних функцій.

Спростимо вираз зліва:

А $1 - \sin^2 \alpha \lt 0$, $\cos^2 \alpha \lt 0$ не виконується ні при якому значенні $\alpha.$

Б \begin{gather*} \cos \alpha \cdot \mathrm{tg}\ \alpha \lt 0,\\[6pt] \cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \lt 0,\\[6pt] \sin \alpha \lt 0\ \text{при}\ \alpha \in \left(\frac{\pi}{2};\ \pi\right) \end{gather*} не виконується.

В $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \lt 0$, $1\lt 0$ не виконується ні при якому значенні $\alpha.$

Г $1 - \cos^2 \alpha \lt 0$, $\sin^2 \alpha \lt 0$ не виконується ні при якому значенні $\alpha.$

Д \begin{gather*} \sin \alpha \cdot \mathrm{ctg}\ \alpha\lt 0,\\[6pt] \sin \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \lt 0,\\[6pt] \cos \alpha \lt 0\ \text{при}\ \alpha \in \left(\frac{\pi}{2};\ \pi\right) \end{gather*} виконується.

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 1. Запитання: 4320

Завдання 20 з 2199

У трикутник $ABC$ вписано квадрат $KLMN$ (див. рисунок). Висота цього трикутника, проведена до сторони $AC$, дорівнює $6$ см. Знайдіть периметр квадрата, якщо $AC=10$ см.

А$7{,}5$ см

Б$12{,}5$ см

В$17{,}5$ см

Г$15$ см

Д$20$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання ознак та властивостей подібних трикутників, уміння знаходити периметр фігур.

$KL\ ||\ AC \Rightarrow \Delta ABC$ подібний $\Delta KBL.$

$$ \frac{KL}{AC}=\frac{BE}{BH}. $$

Нехай сторона квадрата $KL=KN=NM=ML=x$ см.

Тоді,

\begin{gather*} BE=BH-EH=6-x\ \text{см},\\[7pt] KL=x\ \text{см},\\[7pt] AC=10\ \text{см},\\[6pt] \frac{x}{10}=\frac{6-x}{6},\\[6pt] 10(6-x)=6x,\\[7pt] 60-10x=6x,\\[7pt] 16x=60,\\[7pt] x=60:16,\\[7pt] x=3{,}75\ \text{см},\\[7pt] P_{KLMN}=4x=4\cdot 3{,}75=15\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 1. Запитання: 4321

Завдання 21 з 2199

Установіть відповідність між фігурою (1–4) і тілом обертання (А – Д), яке утворено внаслідок обертання цієї фігури навколо прямої, зображеної пунктиром.

Фігура

Тіло обертання

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати за розгорткою поверхні вид тіла обертання.

Отже, 1 – Г.

Отже, 2 – А.

Отже, 3 – В.

Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – Г, 2 – А, 3 – В, 4 – Д.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 1. Запитання: 4322

Завдання 22 з 2199

У прямокутній системі координат на площині $xy$ задано точки $O(0; 0)$ і $A(6; 8).$ З точки $A$ на вісь $x$ опущено перпендикуляр. Точка $B$ – основа цього перпендикуляра. Установіть відповідність між величиною (1–4) та її числовим значенням (А – Д).

Величина

1довжина вектора $OA$

2відстань від точки $A$ до осі $x$

3ордината точки $B$

4довжина радіуса кола, описаного навколо трикутника $OAB$

Числове значення

А$0$

Б$5$

В$6$

Г$8$

Д$10$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє знання координат вектора, властивостей трикутника, вписаного в коло; вміння знаходити довжину вектора, відстані від точки до прямої.

1. $\overrightarrow{OA}(6-0;\ 8-0)$, $\overrightarrow{OA}(6;\ 8).$ Довжина вектора $\overrightarrow{OA}{:}$ $$ \left|\overrightarrow{OA}\right|=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=10. $$ Отже, 1 – Д.

2. $AB\ \perp\ OB.$ Відстань від точки $A$ до осі $x$ – це координата точки $A$, $\rho(A,\ Ox)=8.$

Отже, 2 – Г.

3. $B(6;\ 0)$, ордината дорівнює $0.$

Отже, 3 – А.

4. $\Delta AOB\ (\angle B=90^\circ).$

$$ R=\frac{1}{2}\ OA=\frac{1}{2}\cdot 10=5. $$

Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – А, 4 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 1. Запитання: 4323

Завдання 23 з 2199

Дві однакові автоматичні лінії виготовляють $16$ т шоколадної глазурі за $4$ дні. Установіть відповідність між запитанням (1–4) та правильною відповіддю на нього (А – Д). Уважайте, що кожна лінія виготовляє однакову кількість глазурі щодня.

