ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції. Основні властивості функцій: монотонність, парність та непарність.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графічно та належність точки графіку заданої функції.

Щоб розв'язати це завдання, потрібно знати означення зростаючої (спадної) функції, парної та непарної функцій, властивості та графік логарифмічної функції \(y=\log_a x.\)

Функція \(y=f(x)\) називається зростаючою на проміжку \((a; b)\), якщо для будь-яких \(x_1\in (a; b)\) i \(x_2\in (a; b)\) таких, що \(x_1\lt x_2\), виконується нерівність \(f(x_1)\lt f(x_2)\), тобто більшому значенню аргумента з \((a; b)\) відповідає більше значення функції.

Функція \(y=f(x)\) називається спадною на проміжку \((a; b)\), якщо для будь-яких \(x_1\in (a; b)\) i \(x_2\in (a; b)\) таких, що \(x_1\lt x_2\), виконується нерівність \(f(x_1)\gt f(x_2)\), тобто більшому значенню аргумента з \((a; b)\) відповідає менше значення функції.

Функція \(y=f(x)\) називається парною, якщо для будь-якого \(x\) з області визначення функції виконується рівність \(f(-x)=f(x).\)

Функція \(y=f(x)\) називається непарною, якщо для будь-якого \(x\) з області визначення функції виконується рівність \(f(-x)=-f(x).\)

Область визначення і парної, і непарної функції симетрична відносно точки \(x=0.\) Графік парної функції симетричний відносно осі \(Oy\), а непарної – відносно початку координат.

Доберемо до кожного із запитань (1 – 4) правильну відповідь.

1. Точка \((1; 0)\) знаходиться на осі абсцис праворуч від початку відліку. З рисунків видно, що через цю точку проходить лише графік функції, зображеної на рис. 1. Отже, 1 – A.

2. Оскільки графік парної функції симетричний відносно осі \(Oy\), то 2 – Б. Зазначимо, що на рисунку 5 зображено графік непарної функції.

3. Щоб вказати графік функції, що має дві спільні точки з графіком логарифмічної функції $$ y=\log_{\frac 13} x, $$ потрібно знати, що функція $$ y=\log_{\frac 13} x $$ визначена для всіх додатних значень \(x\), проходить через точку \((1; 0)\), є спадною на всій області визначення і набуває значень від \(+\infty\) до \(-\infty\), коли змінюється від \(0\) до \(+\infty.\)

Зауважимо, що графік функції $$ y=\log_{\frac 13} x, $$ проходить через точку \((3; -1)\), оскільки

Графік цієї функції перетинає графіки функцій, зображених на рисунках 1 – 3, по одному разу, не має жодної спільної точки з графіком, зображеним на рисунку 5, і дві спільні точки, – з графіком, зображеним на рисунку 4. Отже, 3 – Г.

4. Графік функції, що зростає на відрізку \([-2; 3]\), зображено на рис. 3. Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – A, 2 – Б, 3 – Г, 4 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції.

Це завдання перевіряє вміння визначати графік аналітично заданої функції.

Графіком квадратичної функції $$ y=ax^2+bx+c $$ є парабола, вітки якої напрямлені вгору при \(a\gt 0\) і вниз при \(a\lt 0.\) Оскільки \(a=1\gt 0\), то вітки графіка функції $$ y=x^2+px+q $$ напрямлені вгору.

З наведених рисунків цю умову задовольняють варіанти А, В і Д. Оскільки за умовою рівняння $$ x^2+px+q=0 $$ не має дійсних коренів, то не існує дійсних значень аргумента \(x\), при яких функція $$ y=x^2+px+q $$ дорівнювала б \(0\), тобто функція $$ y=x^2+px+q $$ не має нулів. Тому графіік цієї функції не перетинає вісь абсцис. Цю умову з варіантів А, В і Д задовольняє лише варіант Д.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання про центральні та вписані кути та їхні властивості.

1. У коло вписано чотирикутник, тому сума протилежних кутів \(180^\circ.\) \(\angle D=100^\circ\), тому \(\angle C=80^\circ.\)

Отже, 1 – B.

2. \(\angle AOB=100^\circ\) – центральний, \(\angle ACB\) – відповідний вписаний. За властивістю вписаного кута

Отже, 2 – Д.

3. \(\angle ACB=90^\circ\) тому, що вписаний кут, який спирається на діаметр – прямий.

Отже, 3 – Б.

4. \(\angle ADB=\angle ACB=100^\circ\), тому, що вписані кути, які спираються на одну хорду – рівні.

Отже, 4 – A.

Відповідь: 1 – B, 2 – Д, 3 – Б, 4 – A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Степеневі функції та їхні властивості.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

Функція \(y=\frac 1x\) – обернена пропорційність, графік якої – гіпербола.

Загальний вигляд функції \(y=\frac kx.\)

При \(k\lt 0\) графік функції лежить у ІІ та IV координатних чвертях.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Квадратні, показникові, степеневі, логарифмічні функції.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

На рисунку Д зображено графік функції \(y=\sqrt{x}.\)

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Лінійні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати лінійні рівняння з параметром.

Розв'яжімо лінійне рівняння:

Якщо \(a=2\), рівняння не має коренів \((x\cdot 0=7).\)

Якщо \(a\ne 2\), корінь є. Його визначають так: $$ x=\frac{a+5}{a-2}. $$

Корінь рівняння буде додатним, якщо $$ \frac{a+5}{a-2}\gt 0. $$

Розв'яжімо методом інтервалів:

На проміжку \(a\in [-9; 9]\) рівняння має розв'язок, якщо \(a\in [-9; -5)\cup (2; 9].\)

Цілі значення \(a\) із цього проміжку: \(-9\), \(-8\), \(-7\), \(-6\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\), \(9.\) Тобто цілих значень \(a\) \(11.\)

Відповідь: \(11.\)

ТЕМА: Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей конуса та сфери, формул для обчислення площі поверхні сфери й об’єму конуса.

Радіус основи конуса \(O_1B=CO\) – радіусу сфери: $$ O_1B=5\sqrt{3}\ \text{см}. $$

У \(\Delta AO_1B\ (\angle O_1=90^\circ)\).

Об'єм конуса визначмо за формулою $$ V=\frac 13S_\text{осн}H=\frac 13\mathbf{\pi}R^2H, $$ де

Відповідь: \(125.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, використовуючи комбінації та комбінаторні правила добутку для розв’язку комбінаторних задач.

На ринку є \(10\) моделей кольорових принтерів. Вибрати \(2\) з них можна \(\mathrm{C}_{10}^2\) варіантами.

Вибрати \(3\) принтери з \(8\) монохромних моделей можна \(\mathrm{C}_8^3\) варіантами.

Підприємство планує купити і \(2\) кольорові, і \(3\) монохромні. Кількість варіантів такого вибору визначають за комбінаторним правилом добутку:

Відповідь: \(2520.\)