Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості трапеції та квадрата, розв’язування трикутників.

\(NP\ ||\ BC\)

1 – В. Точка \(M\) – середина \(AK.\) За теоремою Фалеса: \(NM\ ||\ BC\) і \(AN=NB.\)

У \(\Delta ABK\ NM\) – середня лінія. \(BK=2NM=12\) см.

\(BC=BK+KC=12+4=16\) см. \(AB=BC=16\) см.

2 – A.

У трапеції \(AKCD\ MP\) – середня лінія.

За властивістю середньої лінії: $$ MP=\frac{KC+AD}{2}=\frac{4+16}{2}=10. $$

3 – Г. \(\Delta ABK\ (\angle B=90^\circ)\), \(AB=16\), \(BK=12.\)

За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AK^2=AB^2+BK^2=16^2+12^2=256+144=400,\\[7pt] AK=20. \end{gather*}

Відповідь: 1В, 2А, 3Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних, логарифмічних та степеневих виразів.

1. \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}^0=\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^0=1\in (0; 1].\)

Отже, правильна відповідь – B.

2. \((\sqrt{5}-1)\cdot \frac{\sqrt{5}+1}{2}=\frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}{2}=\frac{5-1}{2}=2\in (1; 2].\)

Отже, правильна відповідь – Г.

3.

\begin{gather*} \log_{\frac 15}(2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}-1)=\log_{\frac 15}\left(2\cdot \frac{\sqrt{5}+1}{2}-1\right)=\\[6pt] =\log_{\frac 15}(\sqrt{5}+1-1)=\log_{\frac 15}\sqrt{5}=\log_{5^{-1}}5^{\frac 12}=\\[6pt] =-1\cdot \frac 12\cdot \log_55=-\frac 12\cdot 1=-0\mathord{,}5\in (-1; 0]. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

При спрощенні виразу застосовували формули:

\begin{gather*} \log_ab^n=n\cdot \log_ab,\\[6pt] \log_{a^k}b=\frac 1k\log_ab,\\[6pt] \log_aa=1. \end{gather*}

Відповідь: 1В, 2Г, 3Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння будувати графіки функцій, знання властивостей лінійної функцій.

1.\(y=-2x\) проходить через початок координат.

Отже, 1 – Г.

2.\(y=2x+2\), \(k=2.\) Лінійна функція \(y=kx+b.\) При \(k\gt 0\) пряма утворює гострий кут із додатним напрямком осі \(x.\)

Отже, 2 – А.

3. \(y=-2x+4\) пряма симетрична прямій \(y=2x+4\) відносно осі \(y.\)

Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1Г, 2А, 3Б.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості прямокутника та прямокутного трикутника.

\(\angle ABC=90^\circ\), \(\angle ABK=30^\circ.\) Отже, \(\angle KBC=60^\circ.\)

У \(\Delta BKC\ (\angle K=90^\circ)\ \angle C=30^\circ.\)

У прямокутнику \(ABCD\ BC\ ||\ AD\), січна \(CK.\) \(\angle BCK=\angle CKD=30^\circ\) як внутрішні різносторонні.

\(\Delta CKD\ (\angle D=90^\circ)\) $$ CD=\frac 12CK=\frac 12\cdot 6\sqrt{3}=3\sqrt{3}. $$

\(\Delta BKC\ (\angle K=90^\circ)\) $$ BC=\frac{CK}{\cos C}=\frac{6\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=12. $$

$$ P_{ABCD}=2(BC+CD)=2(12+3\sqrt{3})=24+6\sqrt{3}. $$

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу Логарифмічні нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні нерівності, знання властивостей логарифмічної функції.

\begin{gather*} \log_3(1-2x)\lt 2,\\[7pt] \log_3(1-2x)\lt \log_39. \end{gather*}

Функція \(y=\log_3x\) є зростаючою, тому \(1-2x\lt 9.\) Логарифмічна функція має область визначення \(1-2x\gt 9.\)

Отже, розв'язком нерівності буде розв'язок системи:

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} 1-2x\lt 9,\\ 1-2x\gt 0, \end{array} \right.\ \ \left\{ \begin{array}{l} 2x\gt -8,\\ 2x\lt 1, \end{array} \right.\ \ \left\{ \begin{array}{l} x\gt -4,\\ x\lt \frac 12. \end{array} \right. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа.