Запитання

1Скільки тонн шоколадної глазурі дві лінії виготовляють за $3$ дні?

2За скільки днів одна лінія виготовить $16$ т шоколадної глазурі?

3Скільки тонн шоколадної глазурі виготовить одна лінія за $2$ дні?

4Скільки таких ліній потрібно для виготовлення $48$ т шоколадної глазурі за $4$ дні?

Відповідь на запитання

А$2$

Б$4$

В$6$

Г$8$

Д$12$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

1. Дві лінії виготовляють $4$ т за $1$ день, за $3$ дні вони виготовляють $12$ т.
Отже, 1 – Д.

2. Одна лінія виготовляє $8$ т за $4$ дні, $16$ т одна лінія виготове за $8$ днів.
Отже, 2 – Г.

3. Одна лінія виготовляє за $2$ дні $4$ т.
Отже, 3 – Б.

4. Дві лінії виготовляють $16$ т за $4$ дні, для виготовлення $48$ т за $4$ дні знадобиться $6$ ліній.
Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – Б, 4 – В.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 1. Запитання: 4324

Завдання 24 з 2199

На рисунку зображено графік функції $y=f(x)$, визначеної на проміжку $[0; 11]$ та диференційовної на проміжку $(0; 11).$ Установіть відповідність між числом (1–4) та проміжком (А–Д), якому належить це число.

Число

1$f(8)$

2$f'(7)$

3найменше значення функції $y=f(x)$ на її області визначення

4$\mathop{\int}\limits_1^3 f(x)\ dx$

Проміжок

А$(-\infty; -2]$

Б$(-2; -0\mathord{,}5]$

В$(-0\mathord{,}5; 2]$

Г$(2; 4]$

Д$(4; +\infty]$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функцій, заданих графіком, знання геометричного змісту визначеного інтеграла.

1. При $x=8$ значення функції $f(8)=3{,}5.$ Число $3{,}5$ належить проміжку $(2; 4]$.
Отже, 1 – Г.

2. Дотична до графіка функції $f(x)$ в точці $x=7$ паралельна осі $Ox.$ Тоді $f'(7)=k=\mathrm{tg}\ 90^\circ=0.$ Число $0$ належить проміжку $(-0{,}5; 2].$
Отже, 2 – В.

3. Найменше значення функції $f(x)$ на її області визначення дорівнює $f(0)=-3{,}5.$ Число $-3{,}5$ належить проміжку $(-\infty; -2].$
Отже, 3 – А.

4. Геометричний зміст визначеного інтеграла – площа криволінійної трапеції. З рисунка бачимо, що $$ -2\lt \mathop{\int}\limits_{1}^{3} f(x)\ dx \lt 0. $$

Тобто

$$ \mathop{\int}\limits_{1}^{3} f(x)\ dx\ \in (-2; -0{,}5]. $$

Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – A, 4 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 1. Запитання: 4325

Завдання 25 з 2199

Додатне число $A$ більше додатного числа $B$ у $3{,}8$ раза. На скільки відсотків число $A$ більше за число $B$?

Впишіть відповідь:

280

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на відсоткові розрахунки.

Додатне число $A$ більше за додатне число $B$ у $3{,}8$ раза.

\begin{gather*} A = 3{,}8B,\\[7pt] A - B = 3{,}8B - B = 2{,}8B. \end{gather*}

Отже, число $A$ більше за число $B$ на $280\ \%.$

Відповідь: $280.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 1. Запитання: 4326

Завдання 26 з 2199

Обчисліть значення виразу $\dfrac{a^2-b^2}{a-b}-\dfrac{a^3-b^3}{a^2-b^2}$, якщо $a=10{,}2$; $b=-0{,}2.$

Впишіть відповідь:

-0.204

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання формул скороченого множення.

\begin{gather*} \frac{a^{2}-b^{2}}{a-b}-\frac{a^{3}-b^{3}}{a^{2}-b^{2}} =\frac{(a-b)(a+b)}{a-b}-\frac{(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}{(a-b)(a+b)}=\\[6pt] =a+b-\frac{a^{2}+ab+b^{2}}{a+b}=\frac{(a+b)^{2}-a^{2}-ab-b^{2}}{a+b}=\\[6pt] =\frac{a^{2}+2ab+b^{2}-a^{2}-ab-b^{2}}{a+b}=\frac{ab}{a+b}. \end{gather*}