Завдання скеровано на перевірку знання означення степеня з натуральним показником, його властивостей.

\begin{gather*} \frac{20^7\cdot 0\mathord{,}1^6}{4^5}=\frac{20\cdot 20^6\cdot 0\mathord{,}1^6}{(2^2)^5}=\frac{20\cdot (20\cdot 0\mathord{,}1)^6}{2^{10}}=\\[6pt] =\frac{2\cdot 2\cdot 5\cdot 2^6}{2^{10}}=\frac{5}{2^2}=\frac 54=1\mathord{,}25. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити похідну суми, знаходити числове значення похідної функції в точці для заданого значення аргументу.

\begin{gather*} f(x)=6x-2\cos x,\\[7pt] f'(x)=6-2\cdot (-\sin x)=6+2\sin x. \end{gather*}

Похідна функції

$$ f'(x_0)=f'\left(\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{2}\right)=6+2\cdot \sin\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{2}=6+2\cdot 1=8. $$

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові рівняння, виконувати тотожні перетворення степеневих виразів.

Зведемо до однакової основи ліву та праву частину показникового рівняння:

\begin{gather*} \left(\frac 13\right)^{x-7}=\sqrt{3},\\[6pt] (3^{-1})^{x-7}=3^{\frac 12},\\[6pt] 3^{-x+7}=3^{0\mathord{,}5},\\[7pt] -x+7=0\mathord{,}5,\\[7pt] x=6\mathord{,}5\ \in (6; 7]. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції та трикутника.

I. Якщо в трапецію можна вписати коло, то воно буде дотикатись до всіх її сторін, а отже, до основ. \(OE=OF=r.\) Центр кола точка \(O\) – лежить на середній лінії \(MN.\) Отже, твердження правильне.

II, III твердження не є правильними, бо точка перетину діагоналей не належить середній лінії, та центр описаного кола не обов'язково лежить на більшій основі.

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

\begin{gather*} a=\frac{(b+c)\cdot d}{2},\\[6pt] 2a=(b+c)\cdot d,\\[7pt] 2a=bd+cd,\\[7pt] cd=2a-bd,\\[6pt] c=\frac{2a-bd}{d}=\frac{2a}{d}-b. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Координати у просторі.

Завдання скеровано на перевірку знань формули відстані між точками у просторі, властивостей кулі.

 

Знаходимо відстань між точками \(O_1O_2\) за формулою:

\begin{gather*} d=\sqrt{(x_1-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2},\\[7pt] O_1O_2=\sqrt{(7-1)^2+(4+4)^2+(-14-10)^2}=\\[7pt] =\sqrt{36+64+576}=26. \end{gather*}

 

Якщо б кулі були однакового радіусу, то дорівнювали б \(13\) см. За умовою кулі мають різні за довжиною радіуси, тому радіус більшої кулі буде більше за \(13\) см, але менше за \(26\) см.

З наведених значень – це \(17\) см.

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Текстові задачі.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати основні задачі на відсотки.

Покупець придбав гаманець зі знижкою \(70\ \text{%}.\) Отже, ціна \(105\) гривень – це \(30\ \text{%}\) від ціни гаманця до Чорної п'ятниці.

Складімо пропорцію:

\begin{gather*} x\ \textit{грн.} - 100\ \text{%}\\[7pt] 105\ \textit{грн.} - 30\ \text{%} \end{gather*}

За властивістю пропорції:

$$ x=\frac{105\cdot 100}{30}=350\ \textit{грн.} $$

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння використовувати перетворення графіків функцій.

За властивістю паралельного перенесення графіка функції вздовж осі \(Oy\) вниз \(f(x)-A\) де \(A\) – кількість одиничних відрізків, на які переміщують графік.

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знань ознаки паралельності прямої та площини, властивостей призми.

За ознакою паралельності прямої і площини, якщо пряма \(AB\), що не лежить у площині \((CDD_1)\), паралельна прямій \(CD\), яка лежить в цій площині, то \(AB\ || (CDD_1).\)

Аналогічно, \(AB\) не лежить у площині \((A_1B_1C_1)\), але паралельна прямій \(A_1B_1\), яка лежить в цій площині, то \(AB\ ||\ (A_1B_1C_1).\)

Отже, таких площин лише дві.

Відповідь: В.