Якщо $a=10{,}2$, $b=-0{,}2$, то

$$ \frac{10{,}2\cdot(-0{,}2)}{10{,}2+(-0{,}2)}=\frac{-2{,}04}{10}=-0{,}204. $$

Відповідь: $-0{,}204.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 1. Запитання: 4327

Завдання 27 з 2199

Розв'яжіть нерівність $\dfrac{3}{x-2}+\dfrac 4x\ge 1.$ У відповіді запишіть суму всіх цілих її розв'язків.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Раціональні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, розв'язувати раціональні нерівності методом інтервалів.

\begin{gather*} \frac{3}{x-2}+\frac{4}{x}\ge 1,\\[6pt] \frac{3x+4(x-2)}{x(x-2)}\ge 1,\\[6pt] \frac{3x+4x-8}{x(x-2)}-1\ge 0,\\[6pt] \frac{7x-8-x^{2}+2x}{x(x-2)}\ge 0,\\[6pt] \frac{9x-8-x^{2}}{x(x-2)}\ge 0. \end{gather*}

Pозкладемо на множники чисельник

\begin{gather*} \frac{-(x-8)(x-1)}{x(x-2)}\ge 0,\\[6pt] \frac{(x-8)(x-1)}{x(x-2)}\le 0. \end{gather*}

Розв'язуємо нерівність методом інтервалів:

$x=8$, $x=1$, $x\ne 0$, $x\ne 2$, $x\in (0; 1]\cup (2; 8].$

Сума цілих розв'язків: $1+3+4+5+6+7+8=34.$

Відповідь: $34.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 1. Запитання: 4328

Завдання 28 з 2199

Знайдіть найменший додатний період функції $f(x)=9-6\cos (20\pi x+7).$

Впишіть відповідь:

0.1

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Тригонометричні функції.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функції, заданої формулою, знаходити період даної функції.

Найменший період функції $$ T=\frac{T_1}{|k|}. $$

$k=20\pi$, $T_1=2\pi$ – найменший період функції $y=\cos x.$

$$ T=\frac{2\pi}{20\pi}=\frac{1}{10}=0{,}1. $$

Відповідь: $0{,}1.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 1. Запитання: 4329

Завдання 29 з 2199

В автобусному парку налічується $n$ автобусів, шосту частину яких було обладнано інформаційними табло. Пізніше інформаційні табло встановили ще на $4$ автобуси з наявних у парку. Після проведеного переобладнання навмання вибирають один з $n$ автобусів парку. Ймовірність того, що це буде автобус з інформаційним табло, становить $0{,}25.$ Визначте $n.$ Уважайте, що кожен автобус обладнується лише одним табло.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі за допомогою складання рівняння.

В автобусному парку $n$ автобусів. Обладнано інформаційним табло: $\dfrac{1}{6}n$ та $4$ автобуси.

Усього автобусів з інформаційним табло $\left(\dfrac{1}{6}n + 4\right)$.

Імовірність того, що це буде автобус з інформаційним табло становить $0{,}25.$

Отже,

\begin{gather*} P=\frac{\dfrac{1}{6}n+4}{n}=\frac{1}{4},\\[6pt] \frac{4}{6}n+16=n,\\[6pt] n-\frac{4}{6}n=16,\\[6pt] \frac{2}{6}n=16,\\[6pt] n=\frac{16\cdot 6}{2},\\[6pt] n=48. \end{gather*}

Відповідь: $48.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 1. Запитання: 4330

Завдання 30 з 2199

План паркової зони, обмеженої трикутником $ABC$, зображено на рисунку. Дуга $AB$ – велосипедна доріжка. Відомо, що дуга $AB$ є четвертою частиною кола радіуса $1{,}8$ км. $CA$ i $CB$ – дотичні до цього кола ($A$ i $B$ – точки дотику). Обчисліть площу зображеної на плані паркової зони (у км$^2$).

Впишіть відповідь:

1.62

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання властивостей квадрата, кола та його частин; уміння знаходити площу трикутника.

Дуга $AB$ є четвертою частиною кола. $ACBK$ – квадрат. $AK = KB = BC = AC = 1{,}8$ км.

$$ S_{ABC} = \frac{1}{2}AC \cdot BC = \frac{1}{2}\cdot 1{,}8 \cdot 1{,}8 = 0{,}9 \cdot 1{,}8 = 1{,}62\ \text{км}^2. $$

$CA$, $CB$ – дотичні до кола. $KA\!\perp\!CA$, $KB\!\perp\!CB$ (радіус, проведений у точку дотику, перпендикулярний дотичній).

Відповідь: $1{,}62.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 1. Запитання: 4331